第8讲曲线积分与曲面积分

1、曲线积分与曲面积分例1求曲面Z = X2 + y2和Z = 2 - Jx2 + y2所围成的立体的体积 V和表面积S .（第一届：一）解将z = X2 + y2和 z = 27xF 联立，解得Zi =1 , Z2 =4 (舍去）-Z = X2 + y2与Z = 2 - Jx2 + y2的交线可表示为n12 .所x2 + y =1以，该几何体 C在xOy平面上的投影区域为 D : x? + y2 1 .于是，有V = Jj2Jx2+y2 -(x2 + y) IdxdyQde j(2 - P-P2) PdP 壬;D006柱坐标2兀 12_P或有 V = f 17 dV = f d 8 f Pd P

2、 1存 dzQ00 F5=兀6切片法 1 L2或有 V = 0 兀(Jz)2dz + t 兀(2 z)2dz=5兀6V 薄T ”2兀y(2 y) y2dy = 5兀0 6JJdS+JJdS4y2,( x,y)B虽立9 Jx2 H/ ,(x ,y)GJJ J1 (X2 +y2)；2 +( X2 +y2)y2dxdy D+ U& +(2 - vx订7)；2 +(2-Jx2 + y2)y2dxdy DJ J Jl +4(x2 + y2) dxd y + JJ 血 dxdyDD1极;性质所以在任何不含原点的单连域内，沿任意闭路I的积分de J：j1 +4P2 PdP + 721 DI = 1 (57i

3、 1) + 72 V 1已知曲线积分 q一 （Xdy-ydx）三A （常数），其中（x）是L（x） + y可导函数且w（1）=1 , L是绕原点（0,0） 周的任意正向闭曲线，试求出 珂X）及A .（第二届：九） 解 设I为平面上任意一条不经过原点也不环绕原点的正向闭曲线.将 分割为l1与l2 （如图），并且取辅助路径l3，使得l1 +I3、-I2 + I3均构成绕原点（0,0） 周的正向闭曲线.于是,题设“ i+mj-j)= q- q = A-A = 0,十3I l1 卅2 l1 I2 l1 I3 I3 I2 I1 %0，71 (xdy - ydx)均为零. )+ y记 Pr（x）-j Q

4、= _x_+ y2，Q (x) + y2根据格林公式的推论，有0=空afexcy得(x)+y2= (x) + y2 -x(x)，即 x(x) = 2(x) 公式法解出申（X） = Ce-fJdx2x =Cx2 再由 W(1) =1，有 C =1 /. (x) =x2取L : X2 + y2 = 1，正向.则将cpx）的表达式代入Axdy - ydxL的方程2.2.x 4y ziX2 + y2q xdy - ydx格林公式川1-(-1)dxdy=2|D|=2iD：x24y2 同上x2qxdy - ydx丹2 4L:x：6osQy=sinQa TE 兀兀同上qxdy - ydxx2卄2吕tfx X

5、- y( y)dsx2+y2TL的方程勺 ds =1 L I = 2花.+ dzdxdxd ,其中S是球面4y2 二2 2 2s xcos x cos y zcos z2+ z =1的外侧.（第四届：五）dydz轮换对等性寫JJ2s xcos xdzdxS ycos2 y轮换对等性dxdyJJ 2s zcos zdzdxJ J 2S cos y左右对称性线性dydzdzdxs xcos xs cos y-ndxdys zcos2 z:对;:2Sm停dxdyzcos2 z上下对称性=2s上半部分zJ -x2 -y2,(x,y)Bxy：x2 4y2 总dxdy2zcos z化为对（x,y）的二重积

6、分+ dxdyDxy 寸1 - X - y cos 寸1 - X - yPdPJ1 - P2 cos J1 - P2凑=4兀1 -dj1 - P20 cos J1 匚 P2变形=-4兀1 I表iJoseC J1 - P2dj1 - P2 =4兀 tan J1 - P2例 4 计算积分 I =仃2(1-x2)dydz+8xydzdx-4xzdxdy,其中 2 是Z（如图），取法向量与x轴正向的夹角大于-的那一侧（书上缺此条件!2).（第五届甲乙组：一、2） 解法一用“封口法”.,y2 + z2 a2,后侧；记送 1 : x = ea 2.2/2,y +z a ,前侧；S1与送围城有界闭区域 0（

7、如图）.由高斯公式可得高斯公式；51的方程I 7 -n0莖+ 川 OdV - JJ2(1 -e2a)dydz化为对（y,z）的二重积分Jj2(1-e2a)(+dydz =2(e2a1)|Dyz|Dyz：/ 七2 童 2由曲线x=ey （ 0ya ）绕x轴旋转成的旋转曲面a 2, 2a .、=2ia (e -1).解法二 由于在二维单连通区域 R2内，P、Q、R有连续的偏导数，且Px +Qy + RZ = Mx + 8x 4x = 0 ,所以，(根据高斯公式的推论)在 R2内可以改变积分曲面.a222记送1: x=e, y +z 0，为在S下面以原点为中心、r为半径的上半球面，取下侧;壬为平面z

8、 = 0上介于S +的边界与Si的边界之间的部分，取下侧；O为曲面s+、Si和I：所围成的空间有界闭区域.则.2 .2 ,23/2(x +y +z )| 封口法(飪JJ JJ)xdydz + ydzdx+ zdxdyS +怜也Si高斯公式；S,的方程；雪方程=1+ 川OdVxdydz+ ydzdx+ zdxdy qSi1=JJ xdyd才 ydzdx+zdxdy.r Six2 + y2 + z2 兰2 2 2又记 E1 : z=0 , x + y 0，为在S下以原点为中心、r为方程；的方程Sixdydz + ydzdx+ zdxdy 02+y2r2，取下侧；01 : x2 + y2+z2r2,封口法I =1高斯公式1（fl- U）xdydz+ydzdx+zdxdy 尹 飞（+ 川3dV-0）r S1也虽虽的万程rQ同前=2兀一颗地球同步卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可以近似地认例7为是圆.若地球半径 R= 6400km ,卫星距离地面的高度 h = 36000km, 试计算通讯卫星覆盖地球的面积（限用高等数学的方法）.（第十五届甲乙组：五）解 设工为中心在原点、半径为 R上半球面上被圆锥面所限部分.则I:z = Jr2 X2 y2 , X2 + y2 R2sin2 P .于是，卫星覆盖地球的面积化为二重积分JJdSZJJ J1 +（z；）2