数列通项公式的十种求法

1、名师推荐精心整理学习必备数列通项公式的十种求法一、公式法2=2，求数列an的通项公式。例1已知数列an满足an半=2an + 3x2n，解: an+=2an +3x2n两边除以2n*，得尹以ai“=2=1为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式,21 2 2盼an，故数列*是22n得空=2n1+(n-1)|，31所以数列an的通项公式为an = ( n - )2“。22评注：本题解题的关键是把递推关系式an十=2an+3x2n转化为銅是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出an2nan=1 +(n-1)-，进而求出数列2n 23，说明数列2an的通项公式。二、累加法 例2已知数列

2、%满足anH1 =an +2 n+1,耳=1，求数列a.的通项公式。解：由 an+=an+2n+1 得 an+-a2n+1 则an =(an -an) +(anan/) +il|+(a3 -a2)+(a2 -a,)+ai=2 (n-1)+1+2 (n- 2)+1+川 +(22+1)+ (21+1) + 1 =2( n-1)+( n- 2)+川 +2+1 + ( n-1)+1 =2心2+(-1)+1= (n- 1)(n+1)+1=n22 所以数列an的通项公式为an = n。评注：本题解题的关键是把递推关系式a =an +2n+1转化为a -a 2n + 1，进而求出(an-anJ 中(an4a

3、nJ+lll + (a3-a2)+(a2-a1)+a1，即得数列 何的通项公式。例3已知数列an满足an =an +2x3n +1, a1 =3，求数列aj的通项公式。an=an+2x n + 3 得 1an屮一an = 2x3n+1an =(an - an 丄)+(an J - an2)+ 11 + (a3 - a2 ) + (a2 - a1 ) + a1= (2x3n+1)+( 2x32 +1) +川 + (2x32 +1)+( 2X31 +1) + 3=2(3山 +3n/ +川+32 +31) +(n -1)+3(n-1) + 3= 23 +1-3=3n _3 +n -1+3+ n 1所

4、以an=3n +n1.评注：本题解题的关键是把递推关系式an + = an + 2 X 3n +1转化为ann，- an = 2咒3n +1，进而求出an =(an an)+(anan+111 + a2)+2 a,) + ai，即得数列 佝的通项公式。例4 已知数列an满足a卄=3an +2x3n +1,=3，求数列an的通项公式。解: an+=3an +2天3n +1 两边除以 3n*，得 二显+13333n41 ，则3, =3 +产，故an / an anj./an4 anJ2j_/an/ an 、丄 i u 丄厂(厂訂+(兀尹)+(产戶+川+丄)+(?) +(? +!) +川 +(Z +

5、 丄)+ 33n) (3 3 (3 32，(3 32) 3十讣仔十是十了1十川十卡十133333=(|2(n-1)丄(1 -gn J) 因此 an = 2l+i3n 31-3nJ+仁2+丄32 2x3n+旦3211则 an=|W3n+-3二评注：本题解题的关键是把递推关系式an出=3an +2X3n +1转化为；：-；：进而求出兽巽)+(巽-弄)+(耗予)+川，即得数列刖的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。三、累乘法例5已知数列an满足an半=2( n+1)5吸an, a =3，求数列a.的通项公式。解:a因为 an+ =2(n+1)5帳an, 4=3，所以 a0 ,则 亠=2(n+1)

6、5n，故anananril 邑皂 aian_2a2 ai=anan A=2(n 1 +1)522( n -2 + 1)5HII 2(2 +1)522(1 +1)咒51%3 = 2nFn(n-1) 411 3x2x52WfE妆 3n(n)= 3x2宀n!n(n-1)所以数列an的通项公式为an =3咒225丁咒n!.评注：本题解题的关键是把递推关系4=2(n+1)Fxan转化为 益 =2(n + 1)5n，进而求an出旦-a 4，吐州 电 皂.a1，即得数列an的通项公式。an -2a2 a1(全国I第15题，原题是填空题)已知数列 aJ满足a1 -1,an =ai+2a2+3a3n -Da门工

7、2)，求 佝的通项公式。解：因为 an =4 +2a2+3a3+111+(n- 1)an(n2)所以 an+=ai +2a2 +3a3 +|i|+(n-1总4 +nan用式一式得an十一an = nan.则 an+ =(n+1)an(n2)an=n +1(n 2)所以ananan1 u a3an!anan_2a2anW a2，从而可得当n 3 2时，an的表达式，最后再求出数列的an_2a2由 an =印 + 2&2 +3&3 + 111 + (n 1)an(n 2),取n =2得a2 = a2a2，则 a2 = a1,又知n Iai =1，则 a1，代入得 an =1 3 4 5 川 m =

