第十章曲线积分与曲面积分(答案)

1、第十章 曲线积分与曲面积分（一）1 解：两点间直线段的方程为：y=1-x , 0乞x1故 ds = p1 + y * dx = Ji + （1 f dx = 42dx11_所以 I x y dx x 1 -x 2dx = 2。11x a cos a2 .解：L的参数方程为i2 2 ， 0 v 2二1y a sin v2则 Jx2 +y2a cos 日 +- a2J +冷日冷小时0眄1,1 /2日 1e-1 a |J 21 +2c o s 1 ! =1 a 1cos22丿222 sin +fco 昭=-| a | 丿12 丿2严1 2e-acos 0 22所以 JL丁x2 + y2ds =cos

2、d -2cosd，52丿=2a2e2s i w -2s i n-2J(atcost ) + (atsint f dt = atdt故 l x2 y2ds 二a2cost +t si nt f +(si nt -t cost f ktdt=a30 t a34 *2兀124 J二 2- 2a3 12二2x2 y24.解：如图e x y ds-L1x2.y2e S L2ex2 y2 ds2 、,2dsx , 0 a,=0ds = 1 02 dx = dxL2X =x,0兰Xy = X-Ta，ds“1 1ydx = . 2dxL3x = a costy = asint JI0 _ x _4adtdt

3、= (-asint f +(acost) dt =dsa xa0edx .0 e5.解：x3y3ds4x37= 3a3x a . 2x=e I。+e=a3 cos41 sin412aa兀aea 4JI=.x 2 y 2 dt =- 3a c osts i n 3as i n t c o ts二 9a2 sin2 tcos2tdt =3asintcost d tdsPa3.。2 sin 4tsi ntcostdtn116 2co6t si nt= 4a3666 .解：d x 2 y 2 z2 亠2dt = J(-asint f +(acost )2 + a2dtz222 a tacodasint

4、2 2a2 J2 t2dt=72a110 J 兀=2）原式二 o:l-2t： t 1 t2 i4t 1t2 1 - 2t2 t 1 2t ?dtU2a?r3。337.解:f 1L xydx= J；y2二 1y（y2 ）dy = 2J；y2dy = 2y11.解：1）原式二y2 y 2y y - y2 dy L1 二：2y3 y2 ydy 二 y4 3y3 -1 yh2=45158解：直线段AB的方程为3专時，化成参数方程为,y = 2t , z=t , t 从 1 变到 0故 l x3dx 3xy2dyx2ydz=J：（3t 3 3 + 3t（2t 2 2 （3t f 2t 】dt= 87Jt

5、3dt8749 解：直线的参数方程为x =1 t , y =1 2t , z =1 3t （0 乞 t 乞1）Lxdx ydy x y -1 dz=；1 t 2 1 2t 31 t 1 2t -1 dt16 14t dt =1310.解：i 2a - y dx - 9 - y dyJ 2a -a 1 -coSa1-coS -a-a1-cotsasi nst1 - coSt -coSsindt =a2o21-coSO-si i2dt23413210t3 5t2 9t 2dt12.解:1)4 -t2 9t 2 dt 二 10t4 5t3245工39t2 2t212L的方向余弦cos5，cos冷34

6、fL P(x, y dx + Q(x, y dy = JL 5 P(x, y )+： Q(x, y ) ds J5512) ds*1+(2xfdx， cos adxdx . 1 4x2cosB =si na = j1 - 一12x1 4x21 4x2故 l P x, y dx Q x, y dyP x, y_2xQ x, y ds$1 +4x23) ds =：1+ dx， cosaV 2x xdxds二、2xx2cos - - sin ： - 1 - 2x x2=1 x故 J P(x, y dx +Q(x, y dy =J 2x-xP x,y 1x Q x,y ds故原积分与路径无关，于是13

7、. 解：因为上二=ex cosy - m cyex=0 Odx + f0 (e cosy m兀a dy=s i i2a 一2兀ma214. 解：P = x4 4xy Q =6x y2 _5y4 ,由二,得y:x4 xy6 - -1 x，y2，解得，=3 故当 =3时，所给积分与路径无关0； x4 4xy3 dx 6x2y2 -5y4 dy=o x4 4x 0 dx 亠 i6 1 y2 - 5y4 dy = 79 5取 AC CB 计算，其中 A 0,0 , C1,0 , B1,215. 解：原式-$ Li$ L212x3 -x2亠x x4 2x dx：2y3-y42y y2 y2dy】12x5

