完整版二元一次方程组知识点整理

1、第五章二元一次方程组知识点整理1知识点1:二元一次方程（组）的定义1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程注意：1、（1）方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数含有未知数的项的次数都是1.（3）二元一次方程的左右两边都必须是等式.（三个条件完全满足的就是二元一次方程）即若axm+by n=c是二元一次方程，则 a丰0, b丰0且2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为m=1, n=1已知（a- 2） X by|a| 1= 5是关于X、y的二元一次方程，则下列方程为二元一次方程的有2x5 y， x 41, xy2，2x

2、 y 3， x2，1xy 2x y 2，一 y 7x3x2y， a b c 1【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（2A. 3x-y =02 1B. + =1x yC.x 5-y=63 24xy=32、二元一次方程组的概念1。方程组中每个方程均为整式方程。由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组 注意：方程组中有且只有两个未知数。方程组中含有未知数的项的次数为例：下列方程组中，是二元一次方程组的是A、x y 42x 3y 72a 3b B.5b 4c11C.D.【巩固练习】1，已知下列方程组:(1)3y22x3x2,(3)其中属于二元一次方程组的个数为（C.B. 2卄3m1、右X-

3、3n 3m5y7是关于X、y二兀一次方程，则m=知识点2:元一次方程组的解定义般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。类型题1根据定义判断例：方程组2x2的解是（4xB.D.C.y【巩固练习】y m 1满足方程2x0,则2、下面几个数组中，哪个是方程7x+2y=19 的一个解（）。A、B、c、类型题2已知方程组的解,而求待定系数。此类题型只需将解代入到方程中,求出相应系数的值，从而求代数式的值x 一 2例1:已知是方程组y 13mx 2y 1的解，则m2- n2的值为4x n y 72例2:若满足方程组3xkx2y(2k4的X、y的值相等，则k

4、=1）y 6【巩固练习】2xy2kx(k3x4yaxb -y1、若方程组2、若方程组1)y，类型10的解互为相反数，则k的值为ax by 43有相同的解，则a=2x y 5列方程组求待定字母系数是常用的解题方法.,b=1例:a+ b的值为1都是关于X、y的方程ax+ by = 6的解，则3例:关于x,y的二元一次方程 ax+ b = y的两个解是【巩固练习】如果xy21是方程组:bycyA、a+ 4c= 2B、4a+ c= 22 一，则这个二元一次方程是10的解,1那么，下列各式中成立的是（）C、a+4c+ 2= 0D、4a + c+ 2 = 0知识点3 :二元一次方程组的解法方法一：代入消元

5、法【典型例题】 例2x 7y 83x 8y 100我们通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个 一元一次方程 来解，这种解法叫做 代入消元法。用代入消元法解二元一次方程组的步骤:从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来把（1 ）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值从而确定方程组的解把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值,【巩固练习】1，方程 x 4y15用含y的代数式表示，x是（A. x 4y 15B. x 15 4yC. x 4y 154y 152、把方程7x 2y

6、15写成用含x的代数式表示y的形式，得（A. x=77B.x15x 2y7C.y 7x 15D.y157x3、用代入法解方程组2x 5yx 3y21较为简便的方法是（）A 先把变形B.先把变形C.可先把变形,也可先把变形D 把、同时变形方法二：加减消元法x例:对于方程组：2xy 20y 40?利用这种关系你能发现新的消元方法吗?分析：这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系?解：得，2x yx y 40 2218,把x 18代入得y所以x=18定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别 相加减，就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程这种方法 叫做加减消元法

7、，简称加减法。，所以我们只要将两式,?就可以消去未知数,2m 3n 1例1、方程组5m 3n 4中，n的系数的特点是化成一个一元一次方程，达到消元的目的.例2、用加减法解 3x 4y2x 3y1时，将方程两边乘以6,?把方程两边乘以，可以比较简便地消去未知数【方法掌握要诀】用加减法解二元一次方程组时，两个方程中同一个未知数的系数必须相同或互为相反数，？即它们的绝对值相等.当未知数的系数的符号 相同时，用两式相减；当未知数的系数的符号 相反时，用两式相加。方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等;把两个方程的

8、两边分别 相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;解这个一元一次方程;将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.【巩固练习】1、用加减法解方程组3x 2y2x 3y6时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是(9x4x6y 66y 2(1 ) ( 2)4x 6y 184x6y4x 6y 24x6yB. (2) ( 3)C.(3)(4)186x 4y 126x 4y 3D. (4) (1)2x对于方程组3x3y 5而言，你能设法让两个方程中4y 33x的系数相等吗？你的方法是2、两个方程中y的系