8、。2所以，an的通项公式为an =旦2Oan评注：本题解题的关键是把递推关系式an出=(n+1)an(n2)转化为上1 =n +1(n2)，通项公式。四、待定系数法例7已知数列an满足an十=2an +3x5n, a6，求数列牯的通项公式。解：设 an十 +xx5n =2(an +xx5n)将an十=2an +3x5n代入式，得 2an +3x5 +xx 5n* = 23.+ 2c咒5*，等式两边消去2an，得3 T + X =去 5两边除以5n，得3 + 5x = 2x贝U x = 1代入式得n*han + _5十=2(an -5“)由651 =6-5=1 HO及式得an5nH0，贝U时=2

9、，则数列an5n是以an-56 -51 =1为首项，以2为公比的等比数列，则 an -5n =2n4，故an =2 +5n 。评注：本题解题的关键是把递推关系式an十=2an + 3X5n转化为 可十-5n =2(可-5n),从而可知数列an-5n是等比数列，进而求出数列 an-5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。例8已知数列an满足an出=3an +5x2n +4, a =1，求数列an的通项公式。解军：设 an卡 +xx2n+ + y =3(an +xx2n + y) 将an专=3an +5x2n +4代入式，得 3an +5x2n +4 + xx2n* +y = 3(an +x

10、x2n + y)整理得(5+2x)x2n +4 + y =3xx2n +3y。令p+2x=3x，则x=5，代入式得4 + y=3yy = 2 an+ +5x2n +2=3(an +5x2n +2)由耳+521 +2=1+12=13工0及式,na 丄 +5X 2n* +2得 agg0，则；+5炮+2 =3故数列an +5咒2n +2是以a + 5X21 +2=1 +12=13为首项，以3为公比的等比数列,因止匕 an + 5X2n + 2=13x3，贝H an =13x3n1 5咒 2n-2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an+ =3an +5% 2n +4转化为 an+5x2n*+2 =3

11、(an+5x2n+2)，从而可知数列 佝+5咒2+2是等比数列，进而求 出数列an +5x2n +2的通项公式，最后再求数列 aj的通项公式。例9已知数列an满足an4 =2an +3n2 +4n +5, a =1，求数列aj的通项公式。解：设 an+ +x(n +1)2 + y(n +1) + z =2(an +xn2 + yn + z) 2将an+ =2an +3n +4n+5代入式，得2 2 22an+3n +4n +5+x(n+1)+y(n + 1) + z = 2(an+xn +yn+z)，则2 22an+(3+x) n +(2x + y+4 )n +(x + y+ z+5) =2a

12、n+2x n +2y n + 2z等式两边消去 2an，得(3 + x)na1+3x1 +10x1+18=1+31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此 +(2x + y +4)n + (x + y + z+5) = 2xn2 +2yn + 2z ,x=33 + x = 2x解方程组2x + y +4 =2y ，则0, an十 0。在 an41=2x3nxa5式两边取则 a.半+an +3n2 +10n+18=32x2n，贝U an =2n* -3n2 -10n-18。评注：本题解题的关键是把递推关系式an+=2an+3n2+4 n+5转化为 an+3( n+1)2 +10( n+ 1)+1

13、8=2(a n +3n2 +10 n+18)，从而可知数列(n+1) +10(112，故数列 an +3n2 +10 n+18为以常用对数得 Igan 十=5lg a. + nlg3 +Ig2设 lgan+x(n+1) + y =5(lg axn + y)将式代入 (11式，得5lgan + n Ig 3 Ig 2x n什 1)y= 5ag+xn + y，两边消去Ig3x =4Ig3 Ig25 lgan 并整理，得(Ig3 +X)n + x +y + lg 2 =5xn +5y，则1g3+x=5x 丄 阳，故VX + y+lg2=5y|y=工+亠I 164込、厂、Ig 3Ig 3 Ig 2Ig

14、 3 Ig 3 Ig 2 厂、代入 式，得 Igan.-g4(116g4 5(Iga4 比6 异4) 由Igai中也丨+昼3+也2=Ig7+也1+必+也2 H0及式,41644164得 IganJg3nJg3Jg2H0，4164Iganjn+1)+13 +晋贝 y416L =5Igan+也n+也+也 八 4164所以数列Igan+朋n+W是以Ig7 + /+也+咗 为首项，以5为公比的等41644164比数列，则 Igan+也n+g+Ig2=(Ig7+/+/+P2)52，因此41644164Igan=(Ig7+竽+譬+弩)5=罟n 一罟-晋41644641 1 1 1 1= (lg7+lg34

15、 +Ig36 +2)523 Ig316 -Ig24111n 11= lg(7 34 3 右旷-lg(34 撐 刁)1 丄 1n 丄 1= lg(7 34 3忆 24)5n4lg(34 3 24)5n 丄-n 5nT 5n-J-= lg(75n4 3 43甘 2 4)5n4n45丄4= lg(75nr3 2)5n 4n45n丄4则an =75.亠天3 16咒2丁。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an+ = 2咒3n X an转化为Ig3Ig 3 Ig 2Ig 3 Ig 3 Ig 2Igan. + 9 (n +1)+十耳=5(Igan+ 门+耳+)，从而可知数列卡 41644164I

