极限的计算与证明方法[致远书屋]

1、行稳致远 b 本科生毕业论文（设计）册 学院 汇华学院 专业 数学与应用数学 班级 2008 级 X 班 学生 XXX 指导教师 XXX 论文编号 行稳致远 b 河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书 编 号： 论文（设计）题目： 极限的计算与证明方法 学 院： 汇华学院 专业： 数学与应用数学 班级： 2008 级 3 班 学生姓名： xxx 学号： 指导教师： xxx 职称： 1、论文（设计）研究目标及主要任务 目标：总结一些常用的极限的计算和证明方法。 主要任务：通过归纳总结对极限思想及其计算、证明方法加以巩固，为后继的数 学学习奠定基础。同时也培养自身的探究精神，提高自身的科学素养。

2、2、论文（设计）的主要内容 主要内容：极限的常见的计算和证明方法，即利用函数的定义求极限、利用两个 准则求极限、利用柯西收敛准则求极限、利用极限的四则运算性质求极限、利用两个 重要极限公式求极限、利用单侧极限求极限、利用无穷小量的性质求极限、利用等价 无穷小量代换求极限、利用函数的连续性求极限、利用导数的定义求极限、利用中值 定理求极限、利用定积分求和式的极限、利用洛必达法则求极限、利用泰勒展开式求 极限、利用级数收敛的必要条件求极限等。 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：图书馆借阅及网上相关资料查阅。 研究路线：首先引入极限的分类及定义；然后对极限的计算与证明方法进行搜集 归纳

3、，并一一列举，并给出相应的例题以促进知识的理解、掌握及应用；最后作出总 结。 4、主要参考文献 1华东师范大学数学系编,数学分析（第三版）M，高等教育出版社，2001 年。 2大学数学名师导学丛书编写组编，数学分析名师导学M，中国水利水电出版社, 2004 年。 3钱吉林等主编，众邦考试教育研究所策划，数学分析解题精粹（第二版）M，湖 北长江出版集团，2009 年。 5、计划进度 阶段起止日期 1 毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、 论文开题 2011.11.012012.12.02 2 进行毕业论文的初稿写作 2012.12.032012.02.01 行稳致远 b 3 进行毕业论文

4、的二稿写作 2012.02.022012.03.24 4 进一步修改论文，并最终定稿 2012.03.252012.05.09 5 论文答辩 2012.05.10 指 导 教 师： 年 月 日 教研室主任： 年 月 日 河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书 汇华 学院 数学与应用数学 专业 2012 届 学生 姓名 xxx 论文（设计）题目极限的计算与证明方法 指导 教师 xxx 专业 职称 所属 教研室 研究 方向 课题论证：（见附页） 方案设计： 研究对象：极限的计算及证明方法。 研究问题：极限常见的求法和证明方法的总结归纳。 采用方法：经验总结法、比较研究法、文献资料法等。 内容

5、安排：本文分为四个部分：绪论、极限的分类及定义、极限的计算与证明方法及 结 束语。第一部分主要介绍极限在数学分析中的作用，引出主题；第二部分 简 要介绍数学分析中极限的分类和定义；第三部分进入正文部分，归纳总结 了 十五种极限的常见求法及证明方法，并辅以相应的例题；第四部分是对全 文 进行的总结性段落，使文章首尾呼应，内容更为完整。预期目标：掌握求 极 限的方法，并且能够在不同的题目中应用想适应的方法，更好地完成极限 的 求解及证明工作。同时通过对极限求法的讨论，加强应用极限解题的能力， 为日后相关学习奠定坚实基础。 行稳致远 b 进度计划： 2011.11.012012.12.02 毕业论文

6、选题、文献调研、填写毕业论文任务书、论文开题； 2012.12.032012.02.01 进行毕业论文的初稿写作； 2012.02.022012.03.24 进行毕业论文的二稿写作； 2012.03.252012.05.09 进一步修改论文，并最终定稿； 2012.05.10 论文答辩。 指导教师意见： 指导教师签名： 年 月 日 教研室意见： 教研室主任签名： 年 月 日 毕业论文课题论证（附） 行稳致远 b 数学分析是近代数学的基础，是现代科学技术中应用最广泛的一门学科，在初等 数学这种静态的数量关系的分析到数学分析这种动态数量关系的研究这一发展过程中， 研究对象发生了很大的变化。也正是在

