地形图绘制第三章地图数学基础

1、地形图绘制第三章地图数学基础 通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量 等精密测量，发现：等精密测量，发现： 地球并不是一个正球体，而是一个极地球并不是一个正球体，而是一个极 半径略短、赤道半径略长，北极略突出、半径略短、赤道半径略长，北极略突出、 南极略扁平，近于梨形的椭球体。南极略扁平，近于梨形的椭球体。 地形图绘制第三章地图数学基础 一、地球的自然表面 浩瀚宇宙之中地球是一个表面光滑、蓝色美 丽的正球体。 地形图绘制第三章地图数学基础 机舱窗口俯视大地机舱窗口俯视大地 : : 地表是一个有些微起伏、地表是一个有些微起伏、 极其复杂的表面。极

2、其复杂的表面。 地形图绘制第三章地图数学基础 由于地球的自然表面凸凹不平，形态 极为复杂，显然不能作为测量与制图的基准 面。应该寻求一种与地球自然表面非常接近 的规则曲面，来代替这种不规则的曲面。 地球的自然表面并 非光滑，珠穆朗玛 与马里亚纳海沟之 间的高差达近 20km。 地形图绘制第三章地图数学基础 二、地球的物理表面二、地球的物理表面 （一）大地水准面（一级逼近） 地球自然表面 地 球椭球 面 平均海水 面 它实际是一个起伏不平的重力等位面地球物 理表面 地形图绘制第三章地图数学基础 大地水准面的意义大地水准面的意义 1. 地球形体的一级逼近： 对地球形状的很好近似，其面上高出与面 下

3、缺少的相当。 2. 起伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值，但 在制图中，均把地球当作正球体。 3. 重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水 准面的高度）。 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 三、地球体的数学表面（三、地球体的数学表面（椭球体表面） 大地水准面仍然不是一个规则的曲面。 因为重力线方向并非恒指向地心，导致处处 与重力线方向正交的大地水准面也不是一个 规则的曲面。大地水准面实际上是一个起伏 不平的重力等位面。 为了测量成果的计算和制图工作的需为了测量成果的计算和制图工作的需 要，选用一个同大地体相近的，可以用数要，选用一个

4、同大地体相近的，可以用数 学方法来表达的旋转椭球体来代替地球。学方法来表达的旋转椭球体来代替地球。 这个旋转椭球是一个椭球绕其短轴旋转而这个旋转椭球是一个椭球绕其短轴旋转而 成，其表面成为旋转椭球面。成，其表面成为旋转椭球面。 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 旋转椭球体（地球椭球体）地球的数学 表面对地球形体的二级逼近，用于测量 计算的基准面 地球椭球体三要素： 长轴长轴a （赤道半径） 短轴短轴b （极半径） 椭球扁率扁率：f（ab）/a Equatorial Axis Polar Axis North Pole South Pole Equator a b 地形

5、图绘制第三章地图数学基础 对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水 准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大 地水准面符合最好的一个地球椭球体 参考椭 球体，这项工作就是参考椭球体定位。 通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点垂直的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。 地球椭球体定位对地球形体的三级逼近。 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 地球椭球体定位地球椭球体定位：在天文大地测量中首先选取一 个对一个国家比较适中的大地测量原点，并从此点 出发通过事先布设的三角网点进行几何测量和大地 经纬度测量，逐一求出各网

6、点的垂线偏差，再以上 述的测量结果将事先设置的地球椭球面位置调整到 最理想的位置上。这种定位，相对于全球而言，只 能是局部定位。局部定位的地球椭球体，称为参考 椭球体，国际上有多种大地测量原点和参考椭球。 测量与制图工作将以参考椭球体表面作为几何 参考面，将大地体上进行的大地测量结果归算到这 一参考面上。 地形图绘制第三章地图数学基础 中国1952年前采用海福特（Hayford） 椭球体 ； 19531980年采用克拉索夫斯基椭球 体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文 台） ； 自1980年开始采用 GRS 1975（国际 大地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确

7、定陕西泾阳 县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系” 大地坐标的起算点。 地形图绘制第三章地图数学基础 陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系西安坐标系” 大地坐标的 起算点大地原点。 地形图绘制第三章地图数学基础 3.2 地球坐标系与大地定位地球坐标系与大地定位 地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科 学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言， 就是球面坐标系统的建立。 地理坐标 用经纬度表示地面点位的球面坐标。 天文经纬度 大地经纬度 地心经纬度 地形图绘制第三章地图数学基础 天文经纬度：表示地面点在天文经纬度：表示地面点在上的上的 位置，用天文经度和天文纬度表示。

