数列中不定方程问题的几种解题策略

1、数列中不定方程问题的几种解题策略王海东（江苏省丹阳市第五中学，212300）数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考 中占有极其重要的地位.数列中不定方程的整数解问题逐渐成为一个 新的热点，在近年来的高考模拟卷中，这类问题屡见不鲜，本文中的 例题也都是近年来大市模考题的改编.本文试图对与数列有关的不定 方程的整数解问题的解法作初步的探讨， 以期给同学们的学习带来帮 助。题型一：二元不定方程 双变量的不定方程，在高中阶段主要是 求出此类不定方程的整数解，方法较灵活，下面介绍3种常用的方法。方法1.因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘 积，多项式分解为若干个因式的乘积，

2、再由题意分类讨论求解。题1 （2014 浙江卷）已知等差数列an的公差d 0.设an的前n项和为Sn, a11 , S2 S3 36. (1)求 d 及 Sn； (2)求 m k(m k N)am 1 am 2 am k 65 -(2)由(1)得 an 2n 1,Sn n2(n N)(k 1) 2m 1 2m 2k 1am am 1 am 2am k解析（1）略2所以(2m k 1)(k 1)65，由 m, k N知 2m(2m k 1)(k1)-2m k 113 比m 565 13 5 1 65，故 k 1 5 所以 k 4点评本题中将不定方程变形为 2m k 1 k 113,因为分解方式是

3、唯一的，所以可以得到关于m,k的二元一次方程组求解。方法2.利用整除性质 在二元不定方程中，当其中一个变量很好分 离时，可分离变量后利用整除性质解决.题2.设数列的通项公式为2n 1，问：是否存在正整数t，使得bn 2n 1 t成等差数列若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.解析：要使得b,b2,bm成等差数列，则2b2 b, bm即：2仝3 t 1 t 2m 1 t m,t N，二 t只能取 2, 3, 51 2m 1日仃c 4 即：m 3t 1当t 2时，m 7 ；当t 3时，m 5 ；点评本题利用t表示m从而由3占得到占是整数，于是t1是4的约数，从而估计出可能的所有取值，再逐一

4、检验即可，当然，本 题也可以利用m表示t来处理.方法3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的n型，利用m的范围,范围或等式一边的范围，再分别求解。如转化为f m g g n的上界或下界来估计f m的范围，通过解不等式得出再一一验证即可。P q），使q）;若不存题3 :已知bn斗，试问是否存在正整数 p,q （其中13b1，b p,bq成等比数列若存在，求出所有满足条件的数组（P, 在，说明理由.I 1 _q3P 33q 2 ）为递减数列，解析：假设存在正整数数组（P, q），使成等比数列，则2PP 2时，晋啟 事231P4),存在一个各项及公差均不为零的等差数列bl b，bn，

5、其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.y 15 1 Mz 1（X Z 2y）dd2yz解析：假设对于某个正整数 n,存在一个公差为d的n项等差数列 bi,b2,bn，其中bx i,by i,bz 1 ( 0 x y z n 1 )为任意三项成等比数 列，则b2y1bx1bz1,即(b1yd)2(b1xd)(b1zd),化简 得(y2 xz)d2 (x z 2y)dd(*)xz与x z 2y同时为0或同时不为02y同时为0时，有x y z与题设矛盾. 22y同时不为0,所以由(*)得dy xzd x z 2yn 1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数,0知，XZ与xXZ与X由b1d当y2故y2 因为Oxy从而直为有理数.d于是，对于任意的正整数n(n 4)，只要a为无理数，相应的数列就是d满足题意要求的数列.如题7中的数列bn n 42就是满足题意的数列。上面给出了数列中不定方程的常见解题策略， 这些策略有一个共 同的特征，就是对等式两边适当的变形选择等式一边的特征进行解 题，如整除的性质，范围上界或下界，因数分解的形式，是否为有理 数