16、g 3 Ig 3 Ig 2Ig 3 Ig 3 Ig 2Ig an +卫一n+d+卫一是等比数列，进而求出数列 Ig an +主一n +旦+乩的通项41644164公式，最后再求出数列an的通项公式。六、迭代法例11已知数列an满足an+= a3(n彬;a =5，求数列%的通项公式。解：因为an十a,，所以an=a3nrr 3(n)2n-,3n2n-= a232(n4)n2(n 虫华 d= an_2I- 3(n_2) 2n2,32(n)n 刃2*卫=an J333(n_2)(n4n 2(n3卡自半d= anj3=IH3丄2 3|川|的_2) (n)n 21单北勻十2如“ =aiMnll3nn!

17、2 2 =6即先将等式兔啡=&3(宀2又q =5，所以数列an的通项公式为aIg an+ =3(n +1)2n，再由累乘法可推知评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。两边取常用对数得Iga时=3(n+1)x2nx|gan,即Ig anIgan 占Ig an 4Igan4 川 IgaIg anIg a2罟 lgai=lg53f2Ig ain(n_1)2n(nJ)3n n! 2-，从而 an =52。七、数学归纳法例12已知数列 an满足 an4t = an十8( n+1)2 2 ?(2n +1)2(2 n+3)2ai8,求数列an的通项公式。9解：由 an+ =an +8(n

18、0(2n +1)2(2 n +3)82及aiH，得8(1+1)88x224(2d+1)2(2x1 +3)29 9x25258(2+1)a = a2 +22(2x2+1)2(2 x2+3)28(3+1)24 + 8x325 25x494849a a3 +22(2 咒 3 +1)2(2 咒 3 +3)248 8x4=+ 49 49x818180由此可猜测an二册1，往下用数学归纳法证明这个结论。）当2时，3=唱帝=9，所以等式成立。假设当n=k时等式成立，即a-（2（2kl121，则当n1时,ak 十 ak+8叮 J2(2 k +1)2(2k +3)2(2k+1)2-1 亠 8(k+1)+ 2 2

19、 2(2k+1)2(2k+1)2 (2k+3)2(2k+1)2 -1(2k+3)2 +8(k+1)(2 k +1)2(2k+3)2(2k +1)2(2k +3)2 -(2k +3)2 +8(k +1)(2k +1)2(2k +3)2 (2k + 1)2(2k+3)2 -(2k+1)2(2k + 1)2(2k +3)2(2k +3)2 -1(2 k+3)22( k +1)+12 -1 2( k +1)+12由此可知，当n =k +1时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何 n亡N都成立。n项，进而猜出数列的通项评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 公式，最后再用数学归

20、纳法加以证明。八、换元法1 例13已知数列an满足an= (1+4an +j1+24an), 6=1，求数列an的通项公式。 161解：令 心；，则 a-(bn1)故 an+ = 1 应+1)，代入 an+ = 1 (1 +4an + J1 + 24an)得2416却“1)诂WWl+bn 即 4b2i =5 +3)2因为 bn = Jl+24an 刃，故 bn+ = Jl+24a 013则 2bn+=bn +3，即 bn+ = 2b2，1为公比的等比数21= (-)2+3，得可化为 bn+3=2(bn-3)，所以bn -3是以 d -3 = J1 +24印-3 = 71+24x1 -3 = 2

21、为首项，以1 1 1 列，因此 bn -3 =2()2 =( )2，则 bn =()2+3，即 / + 243.2 22 ran =2(1)n+(2)n。3 423评注：本题解题的关键是通过将J1+ 24an的换元为0，使得所给递推关系式转化13bn+ =-bn +5形式，从而可知数列bn-3为等比数列，进而求出数列bn -3的通项公式,最后再求出数列an的通项公式。九、不动点法21a -24例14已知数列an满足务十= n ，3=4，求数列an的通项公式。4an +1解：令 X =21x24，得 4X2 20x24 0 ，则 x1 =2，x2 =3 是函数 f (x) = 2似-24 的4x

22、 +1两个不动点。因为4x +121an-242a”2_ 4an 中121an 24 2(4an+1) 13an26 13an2an + 321an 244an+1_321an -24-3(4an +1)=。所以数列9a 279 an 3ai 3= 42=2为首项，以13为公比的等比数列，故 3 = 2()29an 394-3an 3则an评注:本题解题的关键是先求出函数f(x)21-2421X-24的不动点，即方程x=24的两4x+14x + 1个根Xi =2, X2 =3，进而可推出anH! 2 an + _312 .L?2，从而可知数列为等比数9 an -3: an-3J列，再求出数列a _2J一 的通项公式，最后求出数列 an的通项公式。an 3J例15已知数列an满足anHt =2，印=2，求数列an的通项公式。2an +3解：令X7 X 23x 1=，得2x2-4x + 2=0，贝U x=1是函数f(x)