8、位置，用天文经度和天文纬度表示。 天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点之间 的两面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。 地形图绘制第三章地图数学基础 大地经纬度：表示地面点在大地经纬度：表示地面点在参考椭球面参考椭球面上上 的位置，用大地经度的位置，用大地经度、大地纬度、大地纬度 和大地和大地 高高 H 表示。表示。 大地经度l l ：指参考椭球 面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。 东经为正，西经为负。 大地纬度 ：指参考椭球 面上某点的垂直线（法线） 与赤道平面的夹角。北纬 为正，南纬为负。 地形图

9、绘制第三章地图数学基础 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地 心经度同大地经度心经度同大地经度 ，地心纬度是指，地心纬度是指参考椭球面参考椭球面上上 某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。 在大地测量学中，常以 天文经纬度定义地理坐标。 在地图学中，以大地经 纬度定义地理坐标。 在地理学研究及地图学 的小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采用 地心经纬度。 地形图绘制第三章地图数学基础 二、 中国的大地坐标系统 1.中国的大地坐标系 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参 考椭球： I

10、CA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257 地形图绘制第三章地图数学基础 2.中国的大地控制网中国的大地控制网 由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布 全国各地。全国各地。 平面控制网平面控制网 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成 ，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为 四等。四等。 地形图绘制第三章地图数学基础 高程控制网高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点 组成，以水准

11、测量或三角高程测量完成。 依精度不同，分为四等。 中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点， 其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用1985国家高程基准 取代黄海平均海水面 其比黄海平均海水面 上升 29毫米。 青岛观象山 水准原点 地形图绘制第三章地图数学基础 3.2 地图投影的基本概念地图投影的基本概念 一、问题的提出：一、问题的提出： 地图的数学基础地图的数学基础 是指使地图上各种地理要素与相应的地 面景物之间保持一定对应关系的数学基础。 包括：经纬网、坐标网、大地控制点、比例经纬网、坐标网、大地

12、控制点、比例 尺等。尺等。 两个矛两个矛 盾盾： 球面与平面之间的矛盾球面与平面之间的矛盾 大与小的矛盾大与小的矛盾 地形图绘制第三章地图数学基础 将椭球面上的客观世界表现在有限的平 面上,首先要实现由球面到平面的转换. 如何转换? 地形图绘制第三章地图数学基础 沿经线直接展开? 地形图绘制第三章地图数学基础 沿纬线直接展开? 地形图绘制第三章地图数学基础 沿经线直接展开? 地形图绘制第三章地图数学基础 沿经线直接展开? 地形图绘制第三章地图数学基础 可见,地球椭球面是不可展开的面.无论如 何展开都会产生褶皱,拉伸或断裂等无规律变 形,无法绘制科学,准确的地图.因此解决 球面与平面之间的矛盾球

13、面与平面之间的矛盾 将地球椭球面上的点转换成平面上的点。将地球椭球面上的点转换成平面上的点。 大与小的矛盾大与小的矛盾 地图投影地图投影 比例尺比例尺 地形图绘制第三章地图数学基础 二、投影方式：二、投影方式： 1.平行投影平行投影 地形图绘制第三章地图数学基础 2.透视投影透视投影 地形图绘制第三章地图数学基础 3. 3. 广义投影广义投影 地形图绘制第三章地图数学基础 三、地图投影实质：三、地图投影实质： 建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐 标表示）和地球表面上的点（用纬度和经度标表示）和地球表面上的点（用纬度和经度 表示）之间的函数关系，用数学式表达

14、这种表示）之间的函数关系，用数学式表达这种 关系，就是：关系，就是： ),( ),( 2 1 l l fy fx 地形图绘制第三章地图数学基础 四、地图比例尺 解决大与小解决大与小 的矛盾的矛盾. 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 1. 地图比例尺的含义 当制图区域比较小、景物缩小的比率也 比较小时：图上长度与相应地面之间的长度 比例。 当制图区域相当大、景物缩小的比率也 相当大时：对地球半径缩小的比率，为主比 例尺。在地图上体现为个别的点或线。因此， 用图者不可随意量算。图上也不可绘制直线 比例尺。 地形图绘制第三章地图数学基础 2. 地图比例尺的表示 （1）数字式

