1991全国高考理科数学试题

1、1991年普通高等学校招生全国统一考试-数学(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)满分120分+、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的把所选项前的字母填在题后括号内.4(1)已知sin a =，并且a是第二象限的角，那么5tg a的值等于4(A) 4(C)(D) 焦点在(一1, 0)，顶点在(1 , 0)的抛物线方程是(A) ,=8(x+1)(C) y2=8(x 1)函数y=cos4x sin 4x的最小正周期是(A) 2(B) n(4)如果把两条异面直线看成“一对”(A) 12 对(B) y2= 8(x+1)(D)

2、 y2= 8(x 1)(C) 2 n(D) 4 n，那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共(B) 24 对 函数y=sin(2x+与)的图像的一条对称轴的方程是(C) 36 对(D) 48 对(A) x= 2(C) x 8(B) x=-45(D) x4(6)如果三棱锥S ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影0在厶ABC内，那么O ABC 的(A) 垂心(B) 重心(C)外心(D)内心 已知an是等比数列，且an0.a2a4+2a3a5+a 4a6=25，那么 a3+a 5的值等于(A) 5(D) 20(B) 10(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为

3、p(C) 1516 一 ，那么它的焦点的极坐标为5 3cos(A) (0, 0), (6, n )(B) ( 3, 0), (3, 0)(C) (0, 0), (3, 0)(D) (0, 0), (6 , 0)(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()(A) 140 种(B) 84 种(C) 70 种(D) 35 种(10) 如果AC0且BC0，那么直线 Ax+By+C =0不通过()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(11) 设甲、乙、丙是三个命题如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那

4、么()(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件(B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件(C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件111 1(12) limn(1)(1 )(1 -)(1 )的值等于()n345n 2(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果奇函数f(x)在区间3 , 7上是增函数且最小值为5，那么f (x)在区间7, 3上是()(A)增函数且最小值为5(B)增函数且最大值为5(C) 减函数且最小值为5(D)减函数且最大值为5(14) 圆x2+2x+y2+4y 3=0上到直线x+y+仁0的距离为.2的点共有()(A) 1 个(B)

5、2 个(C) 3 个(D) 4 个(15) 设全集为 R , f (x)=sinx, g (x)=cosx, M= x|f (x)丰 0,N=xg (x)m 0，那么集合x|f (x)g (x)=0等于(A) M N(B) M N(C) M N(D) M N、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分把答案填在题中横线上.1(16) arctg +arctg1-的值是22x x 2(17) 不等式6x21，那么 a=”(20) 在球面上有四个点 P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直，且 PA= PB= PC=a 那么这个球面的面积是 .三、解答题：本大题共 6小题；共60分.(2

6、1) (本小题满分8分)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数 y取最小值的x的集合.(22) (本小题满分8分)已知复数z=1 + i求复数z2 3z 6z 1的模和辐角的主值.(23)(本小题满分10分)已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂C直于ABCD所在的平面，且 GC = 2 .求点B到平面EFG的距离.(24) (本小题满分10分)根据函数单调性的定义，证明函数f (x)= x3+1在(-m, +m )上是减函数.(25) (本小题满分12分)已知n为自然数，实数a1，解关于x的不等式lOgax loga2x+

7、12log a3 x + n (n 2)1 1 log an x-(2)n3log a (x2 a)(26) (本小题满分12分)双曲线的中心在坐标原点 O,焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为 、3的直线交双 5曲线于P、Q两点.若OP丄OQ, |PQ|=4，求双曲线的方程.1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应 评分细则.二、每题都要评阅到底， 不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当

8、考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分.三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.五、只给整数分数.、选择题.本题考查基本知识和基本运算.A(2)D(3)B(4)B(9)C(10)C(11)A(12)C每小题 3分，满分45分.(5)A(6) D (7)A(8)D(13) B (14)C(15)D、填空题.本题考

9、查基本知识和基本运算.每小题3分，满分15分.(16) 4(17) x| 2x1(18)14(19) 1 +105(20) 3 na2三、解答题(21)本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质.满分8分.解：y=sin2x+ 2sinxcosx+ 3cos2x=(s in 2x + cos2x) + 2sin xcosx+2cos2x1 分=1si n2x(1 + cos2x)=2 + sin 2x+cos2x=2+、2si n(2x+).5 分4当sin(2x+)= 1时y取得最小值2、. 2 . 6分43使y取最小值的x的集合为x|x=kn - n , k Z. 8分8(22)本小题