7、这一背景下，极限作为一种研究事物动态数量 关系的方法应用而生。极限作为数学分析的理论基础和基本组成部分，作为区别初等 数学的重要标志，伴随着微积分的建立，最终发展成现在的角色，贯穿于整个数学分 析学习的过程中，如连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的 收敛性等定义都建立在极限的基础上，可见极限在数学分析的学习过程中起到了十分 重要的作用。 极限的产生和发展可谓是曲折坎坷的，极限理论的建立不仅消除了微积分长期以 来带有的神秘性，也为微积分奠定了理论基础，加速了微积分的发展，使微积分能够 更好的更深入的解决更多的实际问题，成为生产和科学技术中有力的工具，而且在思 想上和方法上深刻

8、的影响和促进了近代数学的发展。 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，研究数学分析中函 数的性质实际上就是研究各种类型的极限，由此可见极限的重要性。极限理论又是数 学分析中的基本概念，对极限理论和极限概念理解和掌握的好坏将直接影响到相关课 程的学习。极限理论是从初等数学到高等数学的重要转折，极限概念描述的是变量在 某一变化过程中的变化趋势，是从有限到无限、近似到精确、量变到质变过程，与初 等数学中的概念有很大的区别，因此学生掌握起来比较困难。 而就是因为其艰难的发展路程，才更显现了它在数学研究过程中的重要性。要深 入数学领域，就必须培养并掌握极限的思想及相关概念，更重要的就是要

9、能够熟练地 使用极限的方法解决数学中的很多难题。而如何求极限，怎样使求极限变得容易，这 是绝大多数学生较为头痛的问题。又因为极限运算作为学习数分过程中的最基本的运 算，所以能够很好地掌握一些常用的求极限的方法时十分必要的。求极限不仅要准确 理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要能准确地求出各种极限。而对于 一些比较复杂的极限，如果直接按照极限的定义来求就会显得非常困难，不仅计算量 大，而且不一定能求出结果。为了极限的发展，使之得到更广泛的应用，有很多学者 专家对求极限的方法也进行过深入的研究。作为一个数学专业的学生，很有必要对极 限的求法和证明方法进行了解和熟悉。相信这个课题会让我更多

10、的人了解数学这门学 科，也对形成数学思想起到促进作用。本文就是针对极限的计算和证明方法展开的。 行稳致远 b 河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述 行稳致远 b 作为一种科学的思想方法，极限思想同样是社会实践的产物。极限的起源与发展一直 也是学者们较为关注的话题。 早在春秋战国时期，哲学名著庄子记载着惠施的一句名言“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”就已经反映了古人对极限问题有了一定的思考。而我国古代数学家刘徽和祖冲 之的“割圆术”已经能够利用极限论的初步思想来解决求圆周率的实际问题了。同时，古 希腊人的“穷竭法”也已经将极限思想蕴涵其中来解决问题。但是，由于希腊人对“无限” 有着一种恐惧

11、心理，于是他们便借助了一种间接的方法归谬法来完成有关证明。以上 这些都是极限思想在其萌芽阶段的表现，尽管这一阶段的极限概念不明确，但是却能够为 后人继续探索和发展极限思想提供一个很好的平台。 到了 16、17 世纪，极限思想进入了发展阶段，荷兰数学家斯泰文改进了“穷竭法” ， 并且大胆地运用了极限的思想来思考问题，从而将极限方法发展成为了一个实用的概念。 之后，牛顿和莱布尼兹以无穷小的概念为基础建立了微积分，但由于他们在研究过程中遇 到了逻辑困难，因此也不同程度地接受了极限思想。 ，此时，真正意义上的极限才得以建 立。然而牛顿对于极限的理解是建立在几何直观上的，故而无法给出极限的严格表述，这

12、与数学上的追求严密的原则相抵触。到了 18 世纪，罗宾斯、达朗贝尔以及依里埃等人先 后给出明确态度，指明极限必须是微积分的基础概念，并且都作出了各自的极限的定义。 直到 19 世纪，法国数学家柯西在前人的研究基础上才将极限概念比较完整地阐述出来。 为了排除极限概念中依旧存在的几何直观的痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯对极限又作出 了静态的定义，也给微积分奠定了更为严格的理论基础。这个严格的定义也被看作是科学 论证的基础，一直沿用至今。 到了近代，在数学的许多分支中，很多重要的学术性概念及理论都是以极限思想为理 论基础来进行延拓和深化的。运用极限思想来解决问题也已经成为了学习数学分析乃至整 个高等数

