（北京专用）2020届高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量的数量积及其应用课件

1、5.2平面向量的数量积及其应用 高考数学高考数学 (北京专用) A A组自主命题组自主命题北京卷题组北京卷题组 五年高考 考点一数量积的定义及模、夹角运算考点一数量积的定义及模、夹角运算 1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案答案D当|a|=|b|=0时,|a|=|b|a+b|=|a-b|. 当|a|=|b|0时,|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2ab=0ab,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也不能推出 ab.故选D.

2、 解后反思解后反思由向量加、减法的几何意义知:当a、b不共线,且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直;当ab时,| a+b|=|a-b|. 评析评析本题考查向量的模及运算性质,属容易题. 2.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),则m=. 答案答案-1 解析解析本题主要考查平面向量数量积的坐标运算. a=(1,0),b=(-1,m),a2=1,ab=-1, 由a(ma-b)得a(ma-b)=0,即ma2-ab=0, 即m-(-1)=0,m=-1. 3.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为. 33 答

3、案答案 6 解析解析cos=, a与b夹角的大小为. | | a b ab 133 1 2 2 3 2 6 考点二数量积的综合应用考点二数量积的综合应用 1.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值 为. AO AP 答案答案6 解析解析解法一:表示在方向上的投影与|的乘积,当P在B点时,有最大 值,此时=23=6. 解法二:设P(x,y),则=(2,0)(x+2,y)=2x+4,由题意知-1x1,x=1时,取最大值6, 的最大值为6. AO AP AP AO AO AO AP AO AP AO AP AO AP AO AP 2

4、.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为 ;的最大值为. DE CB DE DC 答案答案1;1 解析解析如图所示: 以A点为原点,AB边所在直线为x轴,AD边所在直线为y轴建立直角坐标系,则正方形各顶点坐 标分别为A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(a,0),0a1. =(a,-1)(0,-1)=a0+(-1)(-1)=1. =(a,-1)(1,0)=a+(-1)0=a1,故的最大值为1. DE CB DE DC DE DC B B组统一命题组统一命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组 考点一数量积的定义及模、

5、夹角运算考点一数量积的定义及模、夹角运算 1.(2019课标全国文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=() A.B.2C.5D.50 22 答案答案A本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养. a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|=,故选A. 22 ( 1)12 一题多解一题多解a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,ab=12,则|a-b|= .故选A. 22 2aa bb 132 1213 2 2.(2019课标全国理,3,5分)已知=(2,3),=(3,t),|=1,则=()

6、A.-3B.-2C.2D.3 AB AC BC AB BC 答案答案C本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的运算,考查了方 程的思想方法.考查的核心素养为数学运算. =-=(1,t-3), |=1,t=3, =(2,3)(1,0)=2. BC AC AB BC 22 1(3)t AB BC 思路分析思路分析先利用|=1求出t的值,再利用数量积的坐标运算求出数量积.BC 3.(2019课标全国理,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为() A.B.C.D. 6 3 2 3 5 6 答案答案B本题考查向量的运算及向量的夹角;考查学生的

7、运算求解能力;考查了数形结合思 想;考查的核心素养是数学建模和数学运算. 解法一:因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos =,又知0,所以=,故选B. 解法二:如图,令=a,=b,则=-=a-b,因为(a-b)b,所以OBA=90,又|a|=2|b|,所以 AOB=,即=.故选B. 1 23 OA OB BA OA OB 3 3 思路分析思路分析本题可由两向量垂直的充要条件建立方程求解;也可以将两向量放在直角三角形 中,由题设直接得到两向量的夹角. 4.(2018课标,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,

8、ab=-1,则a(2a-b)=() A.4B.3C.2D.0 答案答案B因为|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.故选B. 5.(2016课标,3,5分)已知向量=,=,则ABC=() A.30B.45C.60D.120 BA 13 , 22 BC 3 1 , 22 答案答案AcosABC=,所以ABC=30,故选A. | | BA BC BABC 3 2 思路分析思路分析由向量的夹角公式可求得cosABC的值,进而得ABC的大小. 6.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=.若n(tm+n),则实数t的值为

