2019-2020学年高中北师大版数学选修2-1学案：3.1第1课时　椭圆及其标准方程 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是一个圆,如果改变平面与圆锥轴线的夹角，又会得到什么图形呢？如图，当截面与圆锥轴的夹角不同时,可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线实际上，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也是如此,太阳则位于椭圆的一个焦点上如果这些行星的运行速度增大到某种程度,它们就会沿抛物线或双曲线轨迹运行人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了因而，圆锥曲线在这种

2、意义上讲，构成了我们宇宙的基本形式圆锥曲线具有怎样的几何特征？如何研究圆锥曲线的性质呢？学习目标1.曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步感受数形结合的基本思想2.圆锥曲线(1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（2)经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质（3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质(4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题(5)通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想1椭圆第1课时

3、椭圆及其标准方程q 椭圆是一种美丽的曲线，它具有形状美和科学美“神舟”六号载人飞船进入预定轨道绕地球飞行，其运行的轨道就是以地球中心为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及椭圆的方程,这样我们能算出“神舟”六号绕地飞行的轨迹方程x 1椭圆的概念（1)平面内与两个定点f1、f2的_距离之和等于定长(大于f1f2)的点_的轨迹叫作椭圆这两个定点f1、f2叫作椭圆的_焦点_,两焦点的距离|f1f2叫作椭圆的_焦距_。（2)在椭圆定义中，条件2a|f1f2不应忽视,若2af1f2|，则这样的点不存在；若2af1f2|，则动点的轨迹是_线段_.2椭圆的标准方程（1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程为_1

4、（ab0)_，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为_1（ab0）_，其中a与b的关系为_ab_。(2）椭圆的标准方程中，a、b、c之间的关系是_a2b2c2_.y 1设f1，f2为定点，f1f26，动点m满足mf1mf2|10，则动点m的轨迹是(a)a椭圆b直线c圆d线段解析|mf1|mf210f1f26，由椭圆定义，动点m轨迹为椭圆2设p是椭圆1上的任意一点，若f1、f2是椭圆的两个焦点，则pf1|pf2|等于（a）a4b2c2d解析|pf1|pf2|2a4，选a3若椭圆1上一点p到焦点f1的距离为6，则点p到另一个焦点f2的距离是_4_.解析由椭圆定义知，|pf1|pf22a10，pf2|10|

5、pf1|1064。4椭圆1的焦距是2，则m的值为_5或3_.解析由题意得2c2，c1,当焦点为x轴上时，a2m,b24，c2m41,m5，当焦点在y轴上时,a24,b2m，c24m1，m3.5若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则a的取值范围是_（1,0)_.解析易知故1a0。h 命题方向1椭圆的定义典例1已知abc的周长是8，且b(1，0)、c（1,0），则顶点a的轨迹方程是（a）a1（x3）b1(x0）c1(y0)d1（y0）解析|ab|ac|8bc6|bc2，顶点a的轨迹是以b、c为焦点的椭圆，设其方程为1(ab0)，则a3,b2.又a、b、c三点不共线,顶点a的轨迹方程为1（x3）规律总结

6、1。对椭圆定义的三点说明(1）椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量（3)常数(2a）必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件2椭圆定义的两个应用（1）若mf1mf22a（2a|f1f2|),则动点m的轨迹是椭圆（2）若点m在椭圆上，则|mf1|mf22a.跟踪练习1已知圆a：(x3）2y2100，圆a内一定点b（3,0)，圆p过b且与圆a内切，求圆心p的轨迹方程解析设圆p的半径为r，又圆p过点b，pbr，又圆p与圆a内切，圆a的半径为10.两圆的圆心距|pa|10r，即|papb10(大于|a

7、b)点p的轨迹是以a、b为焦点的椭圆2a10,2c|ab6，a5，c3。b2a2c225916。即点p的轨迹方程为1.命题方向2椭圆的标准方程典例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1)两个焦点坐标分别是(3，0）、(3，0）,椭圆经过点(5，0)；(2）两个焦点坐标分别是（0，5）、(0，5),椭圆上一点p到两焦点的距离和为26。解析(1)椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1（ab0）2a10，2c6。a5，c3，b2a2c2523216。所求椭圆的方程为:1。（2)椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为:1（ab0)2a26，2c10,a13,c5.b2a2c2144。所求椭圆方程