13、学过程中一件必不可少的工具，数学分析之所以能够很好地解决初等数学无法解 决的问题，也正是源于它应用了极限的思想方法。因此，能够很好的掌握极限的计算及证 明方法也成为学习数学分析的必要条件。 近年，许多的专家、学者对极限的热衷程度逐渐提升，他们在深入探究极限的概念及 理论意义的同时也对极限的计算和证明方法有不同程度的的研究，并且取得了一定的突破。 比如说利用中值定理求极限、利用无穷小量求极限等方法便是较为突出的研究成果。这对 于后人学习数学分析甚至是深入数学领域都有着重大的意义。 河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章 行稳致远 b 英文原文：摘自 Vladimir A.Zorich 著的M

14、athematical Analysis I第 111 页到 114 页。 3.2.2 函数极限的性质函数极限的性质 在这里我们给出一些常用的函数极限的性质。它们中的许多性质都类似于我们之前 已经给出的数列极限的性质，而数列极限的性质我们已经给出，此处不再赘述。此外， 由上面命题 1 的证明能够明显地看出，很多函数极限的性质都是随着与其相应的数列 极限的性质的形成而产生的，例如：极限的唯一性、极限的运算性以及极限的保不等 式性等。 读者们可以注意到这样的现实：我们仅仅需要一列极限点的去心邻域的两个性质： ，即点集的去心邻域是非空的； aUB E 1 E ， aUaUaUB E EE 2 aUa

15、UaUE E E 也就是说，任意去心邻域的交集都包含某一个去心邻域。这一结论给出了我们函 数极限的一般概念，函数极限定理也使得未来数集的定义成为了可能。为了使得此处 的讨论不与上述的 3.1 节出现重复，我们将给出一些前节没有进行证明的新的方法和 概念。 a. 函数极限的一般性质函数极限的一般性质 首先，我们给出以下定义： 定义定义 4.4. 如前所述，假设函数仅是一个常值函数。取一个函数，REf:REf: 当时，如果点是去心邻域上的一个常值，则被称作函数上最Exax ,a aUE af 终恒定的一个点，即为集合的一个极限点。aE 定义定义 5.5. 函数是有界的，有上界或者是由下界，如果存在

16、一个数，REf:RC 对于所有的，都使得或者成立。Ex,)(,)(CxfCxf)(xfC 如果上述三种关系之一仅在这些去心邻域里成立的话，当时，这个Exax , 函数就被称为最终有界、最终有上界或者有下界。 定理定理 1. a. 当时，函数是一个常数ExaxREf:A 。ExAxf ax ,)(lim b. 存在ExAxf ax ,)(lim 1 当时，函数是一个有界常数。ExaxREf: c. 当时)()(lim)(lim 21 ExAxfAxf axax 且 行稳致远 b 。 21 AA 证明 结论 a 中一个最终的常函数有一个极限，结论 b 中一个函数有的极限存在， 说明这个函数有界，这

17、与其对应的定义相符合。我们现在来证明极限的唯一性。 假设。选取两个互不相交的邻域和，即。由极 21 AA 1 AV 2 AV 21 AVAV 限的定义我们有 , 1 1 )()(limAVaUfaUExAxfEE ax 。 2 2 )()(limAVaUfaUExAxfEE ax 选取一个（的一个极限点）的一个去心邻域，使得aE aUE 。 aUaUaUEE E 又，再取。然后就有，由于邻域和 aUE aUx E 21 )(AVAVxf 1 AV 互不相交，故不成立。 2 AV 21 )(AVAVxf b.b.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 定义定义 6.6. 如果两个数值函数和有一个共

18、同的定义域，REf:REg:E 它们的和、积和商函数分别由下列的同一组公式来定义： ,xgxfxgf ,xgxfxgf 此处。 ,xg xf x g f Exxg,0 定理定理 2 2. 取函数和函数，使得他们有一个共同的定义域。REf:REg: 如果，那么ExBxgAxf axax ,)(lim)(lim且 a. ；ExBAxgf ax ,)(lim b. ；ExBAxgf ax ,)(lim 行稳致远 b c. 。 00,lim xgBEx B A g f ax 且，对于 在 3.2.2 节的开头已经注明，这个定理是一个之前的名题 1 中给出的数列极限相 应定理的直接结果。这个定理也可以通