10、考查复数基本概念和运算能力.满分8分.解:z23z6 (1i)23(1 i) 6=3 i = F_i=1 i.1 i 的模 r= 12( 1)2 =、2 .因为1 i对应的点在第四象限且辐角的正切tg e = 1,所以辐角的主值9 = 7 n .8 分4(23) 本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力.满分10分.解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分另U交AC于H、O.因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF / BD , H为AO的中点.BD不在平面EFG上.否则，平面 EFG和平面ABCD重合，从而点 G在平

11、面的ABCD上， 与题设矛盾.由直线和平面平行的判定定理知BD /平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.一一4分/ BD 丄 AC, EF 丄 HC ./ GC丄平面ABCD , EF 丄 GC, EF丄平面HCG . 平面EFG丄平面HCG , HG是这两个垂直平面的交线. 6分作OK丄HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知 OK丄平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.正方形ABCD的边长为4, GC=2, AC= 4,2 , HO= . 2 , HC=3 . 2 .在Rt HCG 中，HG= 3. 2?22 y 22 .由于RtA HKO和

12、Rt HCG有一个锐角是公共的，故 Rt HKO s HCG .HO GC 2 22 11 0K= hg42211即点B到平面EFG的距离为2.111110分注：未证明“ BD不在平面EFG上”不扣分.（24）本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力满分10分.证法一：在（8, + g ）上任取X1 , X2且X1X21分则 f（X2） f （X1）= X； X；= （X1 X2）（X： X1X2 X；）3分T X1X2,- X1 X2 0.4分2 2当 X1X20 ；6分当X1X2 0时，有 X； X1X2 x；0 ;2 2 f (X2) f (X1)= (X1 X2)(

13、X1X1X2X2 )0 . 8 分即 f (X2) f (X1)所以，函数f(x)= X3+1在( 8, +8 )上是减函数. 10分证法二：在(8, + 8 )上任取X1 , X2 ,且X1 X2,1分3322则 f (X2) f (X1)=X1 X2 = (X1 X2) ( X1X1X2X2 ) .3分T X1X2, X1 X21(x12X；+x；0. 2十 X2) |X1X2| X1X22-8分10分12IOgaXloga an(2)n3log ax故原不等式可化为gaxloga(x2-a).33x；x1 x22 2f(X2) f(X1)= (xi X2)( x1X-I x2x2 )0

14、.即 f(X2)0,不等式等价于logaxloga(x2 a).因为a1 ,式等价于- a1 4a2因为11 4a21. 1 4a 、4a 一=a ,21; i 4a所以，不等式的解集为x| . a xlog a).因为a1，式等价于x2x a 0Ix - a1 v14a 或 x2x a1,1 4ax210分因为1一1 4a20,1 4a24a212分所以，不等式的解集为x|x 1一 1 4a .2综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是x|、. a x 1一；21_ 14 a当口为偶数时，原不等式的解集是x|x (26) 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知

15、识，以及综合分析能力满分12分.2 2解法一：设双曲线的方程为务-2 =1.a b依题意知，点P, Q的坐标满足方程组2 x2 ab2将式代入式，整理得其中c.a2 b2 (5b2 3a2)x2+6a2cx (3a2c2+5a2b2)=0.设方程的两个根为xi, X2,若5b2 3a2=0，则3，即直线与双曲线的两条a 5渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5 b2 3a2工 0.根据根与系数的关系，有fX1x2X-I x26a2c5b2 3a23a2c2 5a2b22 25b 3a由于P、Q在直线y=c）上，可记为；3(3P (X1, 、5 (x1 c) , Q

16、(X2, 、5 (X2 c).3 (X1 c) : 3 (X2 c) 由 OP 丄 OQ得一55= 1,X1x2整理得 3c(X1+x2) 8x1x2 3c2=0 .将，式及&=a2+b2代入式，并整理得3a4+8a2b2 3b4=0,(a2+3b2)(3a2 b2)=0.因为a2+3b2z 0，解得 b2=3a2,所以 c=；a2 b2 =2a.由 |PQ|=4，得(X2 X1)2= J3(X2 c) (X1 c)2=42. 5 5将，式及b2=3a2, c=2a代入式，解得a2=i.将 a2 =1 代入 b2=3a2 得 b2=3.10分2故所求双曲线方程为x2丄=1 .12分3解法二：式以上同解法一.一一4分解方程得X1=3a2c 770ab2 x_ 3a2c j70ab222， x2=225b2 3a25b2 3a26分由于P、Q在直线y=13 (x c)上，可记为P (X1,Q (x