9、() A.4B.-4 C.D.- 1 3 9 4 9 4 答案答案B因为n(tm+n),所以tmn+n2=0,所以mn=-,又4|m|=3|n|,所以cos= =-=,所以t=-4.故选B. 2 n t| | m n mn 2 4 3| m n n 4 3t 1 3 7.(2019课标全国文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos=. 答案答案- 2 10 解析解析本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运 算法则与运算方法的素养要素. 由题意知cos=-. | | a b ab 2222 2 ( 8)2 6 22( 8)6 2 10

10、8.(2019课标全国理,13,5分)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-b,则cos=. 5 答案答案 2 3 解析解析本题主要考查平面向量的数量积、模长及平面向量夹角的计算;通过向量的数量积、 夹角的求解考查学生运算求解的能力,体现了数学运算的核心素养. |a|=|b|=1,ab=0, ac=a(2a-b)=2a2-ab=2, |c|=|2a-b|=3. cos=. 55 5 2 (25 )ab 22 4a5b4 5a b | a c a c 2 3 小题巧解小题巧解不妨设a=(1,0),b=(0,1),则c=2(1,0)-(0,1)=(2,-),cos=.55 2 1 3 2

11、3 方法总结方法总结利用数量积求解向量模的处理方法: a2=aa=|a|2或|a|=; |ab|=. a a 2 ()ab 9.(2017课标全国文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=. 答案答案7 解析解析解法一:a=(-1,2),b=(m,1), a+b=(m-1,3),(a+b)a, (a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 解法二:由已知可得(a+b)a=aa+ba=1+4-m+2=0,解得m=7. 解法三:如图,设a=,b=,a+b=,由于向量a+b与a垂直,可知COB为直角三角形,故|a|2+|a +b|2=|b|2,即1+4

12、+(m-1)2+32=m2+1,解得m=7. OB OA OC 10.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数 的值是. 3 答案答案 3 3 解析解析由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则e1-e2=(,-1),e1+e2=(1,).根据向量的夹角公式得 cos60=,所以-=,解得=. 33 2 ( 3, 1) (1, ) 2 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 3 3 疑难突破疑难突破根据“e1,e2是互相垂直的单位向量”将原问题转化为向量的坐标运算是解决本题 的突破口. 易错警示易错警示对向量的夹角公式

13、掌握不牢而致错. 11.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),则实数t的值为. 答案答案-5 解析解析因为a(ta+b),所以a(ta+b)=0,即ta2+ab=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=,ab=16 +(-1)(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5. 2 方法总结方法总结正确利用两向量垂直的充要条件是构造关于t的方程的前提.两非零向量a=(x1,y1) 与b=(x2,y2)垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0. 评析评析本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,

14、考 查学生的运算求解能力以及方程思想的应用. 12.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2=.若平面向量b满足be1=be2=1,则|b|= . 1 2 答案答案 2 3 3 解析解析令e1与e2的夹角为,e1e2=|e1|e2|cos=cos=,又0180,=60.因为b(e1-e2)=0, 所以b与e1、e2的夹角均为30,从而|b|=. 1 2 1 cos30 2 3 3 考点二数量积的综合应用考点二数量积的综合应用 1.(2018天津文,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,=2,=2 ,则的值为() A.-15B.-9C.

15、-6D.0 BM MA CN NA BC OM 答案答案C解法一:连接OA.=-=3-3=3(-)-3(-)=3(-), =3(-)=3(-|2)=3(21cos120-12)=3(-2)=-6.故选C. 解法二:在ABC中,不妨设A=90,取特殊情况ONAC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分 别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为MON=120,ON=2,OM=1,所以O,C ,M,B. 故=-=-6.故选C. BC AC AB AN AM ON OA OM OA ON OM BC OM ON OM OM ON OM OM 3 2, 2 3 3 0, 2 5 ,0 2 15 ,

16、0 2 BC OM 15 3 3 , 22 13 , 22 15 4 9 4 2.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若 点E为边CD上的动点,则的最小值为() A.B.C.D.3 AE BE 21 16 3 2 25 16 答案答案A本题主要考查数量积的综合应用. 解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0), B,C(0,),令E(0,t),t0,=(-1,t)=t2-t+,t0,当t =-=时,取得最小值,()min=-+=.故选A. 解法二:令=(01),由已

