将军饮马模型(终稿)(可编辑修改word版)

1、焙军欲鸟於理将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历ft大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一 位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样疋 才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它.从此以后，这个 被称为“将军饮马”的问题便流传至今.【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称：平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马间题常见模型1. 两定一动型：两龙点到一动点的距离和最小例1：在圧直

2、线/上找一个动点P,使动点P到两个泄点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.作法：连接AB,与直线/的交点Q,Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处,PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。证明：连接AB,与直线/的交点Q, P为直线/上任意一点，在Z1PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB全AB（当且仅当PQ重合时取=）1将军欲鸟找理例2 :在左宜线I上找一个动点P,使动点P到两个泄点A与B的距离之和最小,即PA+PB的和最小.BAf矢键：找对称点7信去：作泄点B关于泄直线I的对称点C,连接AC,与直线1的交点Q即为所要寻找的点, 即当动点P跑到了点Q处，PA+P

3、B和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间.线段最短证明：连接AC,与直线/的交点Q, P为直线/上任意一点，在ZJPAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC全AC（当且仅当PQ重合时取=）2. 两动一定型例3：在ZMON的内部有一点A,在0M上找一点B,在ON上找一点C,使得ABAC周长最短作法：作点A关于0M的对称点A作点A关于ON的对称点X、,连接A A 与0M 交于点B,与ON交于点C,连接AB, AC, AABC即为所求.原理：两点之间，线段最短例4：在ZMON的内部有点A和点B,在OM上找一点C,在ON上找一点D,使得四边 形ABCD周长最短.作法:作点A关于0M的对称点A作点B关

4、于ON的对称点B，,连接A B爲与OM交 于点C,与ON交于点D,连接AC, BD, AB,四边形ABCD即为所求.原理：两点之间，线段最短3.两走两动型最值例5：已知A、B是两个泄点，在立直线/上找两个动点M与N,且MN长度等于立长（动 点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在泄长的动点问题一立要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A作A，关于直线I的对称点A：连接MB 交直线/于点N,将点N向左平移长度d,得到点M。作法二：作点A关于直线/的对称点Aj,将点A1向右平移长度得到点A?,连接A2B, 交直线/于点Q，将点Q向左平移长度d,得到点Q。原理：两点之间，线

5、段最短，最小值为AB+MN例6：（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？瞭望台例6：直线M12,在直线/上找一个点C, 直线“上找一个点D,使得CD丄“且AC+BD+CD 最短.1/2信去：将点A沿CD方向向下平移CD长度至点AS连接AB 刘2于点D.过点D作DC丄“ 于点C,连接AC.则桥CD即为所求.此时最小值为A B+CD原理：两点之间，线段最短，4.垂线段最短型例7：在ZMON的内部有一点A.在OM上找一点B,在ON上找一点C,使得AB+BC 最短.原理：垂线段最短点A是泄点，OM, ON是

6、左线，点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点.作法：作点A关于OM的对称点A,过点&作AC丄ON, 交OM于点B, B. C即为所求。例&在左直线/上找一个动点P,使动点P到两个泄点A与B的距离之差最小，即PA-PB 最小.作法：连接AB,作AB的中垂线与I的交点,此时|PA-PB |=0原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等例9：在左直线/上找一个动点C,使动点C到两个宦点A与B的距离之差最大，即|PAPB |最大例10：在定直线/上找一个动点C,使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PAPB|最大作法：作点B关于/的对称点B,连接AB,交交/于点P即为所求，最大值为AB的长

7、度。原理：三角形任意两边之差小于第三边典型例题三角形1 如图，在等边AABC中，AB = 6, AD丄BC, E是AC上的一点，M是AD上的一点,且AE = 2,求EM+EC的最小值解：点C关于直线AD的对称点是点B,连接BE,交AD于点M,则ME+MD最小, 过点B作BH丄AC于点H,则 EH = AH-AE = 3-2=1, BH = BC2- CH2= y/62 - 32= 3在直角 ABHE 中，BE = VBFP + HE=、/(3rF+頁 2、厅2 如图，在祝角-ABC中，AB =如2 , zBAC = 45。, 2BAC的平破交BC于原D , M、N分别是AD和AB上的动点.则十

8、MN的最小值是解：作忌B关于AD的对称庶 过点B作BE丄AB于点E.交AD于点F, 刖坝段BE的坛就是BM + MN换小傅 左等腰RUAEB1中f根翳勾股定理得到 B E =43 如長，ABC中，AB=2 , zBAC=30 若在AC、AB上各取一点M N ,使BfvMN的恒最小，则这个晟4佢解：作AB关于AC的対称线段AB，,过庶B作丁N丄ABr垂足为N 交AC于篇M , HJB-N = MB4-MN =MB-MNBN的长就是MB-MN的最小值则zBAN = 2zBAC= 60c r AB* = AB = 2 , zANB = 90。，zB = 30AN = 1在宜;IT ABN中,勾股定理

9、BN =书Part2%正方形1 如图，正方形ABCD的边长为8小4在DC上.且DM二2 , N是AC MT点，DN + M N的最小值为c裁AC上求一点N ,使DN+MN最小解：故作点D关于AC的对称点B ,连接BM , 交AC于点Nc则DN十MN二BN丰MN二BM 鶴BM鵬就是DN + MN斓小值角二 BCM中.CM= 6 f BC= 8 f 则BM=10故DN+MN的最小值1102如哥阳示,正方形ABCD的面积为12 , MBE是等边三角形,点E在正方形ABCD内.在对角妊AC上有V P,便PD - PE的和最小f则这个最小值为（）A2#3B2p6C.3 D 寸6解:即左AC上求一点P 使PE+PD的值最小忌D夭于直线AC的对称原是羔B .连接 BE 交 AC 于点 P f 则 BE = PB+PE 二 PD+PE ,BE的氏就是PD+PE的最小值BE = AB = 2 3在边长为2 on的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对甬线AC上T）点,连接PB、PQ