19、过重复证明数列极限的性质来得到。为了缩小 集合中点的去心邻域的范围，我们需要在证明过程中给出一定的限定条件，即同Ea 先前涉及到的陈述“从自然数 N 中取一个数 n” 。此处为读者自行证明。 当时，函数被称作是无穷的，如果函数的极限为零。ExaxREf: 命题命题 2.2. a.当时,如果和趋于无穷，那么它们的和ExaxRE :RE : 也趋于无穷。 b.当时,如果和是无穷函数，那么它们的积 ExaxRE :RE : 也是无穷的。 c.当时,如果是无穷的，且是有界的，那么它们的ExaxRE :RE : 积是无穷的。 证明 a.我们将给出证明如下： 。 ExxExxx axaxax ,0lim,

20、0)(lim0)(lim且 对于任意，利用极限的定义，有0 ， 2 )(,0)(lim xaUxaUExxEE ax 。 2 )(,0)(lim xaUxaUExxEE ax 那么对于去心邻域我们可以得到 aUaUaUEE E ， xxxxxaUx E 这样，我们就证明了。 0lim x ax b.这个结论是结论 c 的特殊情形，因为每一个极限存在的函数都有界。 c.给出证明如下 MxaUxaURMx EE ax ,0)(lim且 。 Exxx ax , 0lim 对于任意，利用极限的定义，有0 行稳致远 b 。 M xaUxaUExxEE ax )(,0)(lim 那么对于去心邻域可以得到

21、aUaUaU E EE 。 M M xxxxxaUxE 这样，我们就证明了。 Exxx ax , 0lim 英文原文： 3.2.2 Properties of the Limit of a Function We now establish a number of properties of the limit of a function that are constantly being used. Many of them are analogous to the properties of the limit of a sequence that we have already esta

22、blished, and for that reason are essentially already known to us. Moreover, by Proposition 1 just proved, many properties of the limit of a function follow obviously and immediately from the corresponding properties of the limit of a sequence: the uniqueness of the limit, the arithmetic properties o

23、f the limit, and passage to the limit in inequalities. We call the readers attention to the fact that, in order to establish the properties of the limit of a function, we need only two properties of deleted neighborhoods of a limit point of a set: ,that is, the deleted neighborhood of the point in i

24、s nonempty; aUB E 1 E , aUaUaUB E EE 2 aUaUaUE E E That is, the intersection of any pair of deleted neighborhoods contains a deleted neighborhood. This observation leads us to a general concept of a limit of a function and the possibility of using the theory of limits in the future not only for func

25、tions defined on sets of numbers. To keep the discussion from becoming a mere repetition of what was said in Sect. 3. 1, we shall employ some useful new devices and concepts that were not proved in that section. a. General Properties of the Limit of a Function We begin with some difinitions. Definit

26、ion 4. As before, a function assuming only one value is called constant. A function REf: is called ultimately constant as if it is constant in some deleted neighborhood REf:axE , where is a limit point of . aUE aE Definition 5. A function is bounded, bounded above, or bounded below respectively if t

27、here is REf: a number such that or for all .RC,)(,)(CxfCxf)(xfC Ex If one of these three relations holds only in some deleted neighborhood , the function is said to be aUE 行稳致远 b ultimately bounded, ultimately bounded above, or ultimately bounded below as respectively.axE Theorem 1. a)( is ultimatel

28、y the constant as )().REf:AaxEAxf axE )(lim b)()( is ultimately bounded as ).)(limxf axE REf:axE c)()()(). 1 )(limAxf axE 2 )(limAxf axE 21 AA Proof.The assertion a) that an ultimately constant function has a limit, and assertion b) that a function having a limit is ultimately bounded, follow immedi

29、ately from the corresponding definitions. We now turn to the proof of the uniqueness of the limit. Suppose . Choose neighborhoods and having no points in common, that is, 21 AA 1 AV 2 AV .By definition of a limit, we have 21 AVAV , 1 1 )(limAVaUfaUAxfEE axE . 2 2 )(limAVaUfaUAxfEE axE We now take a

30、deleted neighborhood of a (which is a limit point of ) such that aUE E . aUaUaUEE E Since , we take . We then have , which is aUE aUx E 21 )(AVAVxf impossible since the neighborhoods and have no points in common. 1 AV 2 AV b. Passage to the Limit and Arithmetic Operations Definition 6. If two numeri

31、cal-valued functions and have a common domain of REf:REg: definition E, their sum, product, and quotient are respectively the functions defined on the same set by the following formulas: ,:xgxfxgf ,:xgxfxgf iffor. , : xg xf x g f 0 xgEx Theorem 2. Let and be two functions with a common domain of def

