向量法解决立体几何中有关问题

1、向量法解决立体几何中有关问题一、知识点归纳1、利用向量证平行（1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量（2）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有： 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； 证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； 利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向 量设直线的方向向量为 c ，如果在平面内找到两个向量 a 、b 不共线， 则向量 c 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在实数对 x,y ，使 c =xa +y b （ 3）面面平行证明两个平面的法向量平行（即是共线向量） ；转化为线面平行、线线平行问

2、题2、利用向量证垂直（ 1）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即 a b 0 a b （ 2）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线方向向量与平面法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题（ 3）面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题3、利用向量求角（1）求两异面直线所成角已知两异面直线 a,b， A,B a,C,D b，则异面直线所成的角 为： cos AB CD 但务必注意两异面直线所成角的范围是 0, ，AB CD 2故实质上应有： cos |cos AB,CD |（2）求线面角 求直线与平面所成角时， 一种方法

3、是先求出直线及射影直线的方向向量， 通过数量积求 出直线与平面所成角； 另一种方法是借助平面的法向量， 先求出直线方向向量与平面法向量 的夹角，即可求出直线与平面所成的角，其关系是sin | cos | （ 3）求二面角的大小。方法 1：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直 的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方 向）方法 2：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱 的距离，然后通过解直角三角形求角方法 3：（法向量法） m 、 n分别是平面 和平面 的法向量， 那么m， n （或者其补角 ）与二面角 -l- 的大小相等。4、利用向量求距离 空间中的各种距

4、离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离（ 1） 点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模（ 2） 点到平面的距离已知 AB为平面 的一条斜线段， n 为平面 的法向量，则 A到平面 的距离 d | AB | cos AB,n | | AB| AB n | | AB n| | AB |n| n|（ 3） 两条异面直线距离：d 方法： a 、 b 为异面直线， a 、 b 间的距离为：其中 n与a、b 均垂直， A 、 B分别为两异面直线上的任意两点、巩固训练1已知 a = （ 2, 1, 2 ）, b = （2, 2 , 1 ）, 则以 a,

5、b 为邻边的平行四边形的面积是65(B) 2(C) 4 . (D) 8.2.已知 a=（3，2，3），b=（1，x1，1），且 a与 b的夹角为钝角，则 x的取值范围是A（ 2，+）55B（ 2， 3 ）（ 3 ，+ ）5C（， -2）D（ 3 ， +） 3.已知 F1=i+2j+3k，F2=2i+3jk，F3=3i4j+5k，若 F1 ， F2 ， F3共同作用在一个物体 上，使物体从点 M1（1, 2, 1）移到点 M2（3, 1, 2） ，则合力所作的功为 （ ）（ A）10（B）12（C）14（D ）164已知 a b （2, 2,2 3），a b （0, 2 ,0） ，则 cos a

6、,b 等于（ ）6 6 1 1(A) 3 (B) 6 (C) 3 (D) 65已知三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等， A1 在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于( )AB2C3D6同时垂直向量 a (2,2,1), b (4,5,3) 的单位向量是7已知向量 a (1 t,1 t,1),b (2,t,t) ， 则 b a 的最小值为8.已知 S 是ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若BD xAB yAC zAS，则 x y z9空间四边形 OABC 中，M，N分别是边 OA ，BC的中点，点G在MN 上，且M

7、G = 2GN，用基底 OA ，OB ， OC 表示向量 OG =10、如图，正四棱锥 S ABCD的高 SO 2，底边长 AB 2 。 求 (1)异面直线 BD和 SC之间的距离 .(2) 点 O 到平面 SBC 的距离(3) 直线 AD 与平面 SBC 的距离11如图，在四棱锥O ABCD 中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形，ABC4OA 底面ABCD , OA 2,M 为OA的中点， N 为 BC的中点 ()证明：直线 MN平面 OCD ；()求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；D()求点 B 到平面 OCD 的距离。12如图，在棱长为 1的正方体 ABCD ABCD 中， AP=BQ=b （0b1），截面 PQEF A D ，截面 PQGH AD ）证明：平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直；）证明：截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；）若 DE与平面 PQEF 所成的角为 45 ，求 DE与平面 PQGH 所成角的正弦值13.已知斜三棱柱 ABC A1B1C1中， BAC 90 ABAC1，AA12，O是 B1C和BC1的交点（）用基向量 AB、AC、 AA1表示向量 AO； （）求异面直线 AO 与 BC 所成的角； （）判定平面 ABC 与平面 BB1C1C 是否垂直？14 PD