空间直角坐标系向量的坐标表示和空间向量基本定理

1、课时提升作业(四十八)一、选择题1. 点(2, 0. 3)在空间直角坐标系中的位置是在(A)y轴上(B)xOy平面上2()156.己知向量a=(2,-3,5)与向Sb=(3,入2)平行，则入二(C)xOz平面上CD)yOz平面上2.己知点B是点A(3, 7.-4)在xOz平面上的射影，则|OB I等于(A) (9, 0, 16)(B)25(05CD) 133.以棱长为1的正方体ABCD -AbCiDi的棱AB, AD, AAi所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AAiBiB的对角线交点的坐标为(A) (0, 2 2)(B) (2,0. 2)(0(2, 2,0CD) (2,

2、 2, 2)4.点M(x, y, z)在坐标平面xOy内的射影为Mi.Mi在坐标平面yOz内的射影为也地在坐标平面xOz内的射影(A) (-X, -y, -z)(B)(X, y, z(0 (0, 0, 0-)(D)(35.己知向量a=(l, -1, 1), b= (-1, 2, 1),且ka-b与a-3b互相垂直，则k的值是(A)l(b5(c)W(d)-929(A)(B)7.正方体不在同一表面上的两个顶点为A（-l,2,-l）,B（3,-2,3）,则正方体的体积为（(A)8(B)27(064CD)128&有以下命题:如果向量a. b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么d b的关系是不共线;0

3、, A. B. C为空间四点，且向量人,0B （不构成空间的一个基底，那么点0, A, B,C 定共面;已知a. b, c是空间的 一个基底，则a+b. a-b, c也是空间的一个基底.其中正确的命题是（）（A）（C）（D）T T T T9. （2013侪宁模拟）设OABC是四面体,G是ZiABC的重心,G是0G：上一点，且0G=3GG：,若（）G二xA+yOB+zOC 则（X, y, Z）为（）(A) J, 4 4)(B) (4, 4, 4)CD) (3, 3, 3)二、填空题10. （能力挑战题）正方体ABCD -A B C D的棱长为2,MX是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两TT点

4、之间的线段称为球的眩），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最犬时，I）M.IN的取值范闌是.11. 给定空间直角坐标系，在X轴上找一点P,使它与点Po（4, 1, 2）的距离为倾，则该点的坐标为12. a=(2, -1, 3), b=(-l, 4, -2). c=(7. 5.入)，若 a, b, c 三个向量共面，则实数入=T TTBC,13. 已知点 A(l,2, 1),B(-1,3,4),D(1,1. 1),若AP 二 qPB,则 |PD| 的值是.14. 如图,直三棱柱ABC-AbG中,AB二AC二1,AAf2, ZB凶G二90 ,D%BB的中点，则异面 直线C1D与A1C的夹角的余

5、弦值为 三、解答题OB-Z15.如图所示，在空间直角坐标系中,BC二2,原点0是BC 的中点，点A的坐标是（2 , 2, 0）,点D在平面yOz上，且ZBDC=90 , ZDCB=30 .T(1)求向量D的坐标.设向量AD和BC的夹角为0,求cos 0的值.答案解析1.【解析】选C.由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上.2. 【解析】选C.由题意得点B的坐标为(3, 0,-4), 故 IobI + o2 +(_4)2二 53. 【解析】选B.由题意知所求点即为AB的中点，由于A(0, 0, 0),Bd,0, 1),所以AB.的中点坐标为(& 0, 2).4. 解析】选C.依题意得，眩的坐标为

6、(X, y, 0),地的坐标为(0, y, 0) ,SU的坐标为(0, 0, 0).【变式备选】在空间直角坐标系中，点M(-2,4.-3)在xOz平面上的射影为W，则点W关于原点对称的点的坐标为(A) (-2. 0,-3)(B) (-3, 0,-2)2()*9(0 (2, 0. 3)CD) (-2, 0, 3)【解析】选C.由题意得，点W的坐标为(-2,0, -3),故点屮 关于原点对称的点的坐标为(2,0,3).【方法技巧】空间直角坐标系中求对称点坐标的技巧(1) 关于哪个轴对称，对应轴上的坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数.(2) 关于坐标平面对称,另一轴上的坐标变为原来的相反数，其余不