32、inition.REf:REg: 行稳致远 b If and , thenAxf axE )(limBxg axE )(lim a); BAxgf axE lim b); BAxgf axE lim c), if and for . B A g f axE lim0B0)(xgEx As already noted at the beginning of Subsect. 3.2.2,this theorem is an immediate consequence of thecorresponding theorem on limits of sequences, given Proposi

33、tion 1. The theorem can also be obtained by repeating the proof of the theorem on the algebraic properties of the limit of a sequence.The changes needed in the proof in order to do this reduce to referring to some deleted neighborhood of in aUE a , where previously we had referred to statements hold

34、ing from some on. We advise the reader ENn to verify this. Here we shall obtain the theorem from its simplest special case when .Of course assertion 0 BA c) will then be excluded from consideration. A function is said to be infinitesimal as if .REf:axE0)(lim xf axE Proposition 2. a) If and are infin

35、itesimal functions as , then RE :RE :axE their sum is also infinitesimal as .RE :axE b)If and are infinitesimal functions as , then their product RE :RE :axE is also infinitesimal as .RE :axE c)If is infinitesimal as and is ultimately bounded as RE :axERE : , then their sum is also infinitesimal as

36、.axERE :axE Proof. a) We shall verify that . Let be given. By definition of 0 0lim0lim0lim xxx axEaxEaxE the limit, we have , 2 0lim xaUxaUxEE axE . 2 0lim xaUxaUxEE axE 行稳致远 b Then for the deleted neighborhood we obtain aUaUaUEE E , xxxxxaUx E That is, we have verified that . 0lim x axE b)This asse

37、rtion is a special case of assertion c), since every function that has a limit is ultimately bounded. c)We shall verify that MxaUxaURMx EE axE 0lim )0)()(lim( xx axE Let be given.By definition of limit we have0 . M xaUxaUxEE axE 0lim Then for the deleted neighborhood , we obtain aUaUaU E EE . M M xx

38、xxxaUxE Thus we have verified that . 0lim xx axE 行稳致远 b 本科生毕业论文设计 题目 极限的计算与证明方法 作者姓名 X X X 指导教师 X X X 所在学院 汇华学院 专业（系） 数学与应用数学 班级（届） 2012 届 X 班 完成日期 2012 年 5 月 8 日 行稳致远 b 目目 录录 中文摘要、关键词 .III 1.绪论 .1 2.极限的分类及定义 .1 2.1 数列极限及其定义 .1 2.2 函数极限及其定义 .2 3.极限的计算与证明方法 .2 3.1 利用极限的定义求极限.2 3.2 利用三个准则求极限.3 3.3 利用柯

39、西收敛准则求极限 .5 3.4 利用极限的四则运算性质求极限.6 3.5 利用两个重要极限公式求极限.7 3.6 利用单侧极限求极限.8 3.7 利用无穷小量的性质求极限 .8 3.8 利用等价无穷小量代换求极限 .9 3.9 利用函数的连续性求极限 .9 3.10 利用导数的性质求极限 .11 3.11 利用中值定理求极限 .12 行稳致远 b 3.12 洛必达法则求极限 .14 行稳致远 b 3.13 利用泰勒展开式求极限 .17 3.14 利用定积分求和式的极限 .18 3.15 利用级数收敛的必要条件求极限 .19 4.结束语 .20 参考文献 .20 英文摘要、关键词 .IV 行稳致

40、远 b 行稳致远 b 极限的计算与证明方法 河北师范大学汇华学院数学与应用数学专业 指导教师 XXX 作者 XXX 摘要 本文主要归纳了数学分析中求极限的十五种方法：（1）利用函数的定义求极 限、 （2）利用三个准则求极限、 （3）利用柯西收敛准则求极限、 （4）利用极限的四则 运算性质求极限、 （5）利用两个重要极限公式求极限、 （6）利用单侧极限求极限、 （7）利用无穷小量的性质求极限、 （8）利用等价无穷小量代换求极限、 （9）利用函数 的连续性求极限、 （10）利用导数的定义求极限、 （11）利用中值定理求极限、 （12）利 用定积分求和式的极限、 （13）利用洛必达法则求极限、 （1

