完整word版阿氏圆问题归纳

1、阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆（阿波罗尼斯圆）为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要 .具体内容如下:阿氏圆定理（全称：阿波罗尼斯圆定理），具体的描述：一动点 P到两定点A B的距离之比等于定比n（工1），则P点的轨迹，是以定比n内分和外分定线段 AB的两个分点的连线为直径的圆. 称阿氏圆.定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型 .这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,该圆称为阿波罗尼斯圆，简PA+kPB （k 丰 1）P3PA+kPB,（k丰1）P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法

2、：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系 xOy中，在x轴、y轴分别有点C（m, 0） , D（0, n）.点P是平面 内一动点，且 OP=r,求PC+kPD的最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹 （圆），以点略这一步）第二步：第三步：第四步：第五步：第六步：O为圆心、r为半径画圆；（若圆已经画出则可省连接动点至圆心O（将系数不为1 计算出所连接的这两条线段 OP 计算这两条线段长度的比 k;在 OD上取点 M,使得 OM:OP=OP:OD=k连接 CM与圆O交点即为点P.此时CM即所求的最小值.的线段的固定端点与圆心相连接 ），即连接OP ODOD长度；【补充：若能直接

3、构造相似计算的，直接计算，不能直接构造相似计算的，先把k提到:括号外边，将其中一条线段的系数化成1丄，再构造相似进行计算k】习题【旋转隐圆】如图，在Rt ABC中，/ ACB=90 , D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4, BC=3那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是 .1.Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=4 BC=3 点 D为 ABC内一动点，满足CD=2 贝U AD+- BD3的最小值为.2.如图，菱形 ABCD的边长为2，锐角大小为60,O A与BC相切于点E,在O A上任取一点P,则J3P B+亠

4、PD的最小值为2J止第2题,圆B的半径为2, P为圆3. 如图，已知菱形 ABCD勺边长为4, / B=601-PC的最小值为.24. 如图，点 A, B在O O上, OA=OB=12,OA_ OB点C是OA的中点，点 D在OB上，OD=10.动B上一动点，贝y PD+点P在OO上，贝U PC+PD的最小值为27.如图,边长为4的正方形，点 P是正方形内部任意一点，且BP=2贝U PD+1 PC的最小值2;J2p D+4 PC的最小值为8.在平面直角坐标系 xOy中，A（2，0），B（0,2），C（4，0），D（3，2），卩是 AOB外部的第一象限内一动点，且/ BPA=135 ,贝y 2PD

5、+PC的最小值是 .9.在 ABC中，AB=9 BC=84为半径作O C.10.如图，在 Rt ABC中，/ A=30 AC=8,以C为圆心，试判断O C与AB的位置关系，并说明理由；点F是O C上一动点，点 D在AC上且CD=2试说明 FCCH ACF点E是AB上任意一点，在(2)的情况下，试求出 EF+FA的最小值.4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+- PC的最小值和2(2)如图2,已知正方形2么PD+ PC的最小值为31PD-丄PC的最大值；2ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那2, PD- PC的最大值为 .3如图3,已知菱形 ABCD的边长

6、为4,/ B=60,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个 动点，那么PD+1 PC的最小值为2,PD- PC的最大值为212.问题提出：如图图21，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , CB=4, CA=6 O C半径为 2, P 为圆上1一动点，连结 AP、BP,求AP+丄BP的最小值.22，连接CP在CB上取点(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图CD CP 1PD 1D,使 CD=1,则有二_,又/ P CD2 BCP P CD BCP zCP CB 2BP 211 PD=_BP,.AP +BP=AP+PD22请你完成余下的思考，并直接写出答案:ap+1bp的最小

7、值为2自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下,-AP +B P的最小值为3(3)拓展延伸：已知扇形2PA+PB的最小值.COD中,/ COD=90 , OC=6 OA=3 0B=5,点 P是弧 CD上一点，求36【二次函数结合阿氏圆题型】(a丰0)与x轴交于点 A (4, 0)，与y轴交于点B,在13.如图 1,抛物线 y=ax2+(a+3)x+3x轴上有一动点E ( m 0)( 0 m 4),过点E作x轴的垂线交直线 AB于点N,交抛物线 于点P,过点P作PML AB于点M(1)求a的值和直线AB的函数表达式；，求 m的值;5设PMN勺周长为C1,A AEN的周长为C2,若CC2如图2,

8、在(2)条件下，将线段 0E绕点0逆时针旋转得到 0E，旋转角为a( 0a 90 )，连接 E A、E B,求 E A+2E B 的最小值.问题背景： 问题初探： 问题再探： 问题解决:如图1,在 ABC中，BC=4,请写出任意一对满足条件的如图2,在AC右侧作/ CAD=/ B,交BC的延长线于点 D,求CD的长. 求 ABC的面积的最大值.AB=2ACAB与AC的值：AB=,AC=DC91.小明的数学探究小组进行了系列探究活动.类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形.探索理解：(1)如图1，已知A、B C在格点(小正方形的顶点)上，请你协助小明用两种不

9、同的方法Q 如图2,邻等四边形 ABCD中, AD=CD/ ABC=120 ,形ABCD的面积.解决应用：如图 3,邻等四边形 ABCD中, AD=CD/ ABC=75 , / ADC=60 , BD=4小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图 条件的邻等四边形，要求尽可能节约.你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能, 出此时四边形 ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由./ ADC=60 , AB=2, BC=1,求四边3请求2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.(1)如图1,在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是 “等邻边四边形”.ac=/2出你添