17、知可得DC=, =+,=+=+, =(+)(+) =+|2+2|2 =32-+. 33 , 22 33AE BE 33 , 22 t 3 2 3 2 3 3 2 2 1 3 4 AE BE AE BE 3 16 3 2 3 4 3 2 21 16 DE DC 3 AE AD DC BE BA AE BA AD DC AE BE AD DC BA AD DC AD BA AD DC BA DC 3 2 3 2 当=-=时,取得最小值.故选A. 3 2 2 3 1 4 AE BE 21 16 方法总结方法总结向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可 用平面向量基本定

18、理,也可利用向量的坐标运算. 3.(2017课标,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+ )的最小值是() A.-2B.-C.-D.-1 PA PB PC 3 2 4 3 答案答案B设BC的中点为D,AD的中点为E, 则有+=2, 则(+)=2 =2(+)(-)=2(-). 而=, 当P与E重合时,有最小值0,故此时(+)取最小值,最小值为-2=-2=-. PB PC PD PA PB PC PA PD PE EA PE EA 2 PE 2 EA 2 AE 2 3 2 3 4 2 PE PA PB PC 2 EA 3 4 3 2 方法总结方法总结在求向量数量

19、积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用=-可 快速求出最值. PA PD 2 PE 2 EA 3 13 , 22 PA PB PC PA PD 13 , 22 xy 13 (1) 22 xxyy 2 2 133 444 xy 1 4 3 4 PA PB PC 3 4 3 2 一题多解一题多解以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图, 则A(-1,0),B(1,0),C(0,),设P(x,y),取BC的中点D,则D.(+)=2=2(-1-x,-y) =2=2. 因此,当x=-,y=时,(+)取得最小值,为2=-,故选B. 4.(2016天津,7,5分)已知ABC是边长为

20、1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则的值为() A.-B.C.D. AF BC 5 8 1 8 1 4 11 8 答案答案B建立如图所示的平面直角坐标系. 则B,C,A,所以=(1,0). 易知DE=AC,FEC=ACE=60,则EF=AC=, 所以点F的坐标为, 所以=, 所以=(1,0)=. 1 ,0 2 1 ,0 2 3 0, 2 BC 1 2 1 4 1 4 13 , 88 AF 15 3 , 88 AF BC 15 3 , 88 1 8 疑难突破疑难突破利用公式ab=|a|b|cos求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标

21、系, 利用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键. 评析评析本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积,考查运算求解能力和数形结合思想. 5.(2015福建,9,5分)已知,|=,|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且= +,则的最大值等于() A.13B.15C.19D.21 AB AC AB 1 t AC AP | AB AB 4 | AC AC PB PC 答案答案A以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(t 0),C(0,t),P(1,4),=(-1,t-4)=17-17-22=13,故 的最大值为13,故选A. 1,0 t PB PC 1 1,

22、4 t 1 4t t 1 ,“ ” 2 t 当且仅当时 取 PB PC 6.(2019江苏,12,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若 =6,则的值是. AB AC AO EC AB AC 答案答案 3 解析解析本题考查平面向量基本定理、向量的线性运算、平面向量的数量积等有关知识,考查 学生的抽象概括能力和运算求解能力,考查的核心素养为数学运算. 过D作DFEC,交AB于F. D为BC的中点,F为BE的中点, 又BE=2EA,EF=EA, 又DFEO,AO=AD, =(+). =(+) =. 1 2 AO 1 2 AD 1 2 1 2 AB

23、 AC AO EC 1 4 AB AC 1 3 ACAB 1 4 22 21 33 ACAB ACAB =6, =-+, =3,|=|, =. AB AC AO EC AB AC 3 2 2 AC 1 2 2 AB AB AC 2 AB 2 AC AB 3 AC AB AC 3 一题多解一题多解由于题目中对BAC没有限制,所以不妨设BAC=90,AB=c,AC=b,建立如图所示 的平面直角坐标系. 则E,D, 易得lAD:y=x,lEC:+=1, 联立得解得则O. 由=6得6=0, 0, 3 c , 2 2 b c c b x b 3 y c , 1, 3 c yx b xy c b , 4