15、比例尺：写成比的形式。 1：10000，1/10000 （2）文字式比例尺：“一万分之一”，“图 上1厘米等于实地1公里” （3）图解比例尺： 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 地形图绘制第三章地图数学基础 直线比例尺： 以直线线段形式标明图上线段长度对所对 应的地面距离。 地形图绘制第三章地图数学基础 斜分比例尺：微分比例尺。根据相似三角形原 理制成。可以量取比例尺基本长度单位的百 分之一。 地形图绘制第三章地图数学基础 复式比例尺：投影比例尺，小比例尺地图上使用。根 据地图主比例尺和地图投影长度变形分布规律设计 的一种图解比例尺。通常是对每一条纬线单独设计 一个直线比例尺，再组合起来。

16、地形图绘制第三章地图数学基础 （4）特殊比例尺 变比例尺：将主区以外部分的距离按适当比 例相应压缩，而主区仍按原规定的比例表示。 无级别比例尺：因数字制图而出现。 可以把 存贮数据精度和内容详细程度都比较高的地 图数据库，称为无级别比例尺地图数据库。 地形图绘制第三章地图数学基础 3.3 地图投影变形地图投影变形 一、投影变形的概念一、投影变形的概念 1. 投影变形产生原因投影变形产生原因地球的形状地球的形状 地形图绘制第三章地图数学基础 2. 投影变形的概念 地图投影不能保持平面与球面之间在地图投影不能保持平面与球面之间在 长度（距离）、角度（形状）、面积等方长度（距离）、角度（形状）、面积

17、等方 面完全不变。面完全不变。 地球仪上经纬线网格和地图上比较: 地形图绘制第三章地图数学基础 二、变形椭圆二、变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面 的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通 常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图 投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 3.4 地图投影的分类地图投影的分类 1. 按地图投影的构成方法分类 （1

18、）几何投影几何投影: 源于透视几何学原理，以几源于透视几何学原理，以几 何特征为依据，将椭球面上的经纬线网投影到几何特征为依据，将椭球面上的经纬线网投影到几 何面上，然后将几何面展为平面。何面上，然后将几何面展为平面。 方位投影方位投影: 圆柱投影圆柱投影: 圆锥投影圆锥投影: 地形图绘制第三章地图数学基础 方位投影方位投影:以平面作投影面，使平面与球以平面作投影面，使平面与球 面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平 面上而成。面上而成。 根据球面与投影面的相对部位不同，分为正轴投 影，横轴投影，斜轴投影: 正轴方位投影，投影面与地轴相垂直； 横轴方位投影

19、，投影面与地轴相平行； 斜轴方位投影，投影面与地轴斜交。 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 1.投影条件视点位于无穷远，故投影平行直线。投影面假定切于极点。 2.特点纬线投影为一组同心圆，而且没有误差。经线投影为相交于纬线同心 圆圆心的直线束，并且经线间夹角等于相应的经差。经线投影后缩短，并 且在经线方向上，自投影中心向外误差逐渐增大。此投影误差表现形式为， 自投影中心向外，纬线间隔逐渐减小。 3. 正射投影由于视点位于无穷远，和我们观察天体时的情况相似，故它常 用来编制星图。 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础

20、地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 纬线是以极点为圆心的同心圆，纬线间距从 地图中心向外逐渐扩大。经线为由极点向外 成放射状直线，经线间的夹角等于经度差。 这种投影没有角度变形，但面积变形较大， 到投影图的边缘，面积变形为中心的四倍， 在编制南北纬84以上的地面1 100万地图 时，常采用这投影。 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 圆柱投影圆柱投影:以圆柱面作投影面，使圆柱面以圆柱面作投影面，使圆柱面 与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影 到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成

21、。到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。 正轴：圆柱轴与地轴重合； 横轴：圆柱轴与地轴垂直； 斜轴：圆柱轴与地轴斜交； 地形图绘制第三章地图数学基础 广泛用于编制航海图和航空图等 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 圆锥投影圆锥投影:以圆锥面作投影面，使圆锥面以圆锥面作投影面，使圆锥面 与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影 到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。 正轴：圆锥轴与地轴重合； 横轴：圆锥轴与地轴垂直； 斜轴：圆锥轴与地轴斜交； 地形图绘制第三章地图数学

