高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理教师用书 文 苏教版(2021年最新整理)

1、（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理教师用书 文 苏教版（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理教师用书 文 苏教版 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理教师用书 文 苏教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将

2、是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理教师用书 文 苏教版的全部内容。174.6 正弦定理、余弦定理1.正弦定理、余弦定理在abc中，若角a，b，c所对的边分别是a，b，c，r为abc外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2ra2b2c22bccos a；b2c2a22cacos b；c2a2b22abcos c变形（1）a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c;(2)sin a，sin b,sin c；（

3、3）abcsin asin bsin c;(4）asin bbsin a,bsin ccsin b，asin ccsin acos a；cos b；cos c2。在abc中,已知a、b和a时，解的情况如下a为锐角a为钝角或直角图形关系式absin absin aab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式（1)saha(ha表示边a上的高)；(2）sabsin cacsin bbcsin a；(3）sr(abc)(r为三角形内切圆半径）.【知识拓展】1。三角形内角和定理在abc中，abc；变形：。2.三角形中的三角函数关系（1)sin（ab）sin c;(2）cos(ab)cos c；(

4、3)sin cos ；(4)cos sin .3。三角形中的射影定理在abc中，abcos cccos b；bacos cccos a；cbcos aacos b.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”）（1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比。（)(2)在abc中,若sin asin b，则ab。（）（3)在abc的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2c2a20时，三角形abc为锐角三角形。(）（5）在abc中,。（)（6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积。（）1。(教材改编)在abc中，a2，a30，c45,则abc的面积sabc_.

5、答案1解析b，sabcabsin c（)1.2。（教材改编)在abc中，a60，b75，a10，则c_。答案解析由abc180，知c45，由正弦定理得，即,c。3.（教材改编）在abc中，a60，ac2，bc,则ab_。答案1解析方法一在abc中,根据余弦定理,即bc2ab2ac22abaccos 60，得(）2ab2222ab2cos 60,整理得ab22ab10，解得ab1.方法二在abc中，根据正弦定理,得，即，解得sin b1,因为b（0，180)，所以b90，所以ab1。4.在abc中，角a，b，c对应的边分别为a，b，c，若a120，a2，b,则b_。答案解析a120，a2,b，由

6、正弦定理可得，sin bsin a。a120,b30，即b.5.（教材改编)在abc中，已知cb7，ac8,ab9，则ac边上的中线长为_.答案7解析由条件知cos a,设ac边上的中线长为x，由余弦定理知x2（)2ab22abcos a429224949，x7,故所求中线长为7。题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1（1）(2016南京、盐城调研）在abc中，设a,b，c分别为角a，b，c的对边，若a5,a，cos b，则c_.答案7解析因为cos b，所以b(0，)，从而sin b，所以sin csin(ab)sin acos bcos asin b，又由正弦定理得，即,解得c7。(2）

7、（2016四川)在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b,c，且。证明：sin asin bsin c；若b2c2a2bc，求tan b.证明根据正弦定理，可设k（k0），则aksin a，bksin b,cksin c，代入中，有，变形可得sin asin bsin acos bcos asin bsin（ab).在abc中，由abc，有sin（ab)sin（c)sin c.所以sin asin bsin c。解由已知，b2c2a2bc,根据余弦定理，有cos a.所以sin a.由知，sin asin bsin acos bcos asin b，所以sin bcos bsin b.故t

8、an b4.思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a,b，c或其他相应变形公式求解。（2)求角:先求出正弦值，再求角，即利用公式sin a,sin b,sin c或其他相应变形公式求解.(3）已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4）灵活利用式子的特点转化:如出现a2b2c2ab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.(1）abc的三个内角a，b,c所对边的长分别为a，b，c,asin asin bbcos2aa，则_。(2）在abc中，内角a，b，c的对边长分别为a，b，c，已知a2c2b，且sin(ac）2cos asin c,则b_。答案（

9、1)(2）2解析(1)(边化角)由asin asin bbcos2aa及正弦定理，得sin asin asin bsin bcos2asin a,即sin bsin a,所以.(2)(角化边）由题意，得sin acos ccos asin c2cos asin c，即sin acos c3cos asin c，由正弦、余弦定理，得a3c，整理得2(a2c2）b2，又a2c2b，联立得b2。题型二和三角形面积有关的问题例2（2016南通模拟)在abc中,角a，b，c所对的边分别为a，b,c，（abc）(abc)ab。(1)求角c的大小；（2)若c2acos b，b2,求abc的面积。解（1）在a

10、bc中,由（abc）(abc)ab，得,即cos c.因为0c，所以c.(2) 方法一因为c2acos b，由正弦定理，得sin c2sin acos b。因为abc，所以sin csin（ab）,所以sin（ab）2sin acos b，即sin acos bcos asin b0，即sin（ab）0，又ab,所以ab0,即ab,所以ab2.所以abc的面积为sabcabsin c22sin .方法二由c2acos b及余弦定理，得c2a，化简得ab，所以abc的面积为sabcabsin c22sin 。思维升华（1）对于面积公式sabsin cacsin bbcsin a，一般是已知哪一个