24、, 4 b x c y , 4 4 b c AB AC AO EC , 4 4 b c , 3 c b c2=3b2,c=b,=. 3 AB AC 3 7.(2019天津理,14,5分)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,点E在线段CB的延 长线上,且AE=BE,则=. 3 BD AE 答案答案-1 解析解析本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解;考 查学生数形结合思想的应用以及运算求解能力;通过向量的不同表现形式更全面地考查了学 生逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. 解法一:BAD=30,ADBC,ABE=30, 又EA=EB,E

25、AB=30, 在EAB中,AB=2,EA=EB=2. 以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示. 3 则A(0,0),D(5,0),E(1,),B(3,), =(2,-),=(1,), =(2,-)(1,)=-1. 33 BD 3AE 3 BD AE 33 解法二:同解法一,得AB=2, 以,为一组基底, 则=-,=+=-, =(-) =-+- =- =52-12-25=-1. 3 AB AD BD AD AB AE AB BE AB 2 5 AD BD AE AD AB 2 5 ABAD AD AB 2 AB 2 5 AB AD 2 5 2 AD 7 5 AB AD 2

26、 AB 2 5 2 AD 7 5 3 3 2 2 5 8.(2017天津,13,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且 =-4,则的值为. BD DC AE AC AB AD AE 答案答案 3 11 解析解析本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积. 如图,由=2得=+, 所以=(-)=-+-, 又=32cos60=3,=9,=4, 所以=-3+-2=-5=-4,解得=. BD DC AD 1 3 AB 2 3 AC AD AE 12 33 ABAC AC AB 1 3 AB AC 1 3 2 AB 2 3 2 AC 2 3 AB AC AB AC 2 AB

27、2 AC AD AE 8 3 11 3 3 11 思路分析思路分析根据=2得=+,利用=-4以及向量的数量积建立关于的 方程,从而求得的值. BD DC AD 1 3 AB 2 3 AC AD AE 一题多解一题多解以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2, BAC=60,所以B(3,0),C(1,),又=2,所以D,所以=,而=-= (1,)-(3,0)=(-3,),因此=(-3)+=-5=-4, 解得=. 3BD DC 5 2 3 , 33 AD 5 2 3 , 33 AE AC AB 33AD AE 5 3 2 3 3 3 11 3 3 11 9.

28、(2015安徽,15,5分)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下 列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号) a为单位向量;b为单位向量;ab; b;(4a+b). AB AC BC BC 答案答案 解析解析=2a,|=2,2|a|=2,|a|=1,故正确. 由=-=2a+b-2a=b,知正确, 又|b|=|=2,故不正确. 由ab=22=-1,知不正确. 由(4a+b)=(2+)=2+=222+4=0,知正确.综上,结论正确的是 . AB AB BC AC AB BC 1 2 AB BC 1 2 1 2 BC AB BC BC AB BC 2 BC 1

29、2 C C组教师专用题组组教师专用题组 考点一数量积的定义及模、夹角运算考点一数量积的定义及模、夹角运算 1.(2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),则a与b的夹角为() A.B.C.D. 3 2 2 3 5 6 答案答案C因为a(2a+b),所以a(2a+b)=0, 得到ab=-2|a|2,设a与b的夹角为,则cos=-,又0,所以=,故选C. | a b a b 2 2 2| 4| a a 1 2 2 3 2.(2015陕西,8,5分)对任意平面向量a,b,下列关系式中的是() A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b| C.(a+b)2=|

30、a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2 不恒成立 答案答案B设向量a,b的夹角为,因为ab=|a|b|cos,所以|ab|=|a|b|cos|a|b|,A成立;由向量 的运算律易知C,D成立.故选B. 3.(2015湖北,11,5分)已知向量,|=3,则=. OA AB OA OA OB 答案答案9 解析解析,=0, 即(-)=0, =9. OA AB OA AB OA OB OA OA OB 2 OA 4.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.动点E和F分别 在线段BC和DC上,且=,=,则的最小值为. BE BC DF 1

