常见辅助线作法

1、12 / 11辅助线的作法正确熟练地掌握辅助线的作法和规律， 也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法: 方法一：从已知出发作出辅助线:FMC例1.已知：在 ABC中, AD是BC边的中线，E是AD的中点,AC的交点，求证：AF=1FC分析：题设中含有D是BC中点，E是AD中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密2切联系的中位线，所以，可有如下 2种辅助线作法:（1）过D点作DN / CA，交BF于N，可得N为BF中点，由中位线定理得11DN=FC，再证 AEF DEN，贝U有 AF=DN，进而有 AF=FC221(2)过 D 点作 DM / BF,交 AC 于 M,可

2、得 FM=CM，FM=AF，则有 AF= FC2方法二：分析结论，作出辅助线例2:如图，AD是 ABC勺高，AE是ABC的外接圆直径,求证：AB- AC=AE ADAB AE分析：要证AB AWE AD，需证一淀AB ad(或=),需证 ABE sA ADC (或 ABD AEC ), AE AC这就需要连结BE （或CE），形成所需要的三角形，同时得 / ABE= / ADC=90 (或/ ADB= / ACE=90 0)又/ E= / C (或/ B= / E)因而得证。AD分别交于点MCB方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线A例3：过厶ABC的顶点C任作一直线，与边AB及

3、中线F和E;求证：AE： ED=2AF FB分析：已知D是BC中点，那么在 三角形中可过中点作平行线得中位线;若要出现结论中的AE : ED，则应有一条与EF平行的直线。所以，过 D点作AEDM EF交AB于M，可得EDAF 2AF，再证FM 2FMBF=2FM 即可。方法四：找出辅助线的一般规律,将对证题时能准助。例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线:(1)有弦，作“垂直于弦的直径”出所需辅助线有很大帮B0n例4:已知，如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 ABA小圆于 C D两点，求证：AC=BD分析：过0点作OEIAB于E,则AE=BE CE=DE 即可证得 AC=BD(2)有直

4、径，构成直径上的圆周角(直角)例5:已知：如图，以 ABC的 AC边为直径,作O0交BC BA于D E两点，且CD =DE , 求证：/ B=/ C分析：连结AD由于AC为直径，则有ADI BC又CD = DE，/ 2,由内角和定理得/ B=/ C(3)见切线，连半径，证垂直例6:如图，AB为O 0的直径，C为O 0上一点，AD和过C点有 / 1 =AB0的切线互相垂直，垂足为 D,求证：AC平分/ DAB分析：连结0C由于CD为切线，可知0CICD易证：/ 仁/ 2,又因为/ 2=/ 3,所以/仁/3,则可得AC平分/ DAB(4)证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”例7:已知，

5、直线 AB经过O 0上的一点，并且 0A=0BCA=CB求证：直线AB是OO的切线 分析：连结OC要证AB是O O的切线,需证OCLAB由已知可证 OAC OBCAE径,可得/ OCAh OCB=90结论得证。例 &已知,梯形 ABCD, AB/ CD /A=9d , BC是O O的直BC=CD+AB求证：AD是O O的切线分析：过O点作OE1AD,垂足为E, 要证AD是OO的切线，只要证 OE是O O的半径即可,也就是说需要证 OE=1 BC，由于/ A=90, AB/ CD可得AB/ CD/ OE再由平行OE=1(AB + CD) JbC ,2 22线等分线段定理得 DE=E A进而由梯形

6、中位线定理得所以E点在O O上, AD是OO的切线。（二）练习AD= DB AE= EC1、已知：如图，在 ABC中,求证：DE/ BC DE= -BC2A2、已知： 少图27.3.12所示, AD/ BCDAEBp 求玩/ EF/ BC,在梯形迅匹JE，DF= CF.BCCEN 1 (AD+3、已知：如图 27.3.13所示，在 ABC 中.AD=DB,BE=EC,AF=FC.c27.3.12图27 3.13F本图形与基 适当的辅助A C B 助大家现就圆中辅助线的常规作法分类总结如求证：AE、DF互相平分。c4、如图：已知：AB为O O的直径，弦CD丄AB , M为AC上一点，AM的延长

