完整word版必修一知识要点

1、必修一知识要点第一单元1. 集合定义：一组对象的全体 形成一个集合.2. 特征：确定性、互异性、无序性 .3. 表示法：列举法1,2,3,、描述法x|P.图示法（数轴，坐标系和韦恩图） 分类：有限集、无限集.4. 数集：自然数集 N整数集Z、有理数集 Q实数集R正整数集N*、空集0 .5. 关系：属于、6. 运算：交运算补运算不属于7.性质:A A;AU =、包含于 (或)、真包含于缸、集合相等=.An B= x|x A 且 x B；并运算 AU B= x|x A 或 x B;CU A = x|x A且 x U, U为全集0A； 若 AB,B C,贝U A C； An A= AU A= A；

2、A n = ；A；AnB= AAUB= B AB； An CU A=0； A U CU A= I ；方法：注意：Cu ( C u A) = A Cu(A B) = (CuA) n (Cu B).韦恩示意图，数轴分析. 区别与 套岂 、a与a、0与 0 、(1,2)与1,2； A B时，A有两种情况：A=0与A0 .若集合A中有n（n N）个元素，则集合A的所有不同的子集个数为 2n ,所有真子集的个数是2n-1,所有非空真子集的个数是 2n空集是指不含任何元素的集合。0、 和 的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为A B,在讨论的时候不要遗忘了A的情况。

3、符号“，”是表示元素与集合之间关系的；符号“ ？，关系的。（二）含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 将不等式化为 ao（x-x i）（x-x 2）（X-X n）0（0” ,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“b解的讨论；一元二次不等式 ax +box0（a0）解的讨论.xrxan 0（ 0）（ao0）的解可以根据各区间的符号确定二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象J7L0r一元二次方程2ax bx c 0a 0的根2ax bx c 0(a 0)的解集2,Cax bx c 0(a 0)的解集有两相异实根Xi, X2 (XiX2)有两相

4、等实根bX1 X22a无实根2.分式不等式的解法XXX1或 Xx2XX1 X X2(1)标准化：移项通分化为(2)转化为整式不等式(组)f(x) g(x)f(x)g(x)XX2aA 0(或谓0(或空0)；空2g(x) g(x)0 f (x)g(x)0;丄凶 0g(x) 0)的形式,g(X)g(0) 03. 含绝对值不等式的解法(1) 公式法：|ax b| c,与|ax b|(2) 定义法：用“零点分区间法”分类讨论(3) 几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题4. 一元二次方程根的分布一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 丰 0)(1) 根的(2) 根的c(c 0)型的不等式的解

5、法.“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之8 函数的概念： 意一个数X , 合B的一个函数记作：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系在集合B中都有唯一确定的数y=f(x) , X A.义域；与X的值相对应的y值叫做函数值， 注意：1.定义域：能使函数式有意义的实数 等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)(3)对数式的真数必须大于零；(4)f，f(x)和它对应，那么就称f :其中，X叫做自变量， 函数值的集合f(x)| X使对于集合A中的任At B为从集合A到集 X的取值范围A叫做函数的定 A 叫做函数的值

6、域.的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 意义的X的值组成的集合.偶次方根的被开方数不小于零；指数、对数式的底必须大于零且不等于1.那么，它的定义域是使各部分都有X(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义相同函数的判断方法：定义域一致表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)；(两点必须同时具备)2.值域：先考虑其定义域观察法 单调性 配方法3.函数表达式的求法：定义法；9. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，分离常数法判别式法 代换法图像法等换元法；待定系数法以函数 y=f(

7、x) ,(X A)中的X为横坐标，函数值 y为纵 A)的图象.C上每一点的坐标(X , y) (X ,坐标的点P(x , y)的集合 G叫做函数 y=f(x),(x均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对 X、y为坐标的点 y)，均在G上.(2)画法：10. 区间的概念：描点法(1)(2)图象变换法区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间(3)区间的数轴表示.11.映射一般地，设 A B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合中的任意一个元素 X,在集合B中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应 f : A 为从集合A到集合B

8、的一个映射。记作“ f (对应关系)：A (原象) B (象)”对于映射f : L B来说，则应满足：集合A中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的；集合A中不同的元素，在集合 B中对应的象可以是同一个；不要求集合B中的每一个元素在集合 A中都有原象。(1)(2)(3)12. 分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2) 各部分的自变量的取值情况.(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集. 补充：复合函数如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),则 y=fg(x)=F(x)(x A)13. 函数的单调性(局部性质)(1)增函