31、 9 DC AE AF 答案答案 29 18 解析解析如图,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则B(2,0),C,D. 由=得E, 由=得F. 从而=+2=当且仅当=时,取等号. 33 , 22 13 , 22 BE BC 3 2, 22 DF 1 9 DC 113 , 292 AE AF 3 2, 22 113 , 292 17 18 2 92 17 18 1 3 29 18 2 3 考点二数量积的综合应用考点二数量积的综合应用 1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足 b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是

32、() A.-1B.+1C.2D.2- 3 333 答案答案A本小题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离. 设=a,=b,=e,以O为原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨 设A点在第一象限,a与e的夹角为,点A在从原点出发,倾斜角为,且在第一象限内的射 线上.设B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而= a-b,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y=x(x0)的距 离减去圆的半径,|a-b|min=-1.选A.

33、 OA OB OE OE 3 3 BA 3 3 一题多解一题多解将b2-4eb+3=0转化为b2-4eb+3e2=0, 即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e). 设=e,=a,=b,=3e,=2e,则, 点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图. |a-b|=|,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离 减去圆的半径. |=2,AOM=,|a-b|min=2sin-1=-1. OE OA OB ON OM EB NB BA OM 3 3 3 2.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|=6,|=4.若点M,N满足=3,=

34、2,则=() A.20B.15C.9D.6 AB AD BM MC DN NC AM NM 答案答案C依题意有=+=+,=+=-=-,所以 =-=9.故选C. AM AB BM AB 3 4 BC NM NC CM 1 3 DC 1 4 BC 1 3 AB 1 4 BC AM NM 3 4 ABBC 11 34 ABBC 1 3 2 AB 3 16 2 BC 3.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量,的模分别为1,1,与的夹角 为,且tan=7,与的夹角为45.若=m+n(m,nR),则m+n=. OA OB OC 2 OA OC OB OC OC OA OB 答案答案3 解

35、析解析解法一:tan=7,0, cos=,sin=, 与的夹角为, =, =m+n,|=|=1,|=, =, 又与的夹角为45, =, 又cosAOB=cos(45+)=coscos45-sinsin45 =-=-, =|cosAOB=-, 2 10 7 2 10 OA OC 2 10 | OA OC OA OC OC OA OB OA OB OC 2 2 10 2 mnOA OB OB OC 2 2 | OB OC OB OC 2 mOA OB n 2 10 2 2 7 2 10 2 2 3 5 OA OB OA OB 3 5 将其代入得m-n=, -m+n=1, 两式相加得m+n=, 所以

36、m+n=3. 解法二:过C作CMOB,CNOA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N, 则=m,=n, 由正弦定理得=, |=,由解法一知,sin=,cos=, |=, |=, 又=m+n=+,|=|=1, 3 5 1 5 3 5 2 5 2 5 6 5 OM OA ON OB | sin45 OM | sin(135) OC | sin ON OC 2 7 2 10 2 10 OM 2sin45 sin(135) 1 sin(45) 5 4 ON 2sin sin(135) 7 2 2 10 sin(45) 7 4 OC OA OB OM ON OA OB m=,n=,m+n=3. 5 4

37、 7 4 4.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|ae|+|be|,则ab的最 大值是. 6 答案答案 1 2 解析解析对任意单位向量e,均有|ae|+|be|ae+be|=|(a+b)e|, |a+b|,当且仅当a+b与e共线时,等号成立. a2+2ab+b26,又|a|=1,|b|=2, ab,即ab的最大值为. 6 6 1 2 1 2 5.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,=2,则 的值是. CP PD AP BP AB AD 答案答案22 解析解析=(+)(+) = =-+

38、=25-64-=13-=2, 故=22. AP BP AD DP BC CP 1 4 ADAB 3 4 ADAB 2 AD 3 16 2 AB 13 44 AB AD 3 16 1 2 AB AD 1 2 AB AD AB AD 三年模拟 A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题考点基础题组组 考点一数量积的定义及模、夹角运算考点一数量积的定义及模、夹角运算 1.(2018北京朝阳一模,4)已知a,b为非零向量,则“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案答案Ba,b为非