7、线交DC的延长线于F, 求证：/ AMDMFMC与圆有关的辅助线常规作法解析 与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何 本性质，题型的复杂程度可想而知。为此，常常需线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，下，供同学们学习时参考一一一、圆中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径）1解：过 A作 AHLBD于 H,则 BH=2BD=5cm。例1.如图，以Rt ABC的直角顶点 A为圆心，直角边 AB为半径的O A分别交BC AC 于点 D E,若BD=10cm DC=6cm求o A的半径。6 v BA! AC, /

8、CAB玄 AHB=90。又 v/ ABH玄 CBA ABHT /v I CBA - 營 AB 2BE =BH =X12 =8。 BC BH BD DChEH 13 5 =80m =, r =AB =y80 =4药術。P弦PN与AB相交于点M求证:例2.如图，AB是O O的直径，PO! AB交O O于点PM PN =2PO3例4.如图,AB是半圆的直径，C为圆上的一点，CD丄AB于D,求证：CD2 =AD BD。 v AB为直径，/ ADC玄 CDB=90 ,匹竺，即CD2CD BD评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地

9、将问题转化到直角三角形中进行解决。三、圆中有切线，常作过切点的半径例5.如图，已知MN为O O的直径，若PA=PM求/ A的度数。解：连结OP,设/ A的度数为X。1 证明：过O作OCL NP于点C,则PC =- PN。OPMMCPO 2/ OCL NP, PCL AB,./ POMM P CO=90。又v/P性（P,N即 OPMCPQ 巴=巴, po2 = PM.PC=PC POPM -PW 2Po评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间 的联系。二、圆中有直径，常作直径所对的

10、圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角）例3.如图，AB为半圆的直径， OHI AC于H, BH与OC交于E,若BH=12,求BE的长。 解：连结BCo厂1_OHbc12/ AB 为直径， AC 丄 BG 又 v OH! AC, AO=BO O - BC, 2C证明：连结AC、BC。 / ACB=90 , / 1+/ 2=90 。又v CD! AB, / 1 + / 3=90, / 3=/ 2, BCBA CAD =AD BD 。（若无切点，则过圆心作切线的垂线）AP是OO的切线，P为切点，点A在MN的延长线上,AOPMW M / POA= OPM/ M=2/ OHE/ CBE / HOE

11、/ BCE OH&A CBE -匮 BE/ M=2Z A=2x。又 AP切O O于点 P,. API OPA+Z POA=90，即 x+2x=90 ,x=30,./ A=30o例6.如图,AB为O O的直径,C为O O上的一点,AD和过C点的切线垂直/ 1 = / 2o证明：连结OC/ DC切O O于点 C,. OCL DC 又 ADX DC OC/ AD,仁Z 3。OA=OC. / 2=Z 3,.Z 仁Z 2o评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。四、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形（若题中有三角函数但无直角

12、三角形，构造直角三角形）例7.如图，点A B、C在O O上（AC不过O点），若Z ACB=60 ,AB=6,解：作直径AD,连结BDb解之得求证,垂足为D,DCA0则也需作直径/ ACB与/ D都是AB所对的圆周角，/ D=/ ACB=60。又: AD是直径，/ ABD=90 , ad=475 ,si nD sin 60例8.如图，在锐角 ABC中，若BC=a CA=b, AB=cbasinA si nB sinC证明：作直径=2R。CD连结BDCD为直径,CBD=90 , sinD =2DC 2Rasin A =sin D = 2R1 r =AD =23 o2 ABC的外接圆半径为DA0求证

13、:求O O半径的长。Bab=2R，同理可得=2R , sinAsi nBcsinC=2R，R又/ A=/ D,.a si nA si nB si nC评析：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。五、两圆相切，常作公切线（或者作两圆的连心线）例9.如图，O O和O Q外切于点 A, BC是O O和O Q外公切线，B、C为切点，求证：AB 丄ACo证明：过点A作OO与O Q的公切线 AM交BC于点M=/ MA和MB分别切O 0于点A、B,： MA=MB同理可得 MA=MC MA=MB=MC即点A、B、C同在以M为圆心，BC为直径的圆周上

14、，二 AB 丄ACo例10.如图，O A和O B外切于点 P, CD为O AO B的外公切线，与O B的半径分别为r和3r,求：CD的长；Z B的度数。解：连结AB,连结AC BD过点A作AE丄BD于Eo、 CD是O A和O B的外公切线， C D为切点， AC! CD BD丄CD。又 AE! BD,：四边形 ACDE为矩形，二 CD=AE DE=AC=r; =2R。、45 、 60、90。等特殊角或MO2BE=BD-DE=3r-r=2r o AB=r+3r=4r , CD =AE =Jab2 -BE2 =273r o0iO在OQ上，连A0,D BA0,将DE两边延长分别交 AB AC于M N