7、变.(3) 关于原点对称，三个坐标都变为原来的相反数.(4) 空间求对称点的坐标的方法，可类比平面直角坐标系中对应的问题进行记忆.5. 【解析】选 D. Vka-b= (k+1, -k-2, k-1), a-3b=(4, -7, -2), (ka-b)丄(a-3b), 4 (k+1) -7 (-k-2) -2 (k-1) =0,52 -3 1596. 【解析】选c.由vZb得，兀 入二2，解得x=-2.7. 【解析】选C.设正方体的棱长为a,根据条件则有、偉Jr + ( - 4)2 + 4：解得 a二4,所以体积为4$二64.&【解析】选C对于，“如果向Sa.b与任何向量不能构成空间向S的一个

8、基底，那么a, b的关系一定是 共线”，所以错误.正确.9.【解析】选扎叫二OA+AG2 1T _ f T=0A+3 X 2 (AB+AC)T _ -OA4.3 (OB_OA)+(OC_OA)二耳(OA+OB+OC),3 T 1f OG T T T由 OG二3GG*知,G二4L4(0A+0B+0C),(X, y, z) = (4,4,4).10.【解析】因为MX是它的内切球的一条弦，所以当弦MX经过球心时,弦MX的长度最人，此时MN二2,以A为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性,不妨设N分别是上下底面的中心,则两点的空间坐标为 M(l, 1,2),Nd. 1.0），设P点坐标为P（x

9、,y,z),则TPMTPM= (1-X, 1-y, 2-z), 品TPN=(l-x, 1-y, -z),TPM.P N二G_i）：+（y_i）：+（z一1）=1 .因为点P为正方体表面上的动点，所以根据x.y,z的对称性可T T知,PMN的取值范围与点P在哪个面上无关，不妨设点P在底面片B C D内，此时有0WxW2,0WyTTTTW2, z二0,所以此时PM . PN=(x-i)=+(y-i)=+(z-i)=-i=(x-l)=+(y-l)所以当 x=y=l 时，PM PN二o,此时*PMPN最小，但当P位于正方形的四个顶点时,PM . IN最人,此时有I)M IN%_i)：+(厂1)迈所以P

10、MPN的最人值为2,所以gPMINw2,即pmIN的取值范料是0,2. 答案订0,2 11.【解析】设点P的坐标是(x,0,0).即 J(X - 4)2 + (0 - 1)2 + (0 - 2)2730,(x-4)=25.解得x=9或x=-l.点P坐标为(9, 0, 0)或(-1, 0. 0).答案：(9,0,0)或(-1,0,0) 【变式备选】在Z轴上与点A(-4, 1, 7)和点B(3, 5,-2).等距离的点C的坐标为 【解析】设点C的坐标为(0. 0. Z), 由条件得|AC| = |BC|.-4 0)2 十(1 0)2 + (7 - z)M3 - 0)2 + (5 - 0)2 + (

11、 - 2 - zf14解得z= 91412. 【解析】由题意设 c=ta+ U b= (2t- U , -t+4 U , 3t-2 U ),3317 u = -65(2t-t = 7,-t + 4p.= 5, .3t - 2p.=入.答案：713. 【解析】设 P(x, y, z),则AP二(x-l, y-2, zT),65TPB二(-1-X, 3-y, 4-z),1 8T T_由AP二2pB知 X二-3, y二3, 2=3,1 8a/77故P(-3, 3,3).T由两点间距离公式可得|PD = 3 a/77答案：314. 【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，如图，人(0,0,2), C(0, 1,0),D(l,0, 1),C： (0, 1,2).C,I AiC 込5 CjD A#二I,C；DA；CT 4zC；da：cjc；dha；claZTs故异面直线GD .j AiC的夹角的余弦值为15 ,aZTs答案：1515. 【解析】（1）如图所示，过D作DE丄BC,垂足为E, 在 RtABDC 中，由 ZBDC=90 ,ZDCB=30 , BC=2,得 BD=1, CD二2.DE二CD sin30 = 2OE=OB-BD cos60 =1-2=2.D点坐标为（0.-2, 2）.1花即向量0D的坐标为（0,-2, 2）7 1- _T依题