8、为:1.规律方法在椭圆的标准方程1和1中，一般规定ab0。如果给出具体的方程可由x2、y2的分母的大小确定焦点所在的坐标轴x2的分母大时，焦点在x轴上，y2的分母大时，焦点在y轴上；反过来，如果焦点在x轴上，则x2的分母为a2，如果焦点在y轴上，则y2的分母为a2.跟踪练习2求适合下列条件的椭圆的方程:（1）焦点在x轴上,且经过点（2，0)和点（0，1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为p（0，10)，点p到离它较近的一个焦点的距离等于2。解析(1）椭圆焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为1(ab0）,椭圆经过(2,0)和(0，1），。所求椭圆的标准方程为y21.（2)椭圆的焦点在y轴上，设

9、它的标准方程为1(ab0)，p（0，10）在椭圆上，a10,p到离它较近的一个焦点的距离为2，c（10）2，c8,b2a2c236，椭圆的标准方程为1。规律方法椭圆的焦点与顶点问题(1)由标准方程决定的椭圆中,与坐标轴的交点的横坐标(或纵坐标）实际即为a与b的值(2）椭圆长轴的端点距焦点最远（ac)或最近(ac)命题方向3椭圆的焦点三角形典例3已知椭圆1（ab0）上一点p,f1、f2为椭圆的焦点，若f1pf2，求f1pf2的面积解析由椭圆的定义，有|pf1pf2|2a，而在f1pf2中,由余弦定理得，|pf1|2|pf2|22|pf1pf2|cosf1f224c2，（|pf1pf2|）22pf

10、1pf22pf1pf2cos4c2,即4a24c22pf1|pf2|(1cos)spf1f2pf1|pf2|sinb2b2tan.规律总结1.椭圆定义的应用(1)实现两个焦点半径之间的相互转化(2)将两个焦点半径之和看成一个整体,求解定值问题2椭圆定义解题的整体思想对于椭圆上一点p与椭圆的两焦点f1、f2构成的f1pf2,求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知f1pf2，可利用sabsinc把pf1|pf2|看成一个整体,运用公式|pf1|2|pf22（|pf1|pf2|）22|pf1|pf2|及余弦定理求出pf1|pf2,而无需单独求出|pf1和|pf2|，这样可以减少运算量跟踪练习3

11、设p是椭圆1上一点，f1，f2是椭圆的焦点，若f1pf260，求f1pf2的面积解析由余弦定理得cos60，pf1pf2|pf12|pf2225(pf1|pf2）22|pf1|pf2253pf1|pf2（25）22575,|pf1|pf2|25，spf1f2|pf1|pf2|sin6025。x 椭圆的其他方程形式 (1）椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：ax2by21（其中a0，b0，ab）方程ax2by21(其中a0,b0,ab)包含椭圆的焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况，方程可变形为1.当，即ba时，表示焦点在x轴上的椭圆;当，即bb0)有公共焦点的椭圆方程为1(ab0，b2);与椭圆

12、1（ab0）有公共焦点的椭圆方程为1(ab0,b2）典例4（1)若方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围;(2)椭圆8k2x2ky28的一个焦点为（0，）,求k的值；(3）若方程1表示椭圆,求k的取值范围思路分析将椭圆的方程化为标准方程,运用题设中给出的条件求解解析（1)原方程可化为1。因为方程表示焦点在y轴上的椭圆,所以解得0kb0)因为点m(2,）在椭圆上，所以|mf1|mf2|2a,即2a4，解得a2.又c2,所以b2a2c28，所以所求椭圆的标准方程为1。y 典例5abc的三边a、b、c(abc）成等差数列,a、c两点的坐标分别是（1,0)、（1，0），求顶点b的轨迹错解设点b的坐标为(x，y)a、b、c成等差数列，ac2b，即bcba2|ac|，bc|ba|4。根据椭圆的定义易知，点b的轨迹方程为1.辨析错误的原因是忽略了题设中的条件abc，使变量x的范围扩大，从而导致错误另外一处错误是当点b在x轴上时，a、b、c三点不能构成三角