8、 2x3 x2 dx011-2y5 4y4 2y2 dy 二030;.Q ；:P1 y1又dxdy=1-2xdx0dy1-2xdx =d x :yd0 y30FQ FPD& 页卩xdrpdx+Qdy16.解取 P = -y , Q = x ,.:P-:y萝1可得面积片二 dxdyD1xdy -ydx设A1为在第I象限部分的面积，由图形的对称性所求面积A =4A =4舟 xdy ydxd 3222= 2-02 aC035t 3aSintC0S-aSint 3aCO25tin dt匹3七飞曲心纵匸严2注：还可利用11 dxdy xdy ydxD17.解：P = 6xy2 - y3 , Q = 6x

9、2y = 3xy2M=12xy_3y2，卫=12xy_3y2.:y；:x因为 卫二兰，所以积分与路径无关叔cy取路径 1,2 L 32 r，：3,4342原式二 4 24x -8 dx 亠 I54y -9y2 dy =23618.解：仝ex2x CP=2xsin x x cos y - 2 ye ,2x=x cosx 2xsinx-2ye原式=D卫-迟 dxdyO。 x :y19. 解：经=3，兰1excy原式二.Ddxdy = ff 3-(-1 jbxdy = Jj 4dxdy4 矽丿 DD23x38dx 3 4dy xdx = 12-0 - 0 0 3J=QFP20. 解：1) 2x ,故

10、2xydx x2dy是某个u x, y的全微分。excyu X，八；：2xydx X2dy 二 QXQdxy02)Qex= 3x216x,:Pyu(x,y )=Q,Qy 8xy2 dx x3 8x2y 12yey dyxy 32y二 J Odx 亠 i x3 8x2y 12yey dy=x3y 4x2y212 yey -ey 1221. 解：Dxy : x2+y2 兰 2 , dx = J+z：dxdy = J1+4x2+4y2dxdy故原式=x2 y2 1 4x2 4y2dxdyDxy=c oS $9 + (r s i n f l：1 + 4(r cf +4(r s i n )2rdr-0Q

11、2 149u J 4udu 二Q30r2 =u JtJI=Q dj 宀1 4r2rdr=2冷Jr2、1 4r2drh222. 解：原式二 |x| y | x2 y2 , 1 Zx ZydxdyDxy=4 xy x2y2 . 1 4 x2y2 dxdyDxyI这里DxyI为Dxy在第一象限部分=4 2d r4 sin v cos 八 1 4r2 rdr =4 2 sin 2用74 . 1 4r2 rdrQQQ 2- Q1 _=q宀1 4r ：d1 4r2 1325/t4-2t21 t2dt =125 一 5 -142023. 解：z=6-2x-2y , ds 二，1亠2?dxdy=3dxdy原式

12、二2xy2x2 -x 62x2y 3dxdyDxy332=3 0 dx I63x2x 2xy2y dy27424.解:=zds =丄 x2 y2 1Dxy 2x2 y2dxdy22 1 222：;-二 d r2 1 r27dr6 3 100 21525. 解：平面z =x这部分的面积S二 1 Zx2 Zy2 dxdy 二、2dxdyDD故重心坐标为3 11)一一一 I3 3 3丿26. 解：因为曲面积分匕有向曲面，所以.Rx, y,zdxdy二 R x, y,0 dxdy 龙Dxy当积分曲面取在匕的上侧时为正号，取在下侧时为负号27, 解：Dxy = AB，面积为 0, I izdxdy =

13、0XDyz J0,y,z |x =0,0 岂 y 叮,0,ZDz =1 x,0, z 10 乞 x 1, y = 0,0 z 乞 3J原式=1 - y2dydz 亠 11 . 1 - x2dzdxD yzDzx312312dz . 1 - y2dy 亠 i dz 1 -x2dx0 - 0 0 - 0=2 y . 1yh2 1 arcsin y 3 二。2 2 0 228.解：根据轮换对称，只要计算z2dxdyXDXy : x-a2 y-b2 ER2注意到:z_e = jR2_(x_af +(y_bf ,再利用极坐标可得Dxy-JJz2dxdy = |C +*；R2 _(x _a ( -(y _

