线性代数公式总结大全

1、名师推荐精心整理学习必备线性代数公式1、行列式1.2.3.n行列式共有n2个元素，展开后有 n!项，可分解为2n行列式； 代数余子式的性质： 、Aj和aij的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|A ；Aj = （1）FMij4.代数余子式和余子式的关系：Mij =（二严Aj设n行列式D :n （n _D将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则Dt =（_1） 2 D ；n （n_L）将D顺时针或逆时针旋转90：，所得行列式为D2，则D2 =（1）F D ； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为Da，

2、则D3 = D ;将D主副角线翻转后，所得行列式为5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积;、副对角行列式：副对角元素的乘积n (n A)X(_1) 2、上、下三角行列式（|、| =41）:主对角元素的乘积;、|匚和丄I：副对角元素的乘积n (n_L)X(_1)hA O、拉普拉斯展开式：A OC B= A|B|、=(1)mlA| 冋 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;6. 、特征值；7.对于n阶行列式IA，恒有：aE -A| =衬（1）kSkA，其中Sk为k阶主子式; k 土证明IA =0的方法： 、ATA ； 、反证法； 、构造齐次方程组 Ax = 0，证明其有非零解;

3、、利用秩，证明r（A） nA等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；B，若 r(A) =r(B) = aL B ；A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:等价类：所有与 对于同型矩阵A、行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为 0；初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)(E , X)，贝y A可逆，且 X =A4 ；、若(A, E)c、对矩阵(A, B)做初等行变化，当 A变为E时，B就变成AB，即：(A, B)叫E, A亠B)；16.17.18.19.、

4、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(A, b)(E, x)，贝A可逆，且x=Ab ;初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;2、A =打丿，左乘矩阵A j乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素;、对调两行或两列，符号E (i, j),且E ( i, jf = E ( i, ,j)例如：、倍乘某行或某列，符号、倍加某行或某列，符号E (i (k)，且 E (i(k)- = E (i(-1)，例如:E (ij(k)，且 E(ij(k)= E(ij(-k)，如:矩阵秩的基本性质： 、0 Wr(Am沁)min(m, n)

5、; 、r(At ) = r(A); 、若 MJ B，贝y r (A) = r (B); 、f 1 r1 、1=1、- 1丿f14,(1、1k=k11XZ(k H 0)；-k7 k(k H 0)；若P、Q可逆，则r(A) =r(PA= r(AQ= r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩max(r(A), r(B) r(A, B)r(A)+r(B);(探)r(A +B) r(A) +r(B);(探)r(AB) min( r(A), r(B);心如果 A是mxn矩阵，B是nxs矩阵，且 AB = 0卩：(探)I、B的列向量全部是齐次方程组 AX = 0解(转置运算后的结论)；n、r (A )+r(B

6、 )r(A) +r(B)-n ;三种特殊矩阵的方幕：秩为1的矩阵：一定可以分解为 列矩阵(向量)X行矩阵(向量) 的形式，再采用结合律;cb的矩阵：利用二项展开式；b、n、|1 a型如10 110 0二项展开式:注:Cnm(a +b)n =cnan Pnan节+川+cmanmbirc；a1b+C；bnCmambnm(a +b)展开后有 n(n 1)11 川 1(n -m +1)n+1 项;组合的性质：c；、禾U用特征值和相似对角化:伴随矩阵:=)!C0 =4 曰m!(n -m)!cm+ =cm +Cnm4n无 Cnr =2n r zOrCnr=nC；i;名师推荐精心整理学习必备37.、P伴随矩

7、阵的秩：r (A*)=1I1。iA (AX =ZX , A* =|A A丄二 A* X =x)； /uA伴随矩阵的特征值:、A = I Al A -、20.关于、A矩阵秩的描述：r（A） = n， A中有n阶子式不为0, n十1阶子式全部为0；（两句话）r（A）n，A中有n阶子式全部为0;r（A）n，A中有n阶子式不全为0;21.22.23.线性方程组：Ax =b，其中A为mxn矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程；线性方程组 Ax=b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应

8、齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；由n个未知数m个方程的方程组构成 n元线性方程：an X1 +2X2+111+ amXn =bb 21X1 + a22 X2 +I|+a2 nX =b2 ,、I I川III川IIIMII川川HI川II ；Iam 1 X1 + am 2 X2 +III 七 nm Xn =bn$11a12HIanxa 21a 22HIa 2nX 2b2pIp1IIm11am 2rIHhamnJ4Xm丿1鸟丿、Ax =b （向量方程，A为mxn矩阵，m个方程，n个未知数）24.25.26.、（aia2IIIan（全部按列分块，其中p =）；g丿 、ax +a2X2 十