9、数互为相反数，你的方法是3、用加减消元法解方程组2x 3y3y5正确的方法是()A.得2x 5B.得3x 12C.得3x 7D.先将变为x 3y 7，再得x 2以下教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例 1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得 x-y=-1(可以作为培优学生的拓展)把代入(1)得 13(y-1)+14y=41x=y-1(3)13y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入得x=1 所以:x=1, y=2特点:两方程相加减，单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例 2,(x+5)+(y-4)=8(x

10、+5)-(y-4)=4令 x+5=m,y-4=n 原方程可写为m+n=8m-n=4所以 x+5=6,y-4=2 所以 x=1,特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的(三)另类换元例 3,x:y=1:45x+6y=29令 x=t, y=4t方程2可写为:解得 m=6,n=2y=6x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。5t+6*4t=2929t=29t=1所以 x=1,y=4知识点4:实际问题与二元一次方程组列二元一次方程组解应用题 的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即:(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数;找：

11、找出能够表示题意两个相等关系;列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组;(4)解：解这个方程组，求出两个未知数的值;答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题:,用图便于理(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段解与分析。其等量关系式是：两者的行程差=开始时两者相距的路程;丽墜时间醴 路程=遠冥时ra. 时间.速度相遇问题 相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图 帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程

12、之和=总路程。(3)航行问题：船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；船在静水中的速度-水速=船的逆水速度;顺水速度-逆水速度= 2X水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2 .工程问题：工作效率X工作时间=工作量.3 .商品销售利润问题:(1)利润=售价一成本(进价);(2)进价；(3)利润=成本(进价)X利润率;标价=成本(进价)x(1 +利润率);实际售价=标价X打折率；打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)4 .储蓄问题:利息=本金X利率X期数本息和=本金+利息=本金+本

13、金X利率X期数=本金X （1 +利率X期数） 利息税=利息X利息税率=本金X利率X期数X利息税率。税后利息=利息X （1 -利息税率）。5.配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。6 .增长率问题:解这类问题的基本等量关系式是：原量X（1 +增长率）=增长后的量；原量X （1 减少率）=减少后的量.7 和差倍分问题:解这类问题的基本等量关系是：较大量=较小量+多余量，总量=倍数X倍量8.数字问题:解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n +1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数

14、的基本等量关系式为：两位数=十位数字卞10+个位数字9 .优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等, 般都要运用方程解答，得出最佳方案。经典例题透析类型一：列二元一次方程组解决行程冋题1小时20分相遇.相遇后，例：甲、乙两地相距 160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回， 在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?举一反三：【变式1】甲、乙两人相距 36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇

15、；如果乙比甲先走 2小时，那么他们在甲出发 3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米?类型二：列二元一次方程组解决工程问题例：一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元?（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需 24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少?6周完成需工钱 5.2万元；若甲公司单举一反三：【变式3】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万

16、元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由类型七：列二元一次方程组解决和差倍分问题例：有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%乙商品的利润率为 4%共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为 4%乙商品的利润率为 5%共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元?举一反三：【变式4】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利 6万元，其进价和售价如下表:进价（元/件）AB12001000售价（元/件）13801200（注：获利=售价一进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件;类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题例：小明的妈妈为了准备小

17、明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱?（利息所得税=利息金额X 20%教育储蓄没有利息所得税）举一反三：李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元已知两种储蓄年利率的和为 3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额X 20%类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题例：某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣

18、袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?举一反三：【变式7】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做 8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子?类型六：列二元一次方程组解决增长率问题例：某工厂去年的利润（总产值一总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了 10%,今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？【变式10】某城市现有人口 42万，估计一年后城镇人口增加0.8%农村人口增加1.1%这样全市人口增

19、加 1%求这个城市的城镇人口与农村人口。例：“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？ 举一反三：【变式11】(2011年北京门头沟区中考一模试题)“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议.号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六 20时30分一21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的

20、活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.类型八：列二元一次方程组解决数字问题例：一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23;这个两位数除以它的各位数字之和，商是5,余数是1 ,这个两位数是多少？举一反三：【变式12】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？类型九：列二元一次方程组解决浓度问题例：现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3 : 7,乙种酒精溶液的酒精与水的比是4 ： 1,今要得到酒精与水的比为3 : 2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？举一反三：【变式14】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少?类型十：列二元一次方程组解决几何问题例：用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？举一反三：【变式16】一块矩形草坪的长比宽的2倍