求通项公式的常用方法

1、求通项公式的常用方法这种方法适应一、定义法： 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，于已知数列类型的题目.例1.等差数列a是递增数列，前 n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列, Ss =af .求数列an 的通项公式.二、公式法：递推公式为Sn与an的关系式。（或&=f（an） 解法：利用an+SnSn（舄与an=Sn-Snf（an）-f（an）消去Sn （n 2）或与Sn = f （Sn -Sn）（n 2）消去an进行求解。例题：已知无穷数列an的前n项和为Sn，并且an+Sn=1（n亡N ），求an的通项公式？跟踪训练1、已知数列an的前n项和Sn，满足关系lg（Sn

2、屮）=n（n =1,2）.试证 数列aj是等比数列.三、待定系数法：（换元法）类型一：an = pan +q （其中p，q均为常数，（p q（ p-1） H 0）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an+-1= p（an-t），其中，再利用1- P换元法转化为等比数列a n -t的形式求解求解。例题：1、已知数列a中，6=1， a2an_ +1（n2），求数列aj的通项公式.2、 数列a n满足a1=1，an =1anj+1 （n2），求数列a n的通项公式23、 数列an满足a1=1，3an十+an-7=0,求数列an的通项公式。4、已知数列n 满足印=1，且an+ =3an +2，求

3、an .15、已知数列an满足：an4t = - an -2, n N, a 4,求 an.3（或类型二、an+ = pan +qn (其中 p, q 均为常数，(pq(p- 1)(q-1)H0)。an+= pan+rqn,其中p, q, r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式9 / 6两边同除以qn*，得：+丄引入辅助数列 虹（其中bnq q q qbnl = bnq+-再待定系数法解决。q例题:跟踪训练:已知数列Ian 中，a- =5, an十=-an+d严，求a.。6324121、设数列（aj的前n项的和&工an-1炮半+- , n =1,2,3扯333求首项ai与通项an ;2、

4、已知数列 满足ai =1 ,an =3n +2an(n2),求 a.类型三、递推公式为an =pan十+qan （其中P, q均为常数）。递推公式为= Pan出+qan（其中P，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为an七-san卅=t（an啡-san）其中s, t满足f + C p，再应用再利用等比数列 ist = -qan -san求解。例题： 已知数列 an 中，aj =1 ,a2,a =-a +- an，求 an。33跟踪训练：1、已知数列 Qn 中，a- = 1, a2 =2 , anH2 = anHl + an，求 an。332、数列an：3an七-5an十+2an=0(n0,n

5、 N) ,a a,a b ,求 an3、已知数列an满足 a- =1,a2 =3,an七=3an出2an(n亡 N*).（I）证明：数列an十-a是等比数列;（II ）求数列务的通项公式;4、数列n 满足ai =2,a2 =5,an七-3an*h+2 an =0,求数列a n 的通项公式 类型四 递推公式为Sn与an的关系式。（或Sn = f（an）与其它类型综合解法：利用 an=L _-o 与 an=Sn-Sn4=f(an)f(anJ)消去 SnlSn SnJ(n - 2)1（1）求an十与an的关系；（2）求n-2 -（n 2）或与 Sn =f（Sn -Sn4）（n 二2）消去 an进行求

6、解。例题：数列n 前n项和Sn = 4 -an2通项公式a跟踪训练：1、已知数列iaj的前n项和Sn满足Sn =2an+(-1)n, n工1 .求数列的通项公式。2、数列 中前n项的和Sn =2n-an，求数列的通项公式 务.四、累加法：利用an =印+2 -aj +(an -an)求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如anH! =an + f(n)的递推数列通项公式的基本方法(f (n)可求前n项和).例题：已知无穷数0满足b1=1，bn卄bn#1(n知)，求数列bn的通项公式. 跟踪训练：1、已知数列an 满足a122、已知数列 taj中4 =1,且a2k =a2j+(-1)k, a2

7、y=a2k+3k,其中 k =1,2,3,，1 + anan+n，求 an。求数列a?的通项公式。五、累乘法：利用恒等式an二印2电(an H0, n2)求通项公式的方法称为 a1 a2anJ累乘法，累乘法是求型如an十=g( n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g(n)可求前n项积).例题：已知a1, an=n(an+-an) (n亡N*),求数列taj通项公式.跟踪训练：1、已知数列Qn 满足a2，an41= 丄an，求an。3 3n 12、已知 a1 =3，an+=an (n X)，求 a.3n +2n+1 n3、已知数列an，满足 a1=1， an+2a2+3a3 + +(nT)

8、an一 (n 2)，贝Uan的通项ann =1n 2六：双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求 解。例题：已知数列 G 中，ai =1 ；数列仏中，bl =0。当n工2时，11、an = (2a n+b n),0 =3(+2b n)，求 an, bn .33跟踪训练：1、设各项均为正数的数列aj的前n项和为Sn，对于任意正整数n, 都有等式：an2 +2an =4Sn成立，求aj的通项an.2、设an 是首项为1的正项数列，且aj-a；-na. -门3=0，(n N*)， 求数列的通项公式an.3、 数列中，a-，前n项的和Sn =n2an，求务忙24、

9、设正项数列an 满足a1，an =23：(n2).求数列aj的通项公式.数列的前n项求和、公式法直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法.常用的数列求和公式有:(1)等差数列求和公式:Sn J(a1+an)= na1+2 2n a1,(q =1)(2)等比数列求和公式：汀=g(1_qn)aanq,八=(q 工1) 1 -q1-q例1、求和。+ a1oo(2)an =24，求as +a4 +a5十.+ a20二、拆项(分组求和法) 若数列Cn 的通项公式为cabn，其中aj、bj中一个是等差数列,另一个是等比数列，求和时一般利用分组求和法Si =C1+C2 + C3 十十 Cn=1 +b1)+2

10、 +b2)+3 +3) +(an +bn) =1 七2 七3 +an) +(b1 +b2 P +bn)+111 1例1,求纭+宁31钏+叶利的值.例 2.求和： 1+3+&+ +12 4 82n例3.已知数列9, 99, 999,，求数列前n项和S. 跟踪训练：求和。1(1) an =2n+yr，求a1 七2 中as 十+an(2) an = (10n T),求aaas3+an(1) an =1 -2n,求ai +a2 +a3三、裂项（裂项相消法）例题：求丄+丄+丄+川+的值.1x2 2x3 3x4n（n +1）跟踪训练:2、求和Sn1、求 +一 +川 +的值.1+2 1+2+3 1+2+3+

11、41+2+川+(n+1)=+ +1x33x55x7(2n-1)(2 n+1)四、错位相减法若数列Cj的通项公式Cn =an bn，其中 % 、0中一个是等差数列，一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的 公比，然后再将所得新和式与原和式相减， 转化为同倍数的等比数列求和。 这种 方法叫错位相减法。Sn = C1 + q + C3+=3小1 +a2b2 +a3b3 + +anbn +0qSn =0 +印匕2中a2b3屮+3时-得:(1-q)Sn =a1b1+d(b2+b3+b4 中+6)-务6十= a1bi db1 +d_ anbn出1 -q例 1.求和 Sn =1 咒 2 +2X22 +3