精选数列求和技巧与策略

1、数列求和的基本方法和技巧就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.3d2 （q 1）1、等差数列求和公式： Sn2n2、等比数列求和公式：Sna1（1 qn）nai3、Snn(n 1)24、Sn5、Snk2k 1nk3k 16n(n1)(2nanq(q 1)例1已知log3X尹n11)2解：由log 3 Xlog2 31，求xlog 2 3由等比数列求和公式得1)的前n项和.log 3 xlog3 2Snx x2X3xn（利用常用公式）=x(1 x )1 x1(1丄)卍=1丄 1 12n2例

2、2设1+2+3+- +n, nN ,求解：由等差数列求和公式得Sn- f( n)(n 32)5 11 _ =64 34f(n) Sn(n 32)Sn 11Sn n(n 1),2n2n 34n 64的最大值.Sn丄5 1)(n 2)2（利用常用公式）n= 8 时,1(jR50Jn1f (n)max50这种方法是在推导等比数列的前 n a n 、 b n分别是等差数列和等比数列 例3求和：Sn解：由题可知，设xSn50二、错位相减法求和项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a n bn的前n项和，其中一得1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1(2 n 1)xn 1的通项是等差数列(2n

3、2x31x 3x2 5x3 7x4(1 x)Sn 1 2x 2x22n 1的通项与等比数列1）xn2x4再利用等比数列的求和公式得：（1x)Sn的通项之积（设制错位）（错位相减）.1)xn2xn 1(2n” n 12x一 (2n1 x(2n 1)xn (1 X)1)xnS (2n 1)xn1Sn2(1 x)例4求数列22 岂，前n项的和.2 22 232n2n1竺的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积2n2n4尹4尹2)Sn2-T3-解:由题可知,设Sn2Sn6歹62一得(1Sn2尹1盯n 22n迁2n2n 12尹2n尹(设制错位)2n2n(错位相减)练习：2求：Sn=1+5x+9x

4、 +2解：S=1+5x+9x + -两边同乘以X ,+(4ni n-1-3)x+(4n -3)xn-1X Sn=X+5 X2+9x3+ -得,当X=1时,当XMl时,(1-x ) S=1+4 S=1+5+9+14x(1-xSn=-+(4n -3)x/23(X+ X +x + + ( 4n-3 )+1- (4n-3 ) - +2=2n -nnX ) - (4n-3) Xnx 三、反序相加法求和n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1 an).例5求证：C03。!5C2(2n 1)cn(n 1)2证明：设Sn C；3cn5C：(2n1)C

5、nl)Cn把式右边倒转过来得Sn (2n1)Cnn(2n1)Cr3又由cmn mCn可得Sn (2n1)Cn0(2n1)4SC：1+得 2Sn(2n2)(C0C1nCnC n 1CnSn(n1) 2n例 6求 sin21 sin2 2sin2 3sin2 88sin2 89解：设 S sin21sin2 22 Sin32sin2 88这是推导等差数列的前n的值2sin 89CnC：C；)2(n1) 2n(反序)(反序相加)将式右边反序得2S sin 89又因为 si nx+得2S (sin 21 S = 44.52sin 88cos(90cos21 )sin2 32 2x),sin X cos

6、(sin2 2 cos2 2练习：已知lg(xy)=a ，求S,解：将和式S中各项反序排列，得s igyn ig(xn1y) ig(xn 2y2) 将此和式与原和式两边对应相加, 2S= ig(xy)n+ig(xy)_ (n+1)项其中S=|g xnsin 2 21ig(Xn1y)ig(Xsin21.(反序)(反序相加)(sin2 892cos 89 ) =892y2) ?, n ig y? Ig得lg(xy)n=n(n+1)lg(xy)/ lg( xy)=a有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列, 然后分别求和，再将其合并即可 .1 S=尹+1）a四、分组法求和若将这类数列适当拆开，可分

7、为几个等差、等比或常见的数列,例7求数列的前n项和：11,1a1 解：设 Sn （11）（-a将其每一项拆开再重新组合得1 （1 - aSn当a = 1时,Sn当a 1时，Sn例 8求数列n(n +1)(2n+1)设ak解:Sn练习:解:4)4, At 7,a(丄7)a1F)(1 a(3n1)n1na1(3n1an 1(右(3n1)n1)n3n 2，3n 2)3n 2)（分组）（分组求和）(3n 1)n2a n项和.k(k 1)(2k 1) 2k3nk(k 1)(2kk 1的前3k21)(2k313k2k)将其每一项拆开再重新组合得n3k 1nS = 2k 12(132 ,n (n求数列S 1

