求极限的13种方法

1、求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终， 极限思想亦是高等数学的核心与 基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。 本篇较为全面地介绍了 求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母 有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。n例 1、求极限 lim (1 a)(1 a2).(1 a2 )，其中 a 1n:分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立,此,应先对其进行恒等变

2、形。因为(1 a)(1 a2).(1a2 )1 2 2(1 -a)(1a)(1 a2).(1 a21 -a1 2 2 2n r；(1a2)(1a2)(1a2)12n 1二心)nr， 时 ，2n 1 f而 a 1时，t 1n，n_2n，n_2t -1 (t 1)(t t . 1) t t . 1 n 原式= lim limmjpmi口tm 1tj (t 1)(tm +tm +. + 1) t +t +. + 1 m三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式uelnuv,进行恒等变形，特别的情形，在（1 ：）型未定式时可直接运用v(u-1) vu e例3、求极限lim (cosx)XT

3、O csc2 X1 . 2 sin x,八2lim解 原式= lim e(cosx )csc x 二 ex * sin xXT01四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形例4、求极限limnTon!n n分析当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使 用夹逼准则。解因为。丄2：口卫丿，n n n n n n且不等式两端当趋于无穷时都以 0为极限，所以lim一吗=0 nTo nn五、利用单调有界准则求极限利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式Xn f(Xn)的数列极限。在确定lim Xn存在的前提下，可由方程A=f(A)nT解出 A，则 l

4、im Xn=A。nTo1a例 5、设 a 0，X10，Xn1二；(3xn-3),( n =1,2,)，求极限 limXn 1时,x -1 = 0,则 sin sin(x -1) sin(x 一1) x - 1,ln x = In(1 x - 1) x - 1故原式=lim =1X-1 X 1七、利用导数定义求极限并且需要In u v二e ,进利用导数定义求极限适用于mx0 J 型极限,满足f(Xo)存在。sin (a + 丄)例7求nimn，其中辽，。分析 初步可判断此题为(1：)型未定式，先通过公式u 行恒等变形，再进一步利用导数定义求得极限。1sin (a)s i na(+ ) lim n

5、 ln解 Ip jn=en sina nis i a1 1sin (a+)In si n(a+ )T n s i a而 lim n lnlim-nYsin an护1n丄1ln sin(a + )Tn sin a由导数的定义知，lim片表示函数Insinx在x=a处的导1 si n( a+_) 数。即 lim n ln二In si nxx=a 二 cot a。nsin a八、利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限适用于0二,0 :型未定式，其它类型未定式也 0 O0可通过恒等变形转化为0,二,0-型。洛必达法则使用十分方便，但使0 0用时注意检查是否符合洛必达法则的使用条件。例8求极限lim

6、cosx予。血T X2sinx 3sin3xcosx 9cos3x 解原式Timlim42x注：连续两次使用洛必达法则T2xT九、利用微分中值定理求极限利用微分中值定理求极限的重点是学会灵活应用拉格朗日中值定理， 即 f（a）他二 f（）,其中（a, b）。a -bx sin x例9、求极限lim-0 x sin x分析 若对函数f（x）ex，在区间bin x,xl上使用拉格朗日中值定理x sin x则：e ,其中：（sinx,x）x sin xx sin x解由分析可知e ,其中：（sinx,x）x sin x又 x0时，有 s i n ：时分别趋于0与1,故积分区间为 0，.n n将0,等

7、分，则有* =丄,从而有:n原式=lim 1(si n si nsin ) = si n： xd = -1 tox l nnn力兀兀十二、利用级数收敛的必要条件求极限级数具有以下性质：若级数x Un收敛，则lim Un =0。所以对于某些极限lim f(n),可以将函“nnJpCn 数f(n)作为级数Cf(n)的一般项，只需证明级数&f(n)收敛，便有nn Tlim f(n), =0.n_.例12、求极限n. n lim 2 j：(n!)2n解令Un 0qQ（犷对于正项级数有lim = lim (n 1)n；Y( n +1)!)2nn n =(n 1)nnlim (1 )n lim e 0n n 1 n1lim加n I UnqQ= 0：1,由比值审敛法知，级数 Un收敛n z4n故也总=0十三、利用幂级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时,求该数列的极限就成了求相应级数的和。此时常常可以辅助性地构造一个函数在某点的值。例13、求极限lim （1n2 -332分析若构造幕级数Q0n -1j nxn