15、,（法二：图 1-2）延长BD交AC于F,廷长CE交BF于G,三角形的内角位置上，再利用外角定理:BE 2r 1 、在 RtAEB中， cosB=BE=2= , / B=60oAB 4r 2评析：在解决有关两圆相切的问题时，常常需作出两圆的公切线或连心线，利用公切线等性质来沟通两垂直于经过切点的半径、切线长相等、连心线长等于两圆半径之和（或差）圆间的联系。六、两圆相交，常作公共弦（或者作两圆的连心线）例11.如图，O O和O O相交于 A B两点，AD是O 0的直径，且圆心 结DB并延长交O Q于点C,求证：CO丄ADO证明：连结ABo/ AD 为O O 的直径，/ ABD=90 , / D+

16、Z BAD=90。又/ C和/ BAO都是O C2中BOi所对的圆周角，/ C=/ BAO,即/ C=/ BAD二/ D+Z C=90,. CO丄 AD。例12.如图，O O和O O相交于A、B两点，两圆半径分别为 6/2和4j3，公共弦AB的 长为12,求Z OAQ的度数。解：连结AB OQ，使之交于H点。 AB为O O与O O的公共弦，.连心线OQ垂直平分 AB,.AH=1AB = 6,. cogAH=2= , coNQAH =少上,2AO 6j2 2AQ 4/3 2/ OAH=45,/ QAH=30 , / OAQ=/ OAH+Z QAH=75。评析：在解决有关两圆相交的问题时，最常见的

17、辅助线是两圆的公共弦或连心线，公 共弦可以联通两圆中的弦、角关系，而连心线则垂直平分公共弦。全等三角形作辅助线的常用方法一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如:例1、已知如图1-1 : D E为 ABC内两点，求证：AB+AOBD+DE+CE.证明：（法一）在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,例如：如图 2-1 :已知 D为 ABC内的任一点，求证：/ BDCN可连接两点或小角处

18、于这个BAG分析因为/ BDC与/ BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使/ BDC处于在外角的位置，/ BAC处于在内角的位置;证法一：延长BD交AC于点E证法二：连接AD并廷长交BC于F注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如:例如：如图3-1 :已知AD为 ABC的中线，且/ 仁/ 2, / 3=/ 4,求证：BE+CFEF分析要证BE+CFEF,可利用三角形三边关系定理证明,须把BE, CF, EF移

19、到同一个三角形中，而由已知/仁/ 2,/ 3=/ 4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把 EN FN, EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取 DN=DB连接 NE NF,贝U DN=DC注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图 4-1:ABC的中线，且/ 仁/ 2,/ 3=/ 4,求证：BE+CFEFC图4 1证明：廷长ED至M 使DM=DE连接CM MR注意:当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段,

20、构造全等三角形,五、在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图 5-1 : AD为 ABC的中线，求证： AB+AC2AD分析要证 AB+AO2AD 由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD所以有AB+AC+BD+CD AD+AD=2AD左边比要证结论多 BD+CD故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明：延长AD至E,使DE=AD连接BE, CE（常延长中线加倍，构造全等三角形）使题中分散的条件集中。练习:已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF

21、=2AD八、截长补短法作辅助线。例如:求证:AB-AC PB-PC已知如图 6-1 :在 ABC中，ABAC /仁/ 2, P为AD上任一点分析要证：AB-ACPB-PC想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差,AN等于AC,故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC故可在AB上截取得 AB-AC=BN 再连接 PN 贝U PC=PN 又在 PNB中，PB-PNPB-PC证明:（截长法）在AB上截取 AN=A（连接PN证明:（补短法）延长 AC至M 使AM=AB连接PM七、延长已知边构造三角形:例如：如图 7-1 :已知 AC=BD AD丄AC于A , BC丄BD于B,求

22、证：AD=BC分析：欲证 AD=BC先证分别含有 AD, BC的三角形全等，有几种方案： ADC与 BCD AODWA BOC ABD与 BAC但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA CB,它们的延长交于 E点，（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 8-1 : AB/ CD AD/ BC求证：AB=CD分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必 须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC （或BD）九、有和角平分线垂直的