14、b f dxdy-JJ c _+R2 _(x _a j -(y _b j dxdyDxy=4e Jr2 _(x - a ( -(y _b jdxdyDxy=4e dR2r2 r d rr21 =t:R3eo于是原式R3 a b c29. 解：原式二Pcos二： QcosRcos ds,这里 cos： , cos ： , cos 是yZ的法向理n的方向余弦而1是平面3x 2y 2. 3z = 6在第一卦限部分的上侧 cos 0,取 n322.3L=-,cos2 , cos 二5553cos：J3aa a2 +22 x -2xz dxdydz 二 dx dy。2 x - 2xz dz +（2后$故

15、原式=dx。暮555丿30. 解：1）兰卫空=2x 2y 2zdxdycz_P_Q_ R原式二 dxdydz = 2 111 ix y - z dxdydz泳询録）Q=2 j dx J。dy j。（x + y + z dz = 2 J。dx j 严 + ay + 寻 jdyf33、=2 a2x + M + M dx = 3a422丿20 P 二 y_zx , Q=0 , R = x_yP：Q:Ry -z:x鋼 :z故原式-zdz= -9 二22兀13y, z dxdydz d 二。rdr 1 ixsin -Q00031 .解：门=Pdydz Qdzdx Rdxdyy二兰卫迅dxdydzJ J

16、I ryrf_ IJx :y :z=a J0(2a+ax2 a2xdx a3 2 -2) ： - : : ds 二 x - y z dydz y - z x dzdx z - x y dxdy=111 dxdydz = 3 be = 4二 abc。Q332.解：P=exy2, Q = cos xy , = cos xz:P:xxy二 ye ,二xsin xy ,=-2xzsin xz2.:z_P故 div ： = excz：Q:xyye-xs in xy - 2xzs in xz233.解：取匕为平面x y z =0 ,被所围成的部分的上侧，3的面积为二a2 ,i的单位法向量为n - cos：

17、 ,cos :, cos 匚! v3 i 33原式=3.xx:yy.zzds =u -4-4-4 ds 工l v3 v 3 勺3丿-3 a34.证：平面y = z的单位法向理n - cos ,cos ： ,cos =由斯托克斯公式得cos :cos :cos:y:z2 yxyxz左边二.1 .ds = JJ(y z)ds:_ Gy _z dxdy =0- 2 Dxy35.解：闭曲线-是xoy平面上的圆周x2 - y2 =4（逆时针方向），它的参数方程为x二2cosr，y二2sin r , z = 0 0 r 2二，故环流量为32iRdx Qdy Rdz = . x - z dx x yz dy

18、 - 3xy dz22cosv - 2sin v8cos3 v2cos)d2 .cos rd v - 0 12二-12二.2 jy-4sin v cosrd v 16-0 - 036解:rot:-二ijxz sin y；z037解:的射影为Dxy ,3 2面积为a24,取平面的上侧，单位法向量*11 1 3 V3 v 3,于是由3证平面x y za合科立方体内的部分为匕，它在oxy平面上dx斯托克斯公式得11133:x鋼:z! 22 22-zz -xx - yI2ds _ _4 11 x y z2 y13 2-6a ds - -6a I id xd y -6aay 3dL4xy(二)1 .2l

19、x t1.解：L的参数方程 2p ，则$ =tds 二 X 2 y 2 dt 二J 丄t) +12 dt = 1 Jt2 + p2dtVlP 丿P所以jLydsy0t1 .厂p2dt1 1Pp3yo1 20 3p_y。3p2P32.解：ds=x2 + y2dt = Ja2(1 cost f +a2 sin2tdt2 1 -1 2s iin- =2a.t s i n- 2,1 2,2，得原式+J1(x2 +1322 ydy 、211 2 二2xdyydxabcos tsin21 dt 二 abL AB BO因为兰ex0 -1 _ -1 =0:y13.解：取参数方程 x 二 acost , y 二

20、 si nt 0 乞t2二1面积A214.解：L不是闭曲线，要用格林公式，先得补添路径，使其封闭，如图故/ a/ BO =0，所以、121 271原式 L AB B。=。一 1 sin ydy 0x dx =花寸215解：作代换y二tx，得曲线的参数方程3atx _1 t3，3aldt（1+t3）“斗，由于dx二吐dt ,dy二1+t（1+t3）从而 xdy - ydx 二9a2t2（1+t3 2dt，故面积11 t33 2 a21 9a2-： t23a2S xdy - ydx2 dt2 L2 0 i t3216.解：由于x = y=O时，被积函数无意义，故L所包围的区域不满足格林公式的条件，