11、角就使用哪一个公式。（2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化。在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a,b，c。若c2(ab）26,c，则abc的面积是_。答案解析c2（ab)26,c2a2b22ab6.c，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.sabcabsin c6。题型三正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例3(1)在abc中，角a，b,c所对的边分别为a，b,c,若cos a，则abc的形状为_三角形。(2）设abc的内角a，b，c所对边的长分别为a，b,c.若bc2a，3sin a5sin b，则abc的形状为_

12、三角形。答案（1)钝角（2）钝角解析（1）由cos a，得cos a，所以sin csin bcos a,即sin（ab）sin bcos a，所以sin acos b0，所以cos b0，即b为钝角，所以abc为钝角三角形。(2)由3sin a5sin b及正弦定理得3a5b，故ab，cb。所以cos c，即c。从而abc为钝角三角形.引申探究1.例3(2）中，若将条件变为2sin acos bsin c,判断abc的形状。解2sin acos bsin csin（ab）,2sin acos bsin acos bcos bsin a，sin(ab）0，又a，b为abc的内角.ab，abc为

13、等腰三角形。2。例3（2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos asin bsin c，判断abc的形状.解a2b2c2ab，cos c，又0c，c,又由2cos asin bsin c得sin（ba）0，ab,故abc为等边三角形.命题点2求解几何计算问题例4（2016连云港调研）如图，在梯形abcd中，已知adbc，ad1，bd2,cad,tanadc2. (1)求cd的长；(2)求bcd的面积。解(1）因为tanadc2，且adc(0,)，所以sinadc，cosadc.所以sinacdsin(adc）sin（adc)sinadccos cosadcsin ，在adc中，由正弦定

14、理得cd.(2)因为adbc，所以cosbcdcosadc，sinbcdsinadc。在bdc中，由余弦定理得bd2bc2cd22bccdcosbcd，得bc22bc350，解得bc7, 所以sbcdbccdsinbcd77。思维升华(1）判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状,此时要注意应用abc这个结论。(2）求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.(1）如图，在abc中，d是bc上的一点，已知b60，ad2，ac，dc，则

15、ab_.(2)（2015课标全国）在平面四边形abcd中，abc75，bc2，则ab的取值范围是_.答案（1）（2)（，）解析(1)由题意得cosadc，sinadc,sinadbsin（adc）。由正弦定理可得,，ab.(2)如图所示，延长ba与cd相交于点e，过点c作cfad交ab于点f，则bfabbe. 在等腰三角形cbf中，fcb30，cfbc2，bf。在等腰三角形ecb中，ceb30，ecb75,bece,bc2，be。1.角b不存在,即满足条件的三角形不存在。5。在abc中,角a，b，c的对边分别为a,b，c，且cos2，则abc的形状是_三角形.答案直角解析在abc中,cos2，

16、cos a，由余弦定理知cos a，,b2c2a22b2.即a2b2c2.故abc是直角三角形。6.（2016连云港模拟）abc的内角a，b，c的对边分别为a,b，c，已知b2,b，c，则abc的面积为_.答案1解析b2，b，c。由正弦定理，得c2,a(），sin asin(）sin cos cos sin 。则sabcbcsin a221.7。(2016全国甲卷）abc的内角a，b，c的对边分别为a,b，c，若cos a,cos c，a1，则b_.答案解析在abc中，由cos a，cos c,可得sin a,sin c，sin bsin(ac）sin acos ccos asin c，由正弦

17、定理得b。8.如图，正方形abcd的边长为1，延长ba至e，使ae1，连结ec,ed，则sinced_。答案解析由题意得ebeaab2，则在rtebc中,ec。在edc中，edcedaadc，由正弦定理得，所以sincedsinedcsin.9.已知a,b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，若cos b，a10，abc的面积为42，则b的值等于_。答案16解析依题意可得sin b,又sabcacsin b42，则c14.故b6，所以bb16.10.在abc中，角a，b，c所对的边分别为a,b，c,且满足asin bbcos a.若a4，则abc周长的最大值为_.答案12解析由正弦定理，可

18、将asin bbcos a转化为sin asin bsin bcos a。又在abc中，sin b0，sin acos a，即tan a.0a，a.由余弦定理得a216b2c22bccos a(bc）23bc（bc）23()2，则(bc)264，即bc8（当且仅当bc4时等号成立)，abc周长abc4bc12，即最大值为12。11.（2016苏锡常镇一调）若一个钝角三角形的三内角成等差数列,且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是_.答案(2，)解析由三角形的三个内角成等差数列,得中间角为60。设最小角为,则最大角为120,其中030.由正弦定理得m2.12.在abc中，角a，b，c所对的边分别为a,b，c，若bc且7a2b2c24，则abc的面积的最大值为_。答案解析由bc，得bc，代入7a2b2c24，得7a22b24，即2b247a2，由余弦定理，得cos c，所以sin c，则abc的面积sabsin caba 4，当且仅当15a2815a2时取等号,此时a2.所以abc的面积的最大值