39、零向量, ab0cos0, 而a,b的夹角为锐角, 又, 故选B. 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 2.(2017北京丰台二模,5)已知向量a=,b=(,-1),则a,b的夹角为() A.B.C.D. 3 1 , 22 3 4 3 2 2 3 答案答案B由题意可得cos=,a,b的夹角为,故选B. | a b a b 31 3( 1) 22 31 3 1 44 31 22 1 2 1 23 3.(2018北京顺义二模文,7)向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,则ab等于() A.B.1C.-1D.-2 1 2 答案答案D由题图可知,a=(-1,1),b=(-1,-3), 则ab=1

40、-3=-2,故选D. 4.(2019北京朝阳二模文,5)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=1,|b|=2,则|a+b|=() A.3B.C.7D. 2 3 37 答案答案B|a+b|=.故选B. 2 ()ab 22 2aa bb 22 2 12 1 2cos2 3 3 5.(2019北京丰台二模文,9)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1,则向量a,b的夹角为. 答案答案 3 解析解析ab=|a|b|cos=2cos=1,所以cos=,所以向量a与b的夹角为. 1 23 易错警示易错警示运用平面向量数量积的定义并注意向量夹角的范围是0,. 6.(2019北京西城一模文,9)

41、设向量a,b满足|a|=2,|b|=3,=60,则a(a+b)=. 答案答案7 解析解析a(a+b)=aa+ab=|a|2+|a|b|cos=4+23=7. 1 2 7.(2019北京东城一模,12)已知向量a=(1,),向量b为单位向量,且ab=1,则2b-a与2b的夹角为 . 3 答案答案 3 解析解析由题意得,|a|=2,|b|=1,ab=1, 而|2b-a|=2, cos=. 则2b-a与2b的夹角为. 2 (2)ba 22 4|4|ba ba 2 4|2 |2| |2 | ba b bab 1 2 3 8.(2018北京海淀二模,11)已知平面向量a,b的夹角为,且满足|a|=2,|

42、b|=1,则ab=,|a+2 b|=. 3 答案答案1;2 3 解析解析ab=|a|b|cos=21=1,|a+2b|=2. 1 2 2 (2 )ab 22 |44|aa bb 44 14 1 3 考点二数量积的综合应用考点二数量积的综合应用 1.(2018北京西城期末,6)设a,b是非零向量,且a,b不共线.则“|a|=|b|”是“|a+2b|=|2a+b|”的 () A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案答案C由|a+2b|=|2a+b|,两边平方得, |a+2b|2=|2a+b|2, 即|a|2+4ab+4|b|2=4|a|2+4ab+|b|

43、2, 所以3|a|2=3|b|2,即|a|=|b|, 所以“|a|=|b|”是“|a+2b|=|2a+b|”的充分必要条件,故选C. 2.(2018北京朝阳二模,5)如图,角,均以Ox为始边,终边与单位圆O分别交于点A,B,则= () A.sin(-)B.sin(+) C.cos(-)D.cos(+) OA OB 答案答案C解法一:=|cos=11cos(-)=cos(-)=cos(-).故选C. 解法二:由三角函数的定义得A(cos,sin),B(cos,sin),=(cos,sin)(cos,sin)= coscos+sinsin=cos(-). OA OB OA OB OA OB OA

44、OB 3.(2019北京门头沟一模,5)已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且其夹角为,则“|a-b|1”是“ ”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 , 3 答案答案C由题意|a-b|=1,得 2-2cos1,从而有cos,又由0,从而得1”是“”的充 分必要条件. 2 ()ab 22 |2|cos|aa bb 222 12 1 cos1 22cos 1 23 , 3 4.(2018北京海淀期末文,7)在ABC中,AB=AC=1,D是AC的中点,则的取值范围是() A.B. C.D. BD CD 3 1 , 4 4 1 , 4 3 , 4

45、1 3 , 4 4 答案答案A=(+)=+|2=+. 设BC=x,BCD=,则=-cos, 在ABC中,由余弦定理得cos=, 则=. 易知x(0,2),代入上式得到的取值范围是.故选A. BD CD BC CD CD BC CD CD BC CD 1 4 BC CD 2 x 222 11 2 x x 2 x BD CD 2 1 4 x BD CD 3 1 , 4 4 方法点睛方法点睛本题考查向量基本定理的应用,向量数量积运算.解决向量的小题常用方法有:数形 结合法;向量的三角形法则,平行四边形法则等;建立平面直角坐标系将向量坐标化;向量基底 化,选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.