22、基础 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 正轴投影的经纬线形状正轴投影的经纬线形状 a.正轴方位：经线为放射状直线，纬线为同心圆； b.正轴圆柱：经纬线均为一组平行且间隔相等的 直线， 纬线与经线垂直； c.正轴圆锥：经线为放射状直线束，纬线为同心 圆。 地形图绘制第三章地图数学基础 正轴投影的变形特点正轴投影的变形特点 （1）方位投影变形特点方位投影变形特点： 等变形线与纬圈一致；等变形线与纬圈一致； 在切方位投影中，切点上无变形，随着远离切点，在切方位投影中，切点上无变形，随着远离切点， 变形增大；变形增大； 在割方位投影中，在所割小圆上在割方位投影中，在所割小圆上

23、 ，角度，角度 变形与变形与“切切”的情况一样，其他变形（长度变形与的情况一样，其他变形（长度变形与 面积变形）则自所割小圆向内与向外增大。面积变形）则自所割小圆向内与向外增大。 1 2 （a）切方位（b）割方位 图04-14 方位投影等变形线 地形图绘制第三章地图数学基础 （2）圆柱投影变形特点：）圆柱投影变形特点： 变形随纬度变化，与经差无关；变形随纬度变化，与经差无关； 在切圆柱投影中，赤道无变形，变形自赤道在切圆柱投影中，赤道无变形，变形自赤道 向两侧随纬度的增加而增大；向两侧随纬度的增加而增大； 在割圆柱投影中，在两条标准纬线上无变形，在割圆柱投影中，在两条标准纬线上无变形， 变形自

24、标准纬线向内和向外增大。变形自标准纬线向内和向外增大。 适宜于低纬度沿纬线伸展的地区。适宜于低纬度沿纬线伸展的地区。 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 （3）圆锥投影变形特点）圆锥投影变形特点: 变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变 形是相同的；形是相同的； 切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于n。=1，其，其 余纬线上长度比均大于余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大；，并向南、北方向增大； 在割圆锥投影中，标准纬线在割圆锥投影中，标准纬线n1=n2=1,变形自标准纬变形自标准纬

25、 线线 向内、向外增大，在向内、向外增大，在 之间之间n1. 适合中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影适合中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影 21 、21 、 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 （2）非几何投影：非几何投影： 根据某些条件，用 数学解析法确定球面与平面之间点与点的 函数关系。 伪方位投影：伪方位投影：在正轴方位投影的基础上， 纬线仍投影为同心圆，根据某些条件改变 经线形状而成，除中央经线为直线外，其 余均投影为对称中央经线的曲线。且交于 纬线的共同圆心。 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 地形图绘制第三章地图数学基础 特点：特点

26、： 可设计等变形线与制图区域轮廓近似一 致。如：椭圆形、卵形、三角形、三叶玫瑰 形和方形等规则几何图形。 图04-27 伪方位投影举例 全国疆域全图的全国疆域全图的 经纬网略图及角经纬网略图及角 度等变形线度等变形线 地形图绘制第三章地图数学基础 伪圆柱投影：在正轴圆柱投影基础上，规定伪圆柱投影：在正轴圆柱投影基础上，规定 纬线仍为平行线，根据某些条件改变经线形纬线仍为平行线，根据某些条件改变经线形 状而成，除中央经线为直线外，其余均投影状而成，除中央经线为直线外，其余均投影 为对称中央经线的曲线。为对称中央经线的曲线。 以等面积投影较多以等面积投影较多 地形图绘制第三章地图数学基础 桑逊投影

27、：桑逊投影：（Sanson-Flamsteed) 等面积等面积 中央经线和纬线无长度变形中央经线和纬线无长度变形 纬线越高之处变形越大纬线越高之处变形越大 适合沿赤道适合沿赤道 和沿中央经和沿中央经 线伸展方向线伸展方向 的地区的地区 地形图绘制第三章地图数学基础 伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，规定纬线伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，规定纬线 仍为同心圆弧，根据某些条件改变经线形状仍为同心圆弧，根据某些条件改变经线形状 而成，除中央经线为直线外，其余均投影为而成，除中央经线为直线外，其余均投影为 对称中央经线的曲线。对称中央经线的曲线。 地形图绘制第三章地图数学基础 图彭纳投影04-23 607080 14013012011010090 5040 3020 50 4 0 3 0 20 10 5 1 40 30 1 5 10 20 3 0 40 1 60 5 10 20 30 40 50 1 5 1 0 20 30 0 807060 6070 80 彭纳等面积伪圆锥投影：彭纳等面积伪圆锥投影： 地形图绘制第三章地图数学基础 多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与