9、数称为f、g的复合函数。f(x1)f(x2) 对于定义域内某一区间D内任意的X1,X2,且X1f(x2)? f(x)在D上单调递增，? f(x)在D上单调递减.注意定义的如下两种等价形式：J(x1) f(x2)0? f(x)x1 x2f(x1) f(x2) x1 x20 (0) ? f(x)在a , b上是增函数(减函数).注意：函数的单调性是函数的局部性质；(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降 的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)

10、定义法： 任取 X1, X2 D,且 X1X2； 变形(通常是因式分解和配方)；下结论(指出函数f(x)在给定的区间(B)图象法(从图象上看升降)增+增=增减+减=减增-减=增(C)复合函数的单调性：复合函数f g(x)的单调性与构成它的函数性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间其并集.14.函数的奇偶性(整体性质)(1) 偶函数：一般地，对于函数f(x)就叫做偶函数.(2) 奇函数：一般地，对于函数 么f(x)就叫做奇函数.(3) 具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点

11、对称；作出相应结论：作差 f(x 1) f(x 2); 劭定号(即判断差f(x D上的单调性).i) f(x 2)的正负)；减+减=减减-增=减u=g(x) , y=f(u)的单调,不能把单调性相同的区间和在一起写成f(x)的定义域内的任意一个f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f( x)=f(x)，那么x，都有 f( x)= f(x)，那轴对称；奇函数的图象关于原确定f( x)与f(x)的关系;若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0 或丄凶_ f ( x)若 f( x) = f(x) 或 f( x) + f(x) = 0 或 f(x) f( x)则f(x)是偶函数;

12、，则f(x)是奇函数.注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，f(-x) f(x)= 0或f(x) /f(-x)= 1来判定；(3)利用定理，或借助函数的图象判定. 奇函数的图像关于原点成中心对称，偶函数的图像关于y轴对称，反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 函数奇偶性的性质奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对 称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数在 x0处有意义，则f(0) 0 .故f(0) = 0是f(x)为奇函数的既不充分也不首先看函

13、数的定义域是(1)再根据定义判定；(2)由必要条件若f(x)为偶函数，则f(偶函数：f( x) f (x)奇函数：f( x) f(x)奇、偶函数的判定：定义法：步骤：定义域一定要关于原点对称, f(x)1，则为偶函数；满足f( x)f(x)f( x)若f (x) 0时，f(x) 0 时,-x) = f(x) = f(|x|).设(a,b )为偶函数上一点，则( 设(a,b )为奇函数上一点，则(a,b )也是图象上一点.也是图象上一点.a, b)满足f( x)f( x)f (x)，或f(x)，或 f ( x) f (x)f( x) f(x)0 ,，若1，则为奇函数。例如:y x3在1, 1)上

14、不是奇函数.图像法在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数 与奇函数的乘积是奇函数。15周期函数 定义：(若存在实数T (T 0)，在定义域内总有f x T f(x)，则f(x)为周期函数，个周期。 几个特殊的周期：f(x a) f (x),f(x a) f (x a) f(x a)f(x)的一个周期是T f (x)的一个周期是T f(x)的一个周期是TTf(x a)f (x a)f (x),f (x b),f (x b) , f (x)的一个周期是1帀1f (x)f(x)的一个周期是f (x)的一个周期是|a| 2|a| |a b| |a b|2|a|2

15、|a|又如：若f (x)图象有两条对称轴x a , x则f(x)是周期函数，若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则16图像的变换对称变换：y = f (x) y =f (x) y =f (x)b 即 f(a x)2|ab|为一个周期x=a对称，则f(x)是周期为2 I al的周期函数; x=a对称，则f(x)是周期为4 I a I的周期函数；f(a x), f(b x) f(bx)y轴对称X轴对称原点对称f(x)与若都有f a函数平移变换：函数y函数 到的;f(x)是周期为2|a b|的周期函数；(x)f

16、 ( x)f ( x)f(2a x)的图象关于 点(a, 0)对称f b x，那么函数y f x的图象关于直线x U对称；2x与函数y f b X的图象关于直线x 对称；2(a 0)的图象是把y fx的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；a (a0)的图象是把y fx的图象沿x轴向右平移la个单位得函数y fx+a(a 0)的图象是把y f X函数y f X +a(a 0)的图象是把y f x助图象沿 y助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；轴向下平移忖个单位得到的。保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象翻折变换：y= f(x) 7y= f(|x|)，去掉y轴左边图象保留X轴上方图象7y= |f