9、11 +ax=P （线性表出） 、有解的充要条件：r （A）= r （A, P） n（ n为未知数的个数或维数）向量组的线性相关性m个n维列向量所组成的向量组A ： 6，企，1|1，%构成nxm矩阵A= GsNiOm）；m个n维行向量所组成的向量组B : fV，阿构成m咒n矩阵B =含有有限个向量的有序向量组与矩阵 、向量组的线性相关、无关 、向量的线性表出 、向量组的相互线性表示矩阵Amn与B,浦行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组说丿对应；U Ax = 0有、无非零解；（齐次线性方程组）二Ax =b是否有解；（线性方程组）二AX =B是否有解；（矩阵方程）Ax = 0 和 Bx = 0

10、 同解；（p01 例 14）27.28.r （ ATA）= r （A）；（耳1 例 15） n维向量线性相关的几何意义: 、ot线性相关 ex P线性相关ot =0 ；a, p坐标成比例或共线（平行）；、a P,Y线性相关ot, P,Y 共面;29.线性相关与无关的两套定理：若01,（/2,111,4线性相关，则01，（/2，|山Us ,%卡必线性相关；若0| ,Ct2,| | ,4线性无关，则6,（X2 ,| |, Ots丄必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上 n-r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若 B线性相关，则 A也

11、线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；30.31.向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s）线性表示，且 A线性无关，则rs（二版氏定理7）； 向量组A能由向量组 B线性表示，则r（A） r（B） ； （ P86定理3）向量组A能由向量组B线性表示=AX =B有解；U r （A） =r（A, B）（ P85 定理 2）向量组A能由向量组B等价二r（A） = r 方阵A可逆台存在有限个初等矩阵(B) = r (A, B)( P85 定理 2 推论)Pi, P2,l 山 P，使 A=PiP2l)| Pl ；、矩阵行等价:A - B= P A =B32

12、. 、矩阵列等价： 、矩阵等价：对于矩阵Am沁与Bi；n : 、若A与B行等价，则 、若A与B行等价，则A-B台 AQ =B A - B =PAQ =B（左乘，P可逆）U Ax = 0与Bx = 0同解 （右乘，Q可逆）；（P、Q可逆）；A与B的行秩相等；Ax= 0与Bx= 0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;33.34. 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；若 AnxB，则： 、C的列向量组能由 A的列向量组线性表示， 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，齐次方程组Bx = 0的解一定是 ABx = 0的解， 、ABx= 0只有零解 = Bx=

13、 0只有零解；B为系数矩阵；At为系数矩阵；（转置）考试中可以直接作为定理使用，而无需证明35. 、Bx= 0 有非零解=ABx= 0 一定存在非零解；设向量组Bnx : b,b2,lll,br可由向量组An浦：a1,a2,III,as线性表示为：（P110题19结论）（b,d,ni, br ）=1, a2,lll, as） K （ B =AK）=r ；（ B与K的列向量组具有相同线性相关性）其中K为sxr，且A线性无关，则B组线性无关U r（K）（必要性：7r =r（B）= r （AK ）r （K）, r（K）n，存在Qnm， AQ =Em 二 、对矩阵Am浦，存在Pn湎，PA=En 二 0

14、1,8,III,a s线性相关存在一组不全为0的数k1,k2,111,ks ,使得fx1）X2nm ，r (A) = m、 r (A) = n、Q的列向量线性无关;P的行向量线性无关；（P87）ki + k 11 + ksCts = 0 成立；(定义)(802,1110 S)=0有非零解，即 Ax= 0有非零解;Ms丿r（a1,ot2,lll,0s） cs，系数矩阵的秩小于未知数的个数;38.39.设mxn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组 Ax = 0的解集S的秩为：r（S）= n _r ；若n为Ax=b的一个解，U，H|上n二为Ax=O的一个基础解系，则口*弋上，川，気线性无关；（Pi

15、ii题33 结论）40.5、相似矩阵和二正交矩阵台At A =E或AAt （定义），性质：次型41.1 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTaj =b 、若A为正交矩阵，则 A丄=At也为正交阵，且|A= 1 ； 、若A、B正交阵，则 AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化 和单位化；施密特正交化：（a ,a2,III，ar）b =ai ；i = ji昇亠12川n)；42.44.45.46.QRJh空br 1；b, bib2,b2br丄brJ-b, bi、A与B等价A经过初等变换得到 B；PAQ =B，P、Q 可逆；r (A)= r (B)，A、B 同型；、A与B合同CtAC =B，其中可逆；xT Ax与xtBx有相同的正、负惯