不定型的极限与罗必达法则

1、文档从互联网中收集、已重新修正排版、word格式支持编辑、如有帮助欢迎卜 载支持。4一5不定型的極限與羅必達法則【在第一章中我們曾經學過極限值型、M型，這兩種不定型，本節將介紹一0 S種技巧（羅必達法則），來求這兩種不定型的極限值】定理：已知lim 4 為或了不定型極限,設函數/ （x）, g （兀）對於某包含u5 g（x） 0 s的開區間內每-數X，XHd，導數均存在，且g（X）HO off（x）若lim的極限存在或極限為如 i g （兀）n lim 学=lim 也if g(x)A1 word格式支持编辑如有帮助欢迎卜载支持Q【將lim改為lim、limlim、lim本定理依然適用】mv-w

2、-ocf（X）【若lim所得的極限值為不存在（不包含極限值為co），則此定理 不適用，需利用別的方法解決】,“ x-sinx（提示：sin0 = 0）例題I.求hm/ lim(x - sin x) = 0 - sin 0 = 0limx = 0XT()xsin x0i恕 k 屬於不定型6型可用羅必達法則嘗試作答】文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。Sol :.（x-sinx）x-smxdxlim二 limX-0牙XT（）dx dx“ l-cos 兀 1-cosO =limXT（）|1 =03word格式支持编辑如有帮助欢迎卜载支持Q（提示:cosO

3、= l）一. In例題2.求linij % 一 1/ limln V% =0 ，lim（x-l） = 1-1 = 0A1XT1舸譬屬於不定型舉可用羅必達法則嘗試作答】Sol :1. 1 1i 厂_ In x_ x _ .lim = lim = lim -=z x-1 i x-l j 12【提示：nxr = rnxflnx例題3.求叶/ lim In x = co-Vlime1 =s.r屬於不定型M型，可用羅必達法則嘗試作答】 GO丄lim- = lim = lim!= 0XTXT* pXyt*【提示】一一 x - cos X例題4求limv lim(x-cosx) = co 、limx = o

4、o-V-VX COS Xoolim- 屬於不定型一型，可用羅必達法則嘗試作答】XT*X00x-cosx 1 + sinxhm= lim 一-一 (不存在)XT*v1【依照羅必達法則的規定lim 匚空丄的答案，不能說是不存在。本題5 X需用其它方法解決】Sol :/-1COSX-1-cosx1x-1 x-cosx 0x- x-cosx x + 1=()x3_x20 lim-屬於不定型一型、可用羅必達法則嘗試作答】 F ex + ex - 20Sol :v lim(3x2-2x) = 0-0 = 0，lirn(ex-ex) = 1-1 = 03 兀2x0啊 b 還是屬於不定型6型,可用羅必達法則繼

5、續嘗試作答】lim 丄二匚=叶竺土 = lim 竺1 = 口 = -17)+勺_25-忖+严 1 + 1【例題5使用了兩次羅必達法則】例題6.求limy - 3xoo【屬於不定型一型可用羅必達法則嘗試作答】OOSol :JXXeeelim = lim= lim =sf jt -3x 2x-3 X 2,lnx例題7.求lim“ cot Xoo【屬於不定型一型可用羅必達法則嘗試作答】00Sol :lnx r 7 r x r -sin2xlim= lim = lim = limY COtJV w0* -CSC X xtM 1Xsin2 xsin? x0【网匚-屬於不定型6型，可用羅必達法則嘗試作答】

6、=limx-(r-2sinxcosx -2x0x1=01 1不定型除了診（2丘型還有OOY型0G型0。型T型(7) oo 型000【型的處理方式：將其改成一型或一型後再利用羅必達法則求 000其極限】例題8.求limxlnxV limx = 0，limlnx = -coAlimxlnx屬於不定型0s型，將其改成型或了型後，再利用羅 308必達法則嘗試作答】limxlnx = limxT(rlnxT*-Sol :lnx slim 為_型、可用羅必達法則嘗 5 X O0試作答】=lim- = lim(-x) = 0 xr 2 iTir例題 9.求 lim(x 一 )sec xvlim(x) = 0

7、 lim sec x =匕厶X2兀、cOs lim(x-) sec x屬於不定型0s型，將其改成一型或一型後， 嗨 2Os可用羅必達法則嘗試作答】Sol :71 X- 兀9lim(x)secx = limH 2 Y丄=lim兀X- 22 COSXlim71X90為一型， 0Y COSXsecx可用羅必達法則嘗試作答】=lim-了一 sin x -1例題 10.求1-)j jr_i x-xlim= s屬於不定型8-oox -1型將其改成9型或M型後,可用羅必達法則嘗試作答】0 SX 、 石+1一兀(兀+ 1)-V1x2-l【(6)(7)型的類型都是lim/(x)g(x)，處理方式如下: y( v

8、)9( V)=幺1吋(川(小 _ s(x)nf(x)lim E =lim H(T)=丄嘶町.YTdXTd0 co 此時limg(x)ln/(x)屬於不定型0oo型、將其改成一型或一型 io s後，可用羅必達法則嘗試作答】例題11.求lim xv兀t(f【limx = 0，本題屬於0。型，依照上面的說明作答】Sol :文档从互联网中收集、已重新修正排版、word格式支持编辑、如有帮助欢迎F载支持。k例題12.求lim(l + -) v k為常數TVlim(l + -) = 1 / limx = oo，本題屬於1型，依照上面的說 XT* 兀.v-*x明作答】Sol :lim(l + b = 1曲中=lim/g)=碑0g)AX兀v-w人 f ock丄-Mlg) r 14 Iimi