41、4）利用泰勒展开式求极限、 （15）利用级数收敛的必要条件求极限。 关键词 极限，极限的分类，极限的计算方法 行稳致远 b 1.绪论 数学分析就是将函数作为研究对象，将极限理论及其方法作为基本方法，并且把 微积分学作为其主要内容的一门学科。而极限理论及其方法在这门课程中又占有着极 其重要的地位。极限思想是微积分中的最基本的一种思想，数学分析中的大量的深层 次理论及相关应用都是极限的不断延拓和深化，而其中的一系列重要概念，例如导数、 函数的连续性以及定积分等等都需要借助极限来定义。假若有人要问：“数学分析到 底是一门什么样的学科？”那么我们可以概括地说：“数学分析便是将极限思想作为 基本工具对函

42、数进行研究的的一门学科” 。 极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限 理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门学科。极限一直是数学分析中的一个 重点内容，极限主要可分为数列极限和函数极限两大类，而极限的计算与证明方法又 可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们可以知道求极限的最基本的方法还是利用极 限的定义，同时也要注意两个重要极限的运用，也可以利用数列极限的四则运算法则 计算。迫敛性和单调有界准则是很重要的定理，在解题的时候要重点注意运用。泰勒 公式、洛必达法则等则是针对某些特殊的情形而言的。 极限理论的建立，不仅将长期以来微积分所带有的神秘性消除了，而且在数学

43、思 想上和解题方法上深刻的影响并且促进了近代数学的快速发展，成为了生产以及科学 技术中的有力工具。所谓的极限思想，就是运用极限概念对一系列问题进行分析并作 出进一步的解决的一种数学思想。由此，极限运算也就成为了学习数分过程中的最基 本的运算。 极限的定义又是高度抽象的，这就使得我们不能完全利用其基本的定义来解决所有有 关问题，而又因为极限的运算分布于整个高等数学的始终，所以，对于极限的相关计 算方法和证明方法便显得尤为重要。 2.极限的分类及定义 2.1 数列极限及其定义 定义 设为数列，为定数。若对任给的正数，总存在正整数，使得当 n aaN 时有Nn ,aan 则称数列收敛于，定数称为数列

44、的极限，并记作 n aaa n a ,或,aan n lim)(naan 行稳致远 b 读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于”。n n aa n aa 注：以上定义常称为数列极限的定义。N 2.2 函数极限及其定义 定义 设为定义在上的函数，为定数.若对任给的，存在正数f, aA0 (M ,使得当时有)aMx , Axf)( 则称函数当趋于时以为极限，记作fxA 或 。Axf x )(limAxf)()(x 3.极限的计算与证明方法 3.1 利用极限的定义求极限 利用极限的定义求极限是一种最根本的求极限的方法。 【例 1】利用极限的定义证明下题： (1); (2);0, 0 ! lim a

45、n an n n n n!lim 证 (1)对于任意，都要找到，使得当时，0NNn (1.1) ! 0 !n a n a nn 分析不等式(1.1)的左端，分子为个数的乘积，分母为的乘积，随着不断的nan, 2 , 1 n 增大，分子上的因子永远是数，而分母的因子会越来越大，因此不等式左端随着的an 增大，会越来越小，而且有 1 1 nn x n a x 由于为一个正常数，故存在着正整数，使得a 1 N 1 1 N a 行稳致远 b 则当时，,并且 1 Nn n a N a xx Nn 1 1 1 n a xx Nn 1 0 由此，若想使(1.1)成立，只需 (1.2) n a xN 1 成立

46、即可。 取，则当时，式(1.2)成立，即式(1.1)也成立。可得 1 2N x a N 2 ,max 1N Nn 0lim n n x (2)要证，只需对任意，可以找到，使得当时， n n n!lim0MNNn (1.3)1 ! ! n M Mn n n 故知，即对于，是能够找到，使得当时，式(1.3)成立。 0 ! lim n M n 1NNn 【例 2】 证明，这里设是一个正数。0 1 lim n n a 证 由于 , nn 1 0 1 因此，对于任意的，只需取，则当时，便有01 1 1 NNn 即 Nn 11 0 1 n 这就证明了 0 1 lim n n 3.2 利用三个准则求极限 3

47、.2.1 迫敛性(夹逼准则) 定义 设收敛数列和数列都是以为极限的，且数列满足：存在正数 n a n ba n c ，当时有 0 N 0 Nn 行稳致远 b ， nnn bca 则数列收敛，且。 n cacn n lim 【例 1】 求数列的极限。 n n 解 设，此处， n n n hna110nhn 则有如下式 2 2 1 1 n n n h nn hn 由上可得 ，1 1 2 0 n n hn 因此有 1 2 111 n ha nn （1.1）数列总是收敛于 1 的，由于对任意给出的，我们取， 1 2 1 n 0 2 2 1 N 则当时便有。Nn 1 1 2 1 n 于是，不等式(1.1

