线性空间与子空间

1、第一讲线性空间线性空间得定义及性质 知识预备集合:笼统得说就是指一些事物（或者对象）组成 得整体集合得表示:枚举、表达式集合得运算:并（U）,交（n）另外,集合得“与”（+）：并不就是严格意义上集合得运算，因为 它限定了集合中元素须有可加性。数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数 域、实数域（R）与复数域（0。实数域与复数域就是工程上较常用得两 个数域。线性空间就是线性代数最基本得概念之一，也就是学习现代矩阵 论得重要基础。线性空间得概念就是某类事物从量得方面得一个抽 象。1 . 线性空间得定义:设V就是一个非空集合，其元素用等表示；K就是一个数 域,其元素用k,l,m等表示

2、。如果V满足如下8条性质，分两类（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V时，有唯一得与x + yeV （封闭性），且加法运算满足下列性质结合律x + (y + z) = (x + y)+z；（2）交换律x+y=y+x；零元律存在零元素O,使X + 0= X ；负元律对于任一元素xgV,存在一元素yeV,使x + y=o,且称y为X得负元素，记为(-X)O则有x + (-x)= Oo(I I)在V中定义一个“数乘”运算，即当xeV, keK时，有唯一得 kxeV (封闭性)，且数乘运算满足下列性质(5)数因子分配律k(x + y) = kx + ky ；分配律(k + l)x = kx4

3、-lx;(7)结合律k(lx) = (kl)x ；(8)恒等律lx = x ;数域中一定有1则称V为数域K上得线性空间O注意：1)线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成得线性空间也不同。(2) 两种运算、八条性质数域K中得运算就是具体得四则运算，而V中所定义得加法 运算与数乘运算则可以十分抽象。(3) 除了两种运算与八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭得情况：集合小、 运算本身就不满足。当数域K为实数域时，V就称为实线性空间；K为复数域，V就 称为复线性空间。例1设IT = 全体正实数，其“加法”及“数乘”运算定义

4、为xi+y=xykox = x证明：R +就是实数域R上得线性空间。证明首先需要证明两种运算得唯一性与封闭性唯一性与封闭性唯一性显然若 x0, y0, keR,则有x0y=xyR*kox = x* eR* 封闭性得证。八条性质XS (yEz) =x (yz) = (xy) z= (xEiy) bzxi+iy=xy=yx= yEHX1就是零元素XE01 =X Y=X xE0=XX0=X0=1 丄就是X得负元素 Xffi- = X.- =XXXx+y=o (7)ko (xEiy) =(xy) =x*y* = koxEkoy(k + I)ox = xk 利=xx = (ko 力田(lox)ko(lo

5、x) = (xj =x* =(kl)ox数因子分配律I：分配律结合律恒等律lox = x =x由此可证，IT就是实数域R上得线性空间。2 定理：线性空间具有如下性质(1) 零元素就是唯一得,任一元素得负元素也就是唯一得。(2) 如下恒等式成立：Ox=o, (-l)x = (-x)o证明(1)釆用反证法:零元素就是唯一得。设存在两个零元素6与02,则由于01与02均为零元素，按零元律有交换律6+02=6=2+01=6所以 Ol=O2即与6相同，与假设相矛盾,故只有一个零元素。任一元素得负元素也就是唯一得。假设VxgV,存在两个负元素y与乙则根据负元律有x+y=o=x+zy = y + o = y

6、 + (x + z) = (y + x)+z = o+z = z零元律结合律零元律即y与Z相同，故负元素唯一。 ：设 w=Ox,则 x+w=1 x+Ox= (1 +0) x=x,故 w=o aj.E. + A = 0iji.j即EjjliJm,j = ln构成了最大线性无关元素组，所以该空间得维数为mrio 二、线性空间得基与坐标1 .基得定义:设V就是数域K上得线性空间，1，笛(21)就是属于V得r个任意元素，如果它满足X,X2Xr线性无关;V中任一向量X均可由百,*2Xr线性表示。则称xg 孔为y得一个基，并称XiNXy为该基得基元素。基正就是V中最大线性无关元素组;V得维数正就是基中所含

