2019-2020学年数学北师大版必修4学案： 1.4.1+2 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义　单位圆与周期性 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4。1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性q在初中，我们知道rtabc中,c为直角时，我们把锐角a的对边与斜边的比叫作a的正弦,记作sin a;锐角a的邻边与斜边的比叫作a的余弦,记作cos a，即sin a，cos a.当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点,正弦函数对应于该点的纵坐标当所求角是任意角时，能否通过单位圆及函数定义的形式引出正弦函数的定义呢？这就是本节要研究的内容x1任意角的正弦函数、余弦函数的定义（1）单位圆在直角坐标系中，以_原点_为圆心,以_单位长_为半径的圆，称为单位圆(

2、2)任意角的正弦、余弦函数的定义定义1：如图所示,在直角坐标系中，给定单位圆对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点p(u,v)，那么点p的_纵坐标_v叫作角的正弦函数，记作_vsin _；点p的_横坐标_u叫作角的余弦函数，记作_ucos _.通常,我们用x表示自变量,即x表示角的大小，用y表示函数值,这样我们就定义了任意角的三角形ysin x和ycos x，它们的定义域为_全体实数_,值域为_1，1_。定义2:利用角终边上任意一点的坐标定义三角函数如下:如图所示，设是一个任意角，的终边上任意一点p的坐标是（x,y)，它与原点的距离是r（r0)，那么:比值_

3、叫作的正弦，记作sin ，即sin _。比值_叫作的余弦，记作cos ，即cos _。(3)正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin _cos _2单位圆与周期性(1）终边相同的角的正、余弦函数值_相等_sin (2kx)_sin x_，kz。cos （2kx）_cos x_,kz.（2)周期函数与周期一般地,对于函数f(x）,如果存在非零实数t，对定义域内的任意一个x值,都有_f(xt）f(x)_，我们就把f(x）称为周期函数,t称为这个函数的_周期_.y1已知sin ,cos ，则角终边所在的象限是（d）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限解析

4、sin 0，在第三或第四象限,cos 0，在第一或第四象限终边所在的象限是第四象限2.角的正弦值的符号为（b)a正b负c0d不能确定解析2，而，是第三象限角，sin 0）上，求角的正弦函数值、余弦函数值思路分析可先设角终边上任一点的坐标，然后借助三角函数定义加以解决解析解法一：设的终边与单位圆的交点为p(x，y)，则y2x（x0）又因为x2y21，所以于是sin y,cos x。解法二:在角终边上任取一点p(x，y)（x0）,则y2x，r|op|x.又x0，所以|op|x。所以sin ;cos .规律总结求角的正弦函数值与余弦函数值的方法已知角的终边所在直线，求的正弦函数值及余弦函数值时，常用

5、的解题方法有以下两种：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值注意到角的终边为射线,所以可取射线上任意一点坐标（a,b），则对应角的正弦值sin ,余弦值cos 。这里的(a，b）可以都是确定的常数，也可以是坐标中含有参数的形式跟踪练习1角的终边上有一点p（2，2）,则sin 的值是(b)abcd1解析利用三角函数定义知：sin .命题方向2正弦、余弦函数值符号的确定典例2判断下列三角函数值的符号（1)sin 4cos 4；(2)sin 8cos 8.思路分析确定4rad，8rad所在象限,则符号易定解析（1)40；(2)83，即8rad的角是第二象限

6、角，sin 80,cos 80,sin 8cos 80。规律总结对于此类判断含三角函数的代数式的符号问题，关键是要搞清楚三角函数中所含的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的正负，进而得到结果其中，正弦、余弦函数周期的运用对判断角所在的象限也很重要跟踪练习2（1)判断下列各式的符号：sin 3cos 4tan 5;是第二象限角，sin cos .(2)若cos 0且sin 0,则是第（c）象限角a一b三c一或三d任意象限角解析(1）3，4，52，sin 30，cos 40,tan 50，cos 0，sin cos 0，则的终边在（b）a第一或第二象限b第一或第三象限c第

7、一或第四象限d第二或第四象限y三角函数定义理解中的误区典例6已知角的终边过点p（3m，m)（m0)，则sin _.错解一由题意可得：op|m，所以sin 。故填.错解二由题意可得，|opm,所以sin 。故填.错因分析错解一误认为只有m0的情况而得到，错解二对正弦与余弦函数定义中比的顺序颠倒而得sin 。正解或由题意可得，|op|m.当m0时，op|m|m，则sin .当m0时，op|m|m,则sin .故填或.规律总结1。准确理解定义要从定义的内涵和外延准确把握定义，同时对三角函数的定义的形式要准确记忆,如本题中的sin 和cos 不能混淆2分类讨论的意识在化简过程中，对字母参数要注意分类讨

8、论,做到不重不漏如本题中对字母参数m的讨论跟踪练习6已知角的终边经过点p(a,a)（a0),求sin ，cos .解析当a0时，ra，得sin ，cos ；当a0时，ra，得sin ，cos .即a0时,sin ,cos ；a0时，sin ，cos 。k1角的终边上有一点p(1，1),则sin 的值是（b)abcd1解析利用三角函数定义知：sin .2若角的终边过点(3，2）,则（c）asin tan 0bcos tan 0csin cos 0dsin cos 0解析角的终边过点（3，2),sin 0，sin cos 0,故选c3sin 585的值为（a)abcd解析sin 585sin (360225)sin 225。由于225是第三象限角,且终边与单位圆的交点为（，)，所以sin 225。4在abc中，若sin acos btan c0，则abc是（c)a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d锐角或钝角三角形解析a、b、c是abc的内角，sin a