17、(x)|。y= f(x)把X轴下方图象翻折上去0 3 1 伸0A1 缩A1，伸17. 函数的解析表达式(1) 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.(2) 求函数的解析式的主要方法有：凑配法待定系数法换元法 消参法18. 函数最大(小)值(定义见课本p36页)禾U用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)利用图象求函数的最大(小)值禾U用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间a , b上单调递增，在区间处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间处有最小值f(b)

18、;19. 二次函数的三种表示形式(1) 一般式：y= ax2* bx+ c(a 丰 0)(2) 顶点式：y = a(x- m)2 + n(a丰0)其中(m，n)为图象顶点；(3) 两根式：y = a(x X1)(x X2)(a 和)，其中 X1，X2为方程 f(x)根，即为图象与X轴的两交点的横坐标.2 实系数一元二次方程ax bx c 0有实数解”转化为“b 4ac 0”，你是否注意到必须a 0 ；若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可 能为零的情形？例如：a 2x 2a 2 X 0对一切X R恒成立，求a的取值范围，你讨论了a= 2的情况了吗？“三个二次”(

19、二次函数、二次方程、二次不等式)的关系一一二次方程0，0时，两根X x2为二次函数y ax2 bx c的图象与x轴ax2bx c的两个交点,求闭区间m,b , c上单调递减则函数y=f(x)在x=bb , c上单调递增则函数y=f(x)在x=b2=ax + bx + c= 0(a 和)的两b24ac 0 ”也是二次不等式ax2 bx c 0 ( 0)解集的端点值。n 上的最值。 求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。(两次方程根的分布问题，抓住四点：“开口方向，判别式对称轴位置，区间端点函数值正负)20. 方程k=f(x)有解 k D(D为f(x)的值域);:f

20、(x):(1)分离参数法；(2)max,； af(x)恒成立 a恒成立问题的处理方法： 求解。第二单元一、指数函数1.根式的概念：一般地，如果xna，那么负数没有偶次方根;0的任何次方根都是x叫做a的n次方根，其中n 1,且0，记作0当n是奇数时，Van a ,当n是偶数时,(a(a0)0)2 .分数指数幕正数的分数指数幕的意义，规定:ma n Vam (a 0,m, n,n 1)0的正分数指数幕等于3 .实数指数幕的运算性质0,ma下0的负分数指数幕没有意义1=(a 0,m, n N疗,n1)r rr s(1) a a a4.指数函数及其性质(2) (a )rs/ I ra ; (3) (a

21、b)r sa a . (a 0,r,sR)1、指数函数的概念：一般地，函数yax(a 0,且a 1)叫做指数函数，其中 x是自变量, 函数的定义域为 R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和2、指数函数的图象和性质a10a0 时，y1;x0 时，0y0 时，0y1;x1.(5)在R上是增函数(5)在R上是减函数注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出:(1) 在a , b 上, f(X)(2) 若 X 0，则 f(x)aX(a 0且a 1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)；1 ； f (X)取遍所有正数当且仅当(3)对于指数函数f (X)二、对数函数ax(a0且a

22、1)，总有 f (1)1.对数的概念：一般地，如果 axN (a0,a记作：X loga N ( a 底数，N -真数，log；说明：注意底数的限制a 0，且a 1 ；1)，N -aX a那么数x叫做以a为底N的对数,对数式)N loga N 注意对数的书写格式.loga N两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数lg N ； 自然对数：以无理数 e且a 1 ,2 对数的运算性质：如果a 0 ,2.71828M 0,为底的对数的对数0，那么：lOga(M N) log a M +log a N ；loglog a M loga N ;loga M nn log a Mlogan loga n

23、 mlogam bn换底公式log a bYogamlog c blog c a0,且a利用换底公式推导下面的结论:loga b3.对数函数1、对数函数的概念：函数ylog a x(aalogaN1； c 0，且logb ac 1 ； b 0).0,且a 1)叫做对数函数，其中X是自变量，函数的定义域是(0, +8).2、对数函数的性质：规律：在第一象限内，自左向右， 图象对应的对数函数的底数逐渐变大.幕函数1、幕函数定义：一般地，形如 y X (a R)的函数称为幕函数，其中2、幕函数性质归纳.(1) 所有的幕函数在(0, +8)都有定义并且图象都过 点(1, 1);(2)0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间)上是增函数特别地，当1时，