7、元素得个数。基就是不唯一得，但不同得基所含元素个数相等。考虑全体复数所形成得集合Co如果K=C(复数域)，则该集合对复数加法与复数复数得乘法构成线性空间，其基可取为1,空间维数为1;如果取K=R(实数域)，则该集合对复数加法及实数对复数得数乘构成线性空间，其基可取为1, i,空间维数为2o数域K两种运算基一般元素空间类型维数复数域C(1)复数加法;(2)复数对复数得数乘1C = CJ复线性空间1实数域/?(1)复数加1,1c = a- 1 + b-i实线性2法;（2）实数对空间复数得数乘2坐标得定义:称线性空间V得一个基XpX,-x为W得一个坐标系，VxeV,它在该基下得线性表示为:(gi e

8、K,Xi w V，i = l,2, n)il则称,2gti为X在该坐标系中得坐标或分量，记为（乩2弭 讨论：（1）-般来说，线性空间及其元素就是抽象得对象，不同空间得元素完全可以具有千差万别得类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基与基元素，由坐标所组成得新向量仅由数域中得数表示出来。（2）更进一步，原本抽象得“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量得数乘。X + y = (X + 2X2 + + gXn ) + (几百 + + Vn)=(&+巾风+債2+%见+ +(+%)正对应4 X一戶05 0)TX + y = (g|+Th，g2+Tl2，r&+

9、qn)17 = 011，%，)2 kx = k(gN + g2X2 +gnXj=(k&)Xi + (kg2)X2 +(k&)XnT(k，kg2,k&)正对应 X，心）=,kgj（3）显然，同一元素在不同坐标系中得坐标就是不同得。后面我们还要研究这一变换关系。三、基变换与坐标变换基就是不唯一得，因此，需要研究基改变时坐标变换得规律。设XiNX就是V得旧基，丫1，丫2九就是v得新基，由于两者 都就是基，所以可以相互线性表示nYj = 2?ijXii-lIn卩12 yn = Xi，X2 21 222nnn其中c称为过渡矩阵，上式就给出了基变换关系，可以证明，c就是可逆得。设XW V,它在旧基下得线性

10、表示为nil它在新基下得线性表示为n二y】，yj则丫1汙2,yjL 1B&A.由于基元素得线性无关性，得到坐标变换关系L |=cA.补充:证明对于线性空间得零元素0, V wK,均有Zf0=0o线性子空间一、线性子空间得定义及其性质1.定义:设就是数域K上得线性空间V得一个非空子集合，且对V已有得线性运算满足以下条件(1)如果 X、ywV则 x+yeVi；(2)如果 xgVvRgK,则 kxwV“则称比就是V得一个线性子空间或子空间。2性质：（1）线性子空间与线性空间V享有共同得零元素;（2） V,中元素得负元素仍在中。证明(1)0x = 0.xeVjcV V中得零元素也在V（中,V,与V享有

11、共同得零元素。 VxeV,封闭性y中元素得负元素仍在y中3. 分类:子空间可分为平凡子空间与非平凡子空间平凡子空间：0与V本身非平凡子空间：除以上两类子空间4、生成子空间：设X,、X2、人为V中得元素，它们得所有线性组合得集合工kjXi Iki eK,i = l,2-m j-i也就是V得线性子空间，称为由X1. X2、.人生（张）成得子空间，记为L（xi、X2、xj或者Spang、X2、xj O若X：、X2、沧线性无关，则dimL(x(、X2、xj=m5、基扩定理:设V,就是数域K上得线性空间y得一个m维子空间，小X2、x就是Vi得一个基，则这m个基向量必可扩充为护得一个基;换言之，在V冲必可