23、线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1 :在 Rt ABC中，AB=AC / BAC=90求证：BD=2CE仁/ 2，CE1BD的延长于E。F分析要证BD=2CE想到要构造线段 2CE同时CE与/ ABC的平分线垂直，想到其延长。证明：分别延长 BA CE交于F。十、连接已知点，构造全等三角形。顶角例如：已知：如图 10-1 ； AC BD相交于 0点，且AB=DC AC=BD求证：/ A=/ D。分析：要证/ A=/ D,可证它们所在的三角形 ABD和 DCO全等，而只有 AB=DC和对两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB=DCAC=BD如连接BC则

24、ABDn DCO全等，所以，证得/ A=/ Db证明：连接 BC 在 ABCn DCB中取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1 : AB=DC / A=/ D 求证：/ ABC=Z DCB分析：由AB=DC / A=/ D,想到如取 AD的中点N,连接NB, NC,再由 SAS公理有 ABNA DCN 故 BN=CN/ ABN2 DCN 下面只需证/ NBC=/ NCB再取BC的中点M,连接 MN则由SSS公理有 NBM NCM所以/ NBC=/ NCB问题得证。证明：取 AD BC的中点N、M连接NB NM NC图 111梯形问题中的辅助线1、连结对角线例1 如图1 ,梯形ABCD中

25、，AB / CD, AD = BC ,延长AB使BE = CD，试说明 AC = CE.解：如图1 ,连结BD ,由口BDCE可证得BD = CE,由等腰梯形E图1性质得AC = BD，所以AC = CE.2、平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个平行四边形和一个三角形如图 2,梯形 ADCB 中，AB / CD, AB = 2cm,CD = 8cm，AD = 4cm，求BC的取值范围.解析:过点B作BE / AD，交CD于点E，则四边形ADEB是平行四边形，可知BE = AD = 4cm， DE = AB = 2cm.D 14 / 11图3于是 EC = CD DE =

26、 8 2= 6cm.在 ABC 中，EC BE BC EC+ BE，所以 2cm BC 10cm.3、平移两腰，将两腰转化到同一个三角形中C例3 如图3,在梯形 ABCD中，AD / BC，/ B + / C=90 , E、F 分别为 AD、BC 的中点，BC = 8, AD = 4，试求EF.解：过点 E 分别作 EM / AB , EN / CD，交 BC 于 M、N，则/ EMF = / B，/ ENF =所以/ MEN = 90, AE = BM , DE = CN，所以 MF = NF,111所以 EF = - MN = - (BC AD) = - (8 4) = 2.2224、作梯

27、形的高，即从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形例4 已知，如图4,梯形ABCD 中,AD / BC，/ B = / C = 45,梯形 ABCD是等腰梯形吗?图4解：过点A作AE丄BC于点E,过点D作DF丄BC于点F,则/ AEB = / DFC = 90, AE = DF,又/ B = / C= 45 .于是 ABE与 DCF能够完全重合，即 AB = CD.5、延长两腰，即延长两腰交于一点，得到两个三角形例 5 如图 5,梯形 ABCD 中，AD / BC, AD = 5, BC = 9, / B= 80 , / C= 50 .求AB的长.解：延长BA、CD交

28、于点E,因为AD / BC ,所以/ ADE =/ C= 50 .图5因为/ E = 180/ B / C= 50所以/ E = / ADE =/ C.所以 AE = AD = 5, BE = BC = 9.所以 AB = BE AE = 9 5= 4.6、平移对角线，即过底的一个端点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中例6 如图6所示，在梯形 ABCD中，上底AD = 1cm,下底BC =4cm,对角线BD丄AC ,且BD = 3cm, AC = 4cm.求梯形ABCD的面积.解:过点D作DE / AC交BC的延长线于点 E,因为在梯形CD 中,图3AD / BC ,所以四边形 ACED是平行四边形则AC = DE , AD = CE.又因18 / 11同高，且梯图7为AC丄BD ,所以BD丄DE ,即 BDE是直角三角形.因为 BDE与梯形 ABCD形 ABCD 中 AD + BC = BC + CE= BE ,1 2 所以 S 梯形 ABCD = $ bde= - X 2 X 4= 6(cm ).27、利用中点，割补三角形如图7,梯形ABCD