48、)的左极限和右极限都为 1，故由迫敛性得到。 1lim n n n 3.2.2 单调有界准则 定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限。 【例 2】 证明数列 ， ,222,22,2 个根号n 是收敛的，并且求出其极限。 证 设，我们可以发现数列是递增的。现在应用数学归222 n a n a 纳法来证明数列有上界。 n a 显然有。22 1 a 行稳致远 b 设，则有，因此对一切都有，即数列2 n a2222 1 nn aan2 n a 有上界。 n a 故由以上定理知，数列是有极限的，并且可记其为。又由于 n aa ， nn aa 2 2 1 对上式的左右两边取极限可得，即有aa 2 2 ，

49、解得021aa21aa或 由保不等式性可知，是不可能的，故有1a 。 2222lim n 3.3 利用柯西(Cauchy)收敛准则求极限 定理（柯西收敛准则） 数列收敛的充要条件是：对任给的,存在正整数 n a0 ，使得当时有NNmn, mn aa 以上定理从理论上可以完全地解决数列极限其存在性问题。 我们称柯西收敛准则的条件其为柯西条件，它同时反映了这样一个事实：收敛数 列各项的值越是到后面，彼此就越是接近，以至于充分后面的任意两项差的绝对值可 小于预先所给定的任意小的正数。另外，柯西收敛准则把定义中的与的关系N n aa 转换成了与的关系，这样的好处在于不需要借助数列以外的数，仅仅需要根据

50、 n a m aa 这个数列本身的特征便能够鉴别其敛散性。 【例】 取数列，并且设,。证明存在，并 n x0 0 x n n x x 2 1 1 2 , 1 , 0n n n x lim 求出其极限值。 证 因为,由数学归纳法我们可知0 0 x 2 1 2 1 0 1 1 x x , 2 1 0 n x)2 , 1 , 0(n 行稳致远 b 对于任意的，有p 11 2 1 2 1 npn npn xx xx 11 11 11 4 1 )2)(2( npn npn npn xx xx xx 33 3 22 2 4 1 4 1 npnnpn xxxx 0 4 1 xxp n 00 2 1 4 1

51、4 1 xxx n p n 因为0 2 1 4 1 lim 0 x n n 所以对于任给的，存在一个正整数，使得当时，对任意的，有0NNn p 0 2 1 4 1 xxx n npn 由以上定理可知数列收敛。 n x 再设,对等式的两边取极限可得，且解得。xxn n lim n n x x 2 1 1 x x 2 1 21x 由保不等式性可取 21x 故 。 21lim n n x 3.4 利用极限的四则运算性质求极限 定理（四则运算法则） 若与为收敛数列，则也都 n a n b nnnnnn bababa, 是收敛数列，且有 ， n n n n nn n baba limlimlim 。 n

52、 n n n nn n baba limlimlim 行稳致远 b 特别当为常数 时有 n bc 。 n n n n n n n n accacaca limlim,lim)(lim 若再假设及，则也是收敛数列，且有0 n b0lim n n b nn ba n n n n n n n b a b a lim lim lim 【例 1】 求 ,lim 01 1 1 01 1 1 bnbnbnb ananana k k k k m m m m n 其中。0, 0, km bakm 解 用同时乘以到分子分母后，所求的极限式可化为 k n ,lim 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 kk kk

53、 kkkm m km m n nbnbnbb nananana 当时，我们有。那么，当时，上式除了分子分母的首项分别为0a0lim n n km 和外，其余的各项极限都是 0，因此所求的极限就等于；而当时，又由 m a k b m m b a km 于，因此所求的极限等于 0。综上可得 km n )0(0n 。mk mk b a bnbnbnb ananana m m k k k k m m m m n , 0 , lim 01 1 1 01 1 1 【例 2】 求下列极限: (1); (2)。 12 1 lim 2 2 1 xx x x 2 321 lim 4 x x x 解 (1) ) 1