8、2(1 2k3k2（分组）232n(n 1)2(n2】31481)?3、n )k 13(12n2)(1 2n)n(n 1)(2 n1)n(n22)（分组求和）2,3!,?(n 丄),?的前2nn项和。(n 1)2.1 1n) (2 f f ?这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 使之能消去一些项，最终达到求和的目的anf(n 1)f(n)五、裂项法求和.裂项法的实质是将数列中的每项 .通项分解（裂项）女口：si n1tan(n 1)anan1n(n 1)11n 1ann(n 1)( n 2)n 21n(n 1) 2n2 n(n 1)2(n1) nn(n 1)COS n cos(n 1)(2

9、n)2(2n 1)(2 n-1)(n 2)1_-n1,八n，八7s nn2(n1)2an1)112(2n（通项）tann分解，然后重新组合,2n 1)(n 丄1(n 1)2n11例9 求数列-14242 Q vn解：设an例 10例 11解:则SnTn Jn 11jn（裂项）1 72 72 73（裂项求和）(7342)TH)Jn在数列an中,解:anan又bnan数列b n的前n项和Sn 8(1=8(1求证:，求数列bn的前n项的和.an 1（裂项）1、 J 1、 J 1)2) (23)(3(丄n七)（裂项求和）8ncos1cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89sin21c

10、os0 cos1si n1cos1 cos2cos88 cos89cosn cos(n 1)tan(n 1)tan n（裂项）cos0 cos1-(ta n 1cos1 cos2cos88 cos89（裂项求和）sin 11(tan89sin 1原等式成立tan0 ) (tan2tan1 ) (tan 3tan 2 ) tan 89tan 88 tan 0 )=sin 1cos1cot1 =2-sin 11练习：求3，解: 1363之和。1535631 1133 51 1 12、3235257)2(79)1 1 1 1(1 -)-(-1 1 1 1)-(-二1 1 1 1 1 1 1 1 2(

11、11(13) (3 5) (5 7) (7 9)1)六、合并法求和针对一些特殊的数列, 起先求和，然后再求 Sn.将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一例 12求 cos1+ cos2 + cos3解：设 Sn= cos1 + cos2 + cos3- + COS178 + COS179 的值- + cos178 + cos179cosn cos(180 n )（找特殊性质项）S n=(cos1 + cos179 )+ ( cos2 + cos178 )+(cos3 + cos177 ) + (cos89 + cos91 =0例 13数列a n : 81

12、 1,82)+ COS90（合并求和）3, a3解：设S2002= 81828382002由81 1, 823,832,8n28n 18n可得841,853,8(6 2,871 , 88 3,892,8101 811 3, 8122,86k1 人 86k 23,86k3 2,86k4h 86k 53,86k 62T86k 186k 286k 386k 486k586k 60（找特殊性质项）二$002= 81828382002（合并求和）=(81828386 )（8：788812 )(86k 186k 286k 6 )(819938199481998 )819998 20008200182002

13、=819998 20008 20018 2002=86k 186k 286k 386k4=5在各项均为正数的等1比数列中，若ia5869,求 log 3 81log 382log3 810的值-解：设Snlog 3 81log 3 82log 3810（找特殊性质项）例 14an 12、an 28n ,求 S2002.由等比数列的性质m n P q和对数的运算性质loga M log allog 3810) (log 3 a2 a10) (|og 3 8289)log 3 910939Sn (log 381=(log 3 81=log39=10am8* apaqloga M Nlog 3 89

14、)(log 3 85得(log 3 85 log 3 86)86)（合并求和）先根据数列的结构及特征进行分析, 项和，是一个重要的方法.七、禾U用数列的通项求和 找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n例 15求 1 11111解：由于111111n个1丄9999k个 11之和.9 丄(10k91)（找通项及特征） 1 11111111 1n个 1=1(10191)1 2 -(102 1) 91 3 一(103 1) 91 1=-(10102103110n) -(1 1991 10(10n1) n91n个 1k个 1910 1(10n 1 10819n)例16已知数列an : 8n(n 1)(n 3)、求(n1解： (n1)(an-(10n91)（分组求和）1)1)(an