21、作一小圆挖去原点 0,0，作逆时针方向的圆周I :x = r cost， y = r sin ， 0 _ 2使l全部补L所包围，在L和I为边界的区域D内，根据格要公式，有dxdy “Lydx - xdy _ .2 x2 y2；lydx - xdy2x2 y22 2：P _ x - y _ ；：Q 矽（x2+y2f 泳故上式为零. ydx - xdy _ 一 ydx - xdy =L2x2 y22x2 yh22二-r2 sin2 丁 - r2 cos2 丁十 0 *2r212 二i二一二。2 017.解：Dxy : x2+y2 兰 2，ds = ；1 十 z；十 z：dxdy =斗1 十 4x2

22、 + 4y2dxdy原式=32 - x2 y2 1.1 4x2 4yh2dxdyDxy2 - 2 2 2 111=3。宀 0 2一1 4r rdr18 .解：Dxy :2 2 2 2x y 2 ax , z = x y2 222xyds =+ zx + zy d x d y 1 + + d x d y 12d x d y、x+yx+y原式=、2 | Xy x y x2y2 dxdyD xy=22“d2ac o-s02 s i n c o s r2 s i n cos 加n1= 2 2_ sin rcosv sin ： cos - 2a cos4 二 d、4=：52a。19.解:半球壳的方程为D

23、xyx2 y2 ah2aJ22a -x2dxdy-ylz = x2 y2 Jds =. ax y2 2Dxy- a x-dxdy-y220.解：质量为 M =:ids =、211dxdyx J:;y2 空x2f、2a :i12丿 ra.x2sinxedx|dx +C=x sin x _ x cosxe由f上=0得e = -1，故所求函数为f x = x sin x - xcosx -18解：所求的功xdx ydyX2y232P = f 2 J 2 严，Q= 22,2x yx ycP3 2xycQ3Fxy石八2 x2 y2 3 2，壬_2 x2 y232当x2 y2 =0时，此积分与路径无关2x

24、4y故心 1x2 y2 3*14 Ady9 解：由格林公式各222 兀R2I = JJ(3-3x -3y dxdy =fe-3x kdxDR2、R4、1）当 R = 0 （舍去），R= 2 时，1=02）由 IR =6只-6只3=0，得 R = 0 （舍去），r =1Ir =6二 一18二R2，I ”|r=_12二:0 故当心时収最大值，今10.解：补上1!: X 二 1 1 1 =2 出 rdr 2 dx - 4二=4二 r - r3 dr -二-3二13.解：利用格林公式 y2乞1 , Z =1，上侧由高斯公式2 2 * 2I ： hi 3dxdydz_ x1 x zdydz y 1 -

25、x zdzdx z1 -x zdxdy1=312 1111 -x2 dxdy3x2丄2 二 1 2 2 二二d xx c o sM j00 411.解：由对称性可知原式二 8 11 xyzds, Z1: x y z = 1而 I i xyzds = xy 1 _ xy 1 z： z：dxdy、 D11 -x=3 0dx o xy 1 - x- y dy2XX才31dx3 一0-X3亠3xI1 x3dx = “3一（1 x ） dx =612043 43故原式二8原式= l y 2xy dx x2 2x y dy _ & y 2xy dx x2 2x y2 dy1201512.解：取11 : x

26、=1 , y2 z1方向与x轴同上，贝UI = ： 2 1 x dydz ,2 1 x dydz =2. dxdydz n4dydzZ5a二-12x 2 门 -2x dxdyJ-0 = dxdy = 4二DD14.解：p, sp = -dx -y2 2x2 y22i_ , Q= y3x3 , ：Q = 6jy4(x+y)dy (x + y)(x + y)內(x + y)当x y = 0时，有一cy，积分与路径无关.x2,3 3y-xdx y -3xdy32 XT，,3(x + y)dx3 y-60 2 y3dy213131-+ f dy_8J dyx10(y+2(0(y+2)12262515.解:Iz = X2 y2 ds = x2 y2 , 2dxdySDxy2 二.h 3 2 4 d2r drh-0 -0 216解：Px,y2 22xy2