12、找到n-rn个元素x” 心2、Xn,使得人、X2、Xn成为护得一个基。这n-m个元素必不在中。二、子空间得交与与 仁 定义:设/、V2就是线性空间V得两个子空间，则V,nV2 = xlxGVpXGV2 y + V,=x + ylxe,yVj分别称为必与仏得交与与。2、定理:若V,与呂就是线性空间V得两个子空间，则V|CV2，W+V2均为V得子空间证明 Vx,yenv,x + y eV, x + y V2 二 x + y w V】Cl V?VxeVnV keKkxeV, kxeV .kxeynv?% n V2就是V得一个线性子空间0 VXpXeVj VyyeV(Xj + yJeVj + V (x

13、 + yJeVj + V (x,+x)e(yi+y?) WV2(Xi + y) + (X2 + y2)= (X + X2)+ (y + y2)eV + V2VkeK kXj e kyj e V2k(x, + y,) = kx, + ky, e V, + V2就是V得子空间。4.维数公式:若V（、V2就是线性空间V得子空间，则有dim(V,+V2)+ diin(VCV2)= di mV,+ dim/证明设 dimVi=ni, dimVyrh, dim(V, c V2)=m需要证明 dim(Vi+V2)=ni+n2m设Xi、X2、Kn就是Vj n 得一个基,根据基扩定理存在 1）如、丫2、yrdr

14、eVi,使 XI、X2、*% 人、如、丫2、Ynl-n.成为Vi得一个基;2) Z1 Z 、Zn2 - .eV?,使冷、X2、&、Z,、Z2、Zn2-成为V2得一个基;考察 XI、X2、人、如、y2y”1r、Zl、Z2、Zn2-n.,若能证明它为Vf*%得一个基，则有dim(Vi+V2)=m+n2-m。成为基得两个条件:1) 它可以线性表示V(+V2中得任意元素2) 线性无关显然条件1)就是满足得,现在证明条件2),采用反证法。假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0得数k、应、k-、Pl、P2Pni- qi、q2、qn2f 使令为qi wv?,则1厲 + 为 PiVi = -见 e V2

15、但冬 n V2根据基扩定理 kiXieVCV2 y； Vj n V2，Xi、X2、人、丫、丫2、y” -m成为Vl得一个基Pi = O同理：Qj = 0 k- = 0这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为VfHV?得一个基。dim(Vi+V2)=rb+n2m三、子空间得直与1、定义:设、V2就是线性空间V得子空间，若其与空间也刊2中得任一元素只能唯一得表示为得一个元素与呂得一个元素之与，即 Vxe 乂 +V?,存在唯一得ye V、ze V2，dx = y + z,则称乂 + V2为V,与呂得直与，记为V V,子空间得直与并不就是一种特殊得与，仍然就是Vi + V2=x + ylxwVi，y

16、eV2,反映得就是两个子空间得关系特殊。2、定理:如下四种表述等价a)y+v2成为直与yV2 (2)ycV2=0 dim(Vi+V2)=dimV,+ di mWX,、X2、X为V,得基，匕、丫2、%为得基，则XI、X2、X.、2、为 V1 + V2得基证明与得等价性显然采用循环证法：TTT T (2)：已知 V| + V2 = VV2假定X工OJLx V c V2,则O = O+O = x + (-x)0eV, + V,0,0eV2，xeV,-xeV2说明对0元素存在两种分解，这与直与得定义矛盾，所以假定不成立，在VCV2中只能存在0元素，即cV2 = 0 T：已知VCV2 = 0成为基得两个条件:1) 可以线性表示y+V2中得任意元素2）线性无关HxeV、y e V2,存在如下坐标表示式SI1-11-1x + y可表示VfW2中得任一元素,XI、X2、X.、丫、y2、yr可表示 V1+V2中得任意元素。假设X,、X2、x、y、y2、yt线性相关，即存在不全为