46、5.(2019北京顺义期末,6)设a,b是非零向量,则“ab”是“|a+2b|=|a-2b|”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案答案C|a+2b|=|a-2b|(a+2b)2=(a-2b)2ab=0,选C. 6.(2017北京东城期末,11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=5,b=7,c=8,则等于 . AB AC 答案答案44 解析解析由a=5,b=7,c=8, 得cosA=. =bccosA=78=44. 222 2 bca bc 496425 2 7 8 11 14 AB AC 11 14 7.(2019北京海

47、淀一模,11)已知向量a=(1,-2),同时满足条件:ab,|a+b|a|的一个向量b的坐 标为. 答案答案(-1,2)(答案不唯一) 解析解析解法一:因为ab,所以设b=a=(,-2), 又因为|a+b|a|,所以|a+b|=, 解得-20,可取=-1,则b=(-1,2). 解法二:设b=a,当0时,显然|a+b|a|,不满足题意, 所以0,其中当=-1时,b=(-1,2),|a+b|=0|a|,满足题意,此时两向量互为相反向量. 解法三:设b=(x,y),ab,y=-2x, a+b=(x+1,y-2),|a+b|=. |a+b|a|,|a|=, ,(x+1)2+(y-2)25, (x+1)

48、2+(-2x-2)2=5(x+1)25,即(x+1)21, -2x0,取x=-1,则y=2,b=(-1,2).(答案不唯一) 22 (1)4(1)5 22 (1)(2)xy 5 22 (1)(2)xy5 方法总结方法总结第一种解法:把题目中的条件,运用坐标运算,通过解不等式得到结果. 第二种解法:把题目条件构建满足题意的图形找到极端情况,然后直接写出一个满足条件的向 量b即可. 第三种解法是在没有技巧的情况下用的,是一种通法. B B组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组 时间:30分钟分值:50分 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.(2019北

49、京昌平期末,4)设a是单位向量,b是非零向量,则“ab”是“a(a+b)=1”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案答案C若ab,则a(a+b)=aa+ab=1,所以充分性成立,若a(a+b)=1,则aa+ab=1+ab=1,所以 ab=0,即ab,所以必要性成立.故选C. 2.(2017北京西城二模,6)设a,b是平面上的两个单位向量,ab=.若mR,则|a+mb|的最小值是 () A.B.C.D. 3 5 3 4 4 3 4 5 5 4 答案答案C由题意得|a+mb|2=a2+2mab+m2b2=1+m+m2=+,故当m=-时,|a+m

50、b|2取得 最小值,为,此时|a+mb|取得最小值,为,故选C. 6 5 2 3 5 m 16 25 3 5 16 25 4 5 3.(2019北京首师大附中一模,6)如图,平面四边形ABCD中,ABC=ADC=90,BC=CD=2,点E 在对角线AC上,AC=4,AE=1,则的值为() A.17B.13C.5D.1 EB ED 答案答案D由题意可知CE=3,BCE=60, EB=, cosBEC=, cosBED=2cos2BEC-1=. =EBEDcosBED=1. 故选D. 22 2cosBCCEBC CEBCE 22 232 2 3 cos60 7 222 2 EBCEBC EB CE

51、 222 ( 7)32 273 2 7 7 1 7 EB ED 77 1 7 思路分析思路分析利用余弦定理求出EB,cosBEC,再根据二倍角公式得出cosBED,从而可计算出 结果. 4.(2019北京西城二模文,5)设向量a,b满足|a|=2,|b|=1,=60,则|a+2b|=() A.2B.2 C.D.12 23 10 答案答案B|a+2b|=2. 2 (2 )ab 22 4|cos,4aa ba bb 48cos6043 解后反思解后反思运用|a|=与ab=|a|b|cos进行求解. 2 a 5.(2018北京海淀一模,8)已知点M在圆C1:(x-1)2+(y-1)2=1上,点N在圆