54、2)(1( ) 1)(1( lim 12 1 lim 1 2 2 1 xx xx xx x xx 12 1 lim 1 x x x 3 2 行稳致远 b (2) )4( )4(2 321 2 lim 2 321 lim 44 x x x x x x xx 321 )2(2 lim 4 x x x 3 4 3.5 利用两个重要极限公式求极限 3.5.1 极限公式 1 sin lim 0 x x x 【例 1】求。 2 0 cos1 lim x x x 解 2 0 2 0 2 2 sin 2 1 lim cos1 lim x x x x xx 2 1 3.5.2 极限公式 e x x x 1 1l

55、im 【例 2】 求。x x x 1 0 21lim 解 2 2 1 2 1 0 1 0 2121lim21limexxx xx x x x 注：在这一类型的习题中，一般是不能直接应用以上公式的，而是需要通过恒等 变形做出化简后才可再利用公式进行运算。 3.6 利用单侧极限求极限 这种方法常常用于求分段函数在分段点处的极限，首先要考虑分段点的左、右极 限，若左、右极限都存在并且相等，则该函数在分界点处的极限就存在，否则极限不 存在。 行稳致远 b 【例】 已知函数，求其在点处的左右极限。 0, 1 sin ,0,1 2 )( x x x xx xf 0 解 在的右极限为 0 x1 1 sinl

56、im 0 x x x 在的左极限为 0 x1 1 sinlim 0 x x x 因此 1)(lim)(lim 00 xfxf xx 故有 1)(lim 0 xf x 3.7 利用无穷小量的性质求极限 无穷小量的性质 无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。 即如果,g(x)在某区间有界，那么 0)(lim 0 xf xx ),(),( 0000 xxxx 0)()(lim 0 xgxf xx 这种方法可以解决一个函数不存在但是有界，和另一个极限为零的函数的极限的 乘积的问题。 【例】 求 。 x x x 1 sinlim 2 0 解 因为当时，是无穷小量，为有界量，0 x 2 x x 1 sin

57、所以由以上性质可得 0 1 sinlim 2 0 x x x 3.8 利用等价无穷小量代换求极限 定义（等价无穷小量） 若，则称是当时的等价无穷小量。1 )( )( lim 0 xg xf xx g与f 0 xx 记作 。)()( 0 xxxgxf 【例】 利用等价无穷小量代换求以下极限 。 3 0 sin sintan lim x xx x 解 因为,)cos1 ( tan sin sintanx x x xx 行稳致远 b 从而 ),0(sin),0( 2 cos1),0(sin 33 2 xxxx x xxxx 故有 2 1 cos 1 lim sin sintan lim 3 2 0

58、3 0 2 x x xx xx x xx 注：在应用等价无穷小量的代换求极限时，我们应注意，只有对所求的极限式中 相乘或者相除的因式，才能够应用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减 的部分，则不能够随便替换。 3.9 利用函数的连续性求极限 定理 若函数在点连续，在点连续，则复合函数在点f 0 xg 0 u)( 00 xfu gf 连续。 0 x 注：根据连续性定义，上述定理的结论又可表为 。 (1.1)()(lim()(lim 0 00 xfgxfgxfg xxxx 【例 1】 求。)1sin(lim 2 1 x x 解 我们将看作是函数的复合。)1sin( 2 x 2 1)(sin

59、)(xxfuug与 由(1.1)式得 00sin)1 (limsin()1sin(lim 2 1 2 1 xx xx 注：如果复合函数的内函数在当时其极限为，而或是函gf f 0 xx a)( 0 xfa 数在点处无定义(即为的可去间断点)，又知外函数在连续，那么我们f 0 x 0 xfgau 仍旧可以应用上述的定理来求解复合函数的极限，即有 (1.2)(lim()(lim 00 xfgxfg xxxx (1.2)式不仅对这种类型的极限成立，而且对于等类型 0 xx 0 ,xxxx或 的极限也是成立的。 【例 2】 求极限 (1) ; (2) 。 x x x sin 2lim 0 x x x

60、sin 2lim 行稳致远 b 解 (1); 112 sin lim2 sin 2lim 00 x x x x xx (2) 。 202 sin lim2 sin 2lim x x x x xx 【例 3】 函数在区间上是一致连续的，又对于,(f, 0 1 , 0 x0)(lim nxf n 为正整数)。证明。n0)(lim xf x 证 函数在区间上一致连续，指的是对于任意给出的，都存在，f, 000 ，且当时，0, 21 xx 21 xx (1.1)()( 21 xfxf 我们需要证明的是，存在，当时，MMx (1.2) Cxf)( 可以是某一个常数。C 又由题设知对于任意的，都有，这表明