52、C2:(x+1)2+(y+1)2=1上,则下 列说法错误的是() A.的取值范围为-3-2,0 B.|+|的取值范围为0,2 C.|-|的取值范围为2-2,2+2 D.若=,则实数的取值范围为-3-2,-3+2 OM ON 2 OM ON 2 OM ON 22 OM ON 22 答案答案B解法一:如图1,因为MON90,所以0, 因为|OM|OC1|+|C1M|=1+, |ON|OC2|+|C2N|=1+, 所以=|OM|ON|cos-(+1)2=-3-2, 注意到当M(1,0),N(0,-1)时,=0, 当M,N时,=-(+1)2=-3-2.选项A正确. 图1 如图2,+=+=+,故|+|+

53、|=2,选项B错误. OM ON 2 2 OM ON OM ON 22 OM ON 22 1,1 22 22 1, 1 22 OM ON 22 OM ON 1 OC 1 C M 2 OC 2 C N 1 C M 2 C N OM ON 1 C M 2 C N 图2 如图3,-=+, 故|-|=|+|+|=2+2, |-|=|-|+|-|=-2+2, 当M,N时,|=2+2; 当M,N时,|=-2+2. 选项C正确. 图3 由题意0,且|=, OM ON NM 2 NC 21 C C 1 C M OM ON NM 2 NC 21 C C 1 C M 2 OM ON NM 2 NC 21 C C

54、1 C M 2 22 1,1 22 22 1, 1 22 NM 2 22 1,1 22 22 1, 1 22 NM 2 | | OM ON 注意到|OM|,|ON|-1,+1, 故|,故-3-2,-3+2,选项D正确. 解法二:如图,设M(1+cos,1+sin),N(-1+cos,-1+sin),=,0,2, 则=|cos =cos, 当=,=,=时,取最小值,为-3-2, 当=时,取最大值,为0,选项A正确. 设M(1+cos,1+sin),N(-1+cos,-1+sin)(,0,2),则+=(cos+cos,sin+sin), 故|+|=0,2, 22 2121 , 2121 22 OM

55、 ON , 2 OM ON OM ON OM ON 32 2sin 4 32 2sin 4 4 5 4 OM ON 2 2 OM ON OM ON OM ON 22cos() 当=时,|+|取得最大值2, 当-=时,|+|取得最小值0, 选项B错误. 选项C、D的判断同解法一.故选B. OM ON OM ON 解题关键解题关键本题是一道综合题,考查了数形结合的思想方法、转化的思想方法、三角换元的 方法,灵活运用上述思想方法是解本题的关键. 二、填空题(每小题5分,共25分) 6.(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b满足a(a+b)=0,2|a|=|b|,则向量a,b的夹角为. 答案答

56、案 2 3 解析解析设a与b的夹角为,因为a(a+b)=0,所以aa+ab=0|a|a|+|a|b|cos=0, 又因为2|a|=|b|0,所以|a|a|+2|a|a|cos=0,即1+2cos=0,所以cos=-,从而=. 1 2 2 3 7.(2017北京海淀二模,13)在四边形ABCD中,AB=2.若=(+),则=. DA 1 2 CA CB AB DC 答案答案2 解析解析由题意可知=(+)= |AB|2=2. AB DC AB DA AC AB 1 () 2 ACCA CB AB 11 22 ACCB 1 2 AB AB 1 2 8.(2017北京朝阳一模,13)如图,AB1C1,C1B2C2,C2B3C3是三个边长为2的等边三角形,且有 一条边在同一条直线上,边B3C3上有2个不同的点P1,P2,则(+)=. 2 AB 1 AP 2 AP 答案答案36 解析解析如图,延长C3B3,与AB2的延长线交于点D,则,易知|=3,|=2, 所以=|cosDAP1=|=23=18,同理,=18, 所以(+)=+=36. AD 3DC AD 3 2AB