排列组合问题解法大全

1、学习好资料欢迎下载排列组合问题解法大全一.相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列例1. A, B,C, D,E五人并排站成一排，如果 A, B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有C 6C 2C 1=15（种）。结论1: 一般地，n个不同的元素分成 P组，各组内元素数目分别为 m.，m1 ， 2m P，其中k组内元素数目相等，那么分A、60 种 B 、48 种C 、36 种 D 、24 种解析：把 A, B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于 4人的全排列，A44 =24种。二.相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元

2、素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种解析：除甲乙外，其余5个排列数为a5种，再用甲乙去插6个空位有A种，不同的排法种数是 A5a =3600种，选B.三.特殊兀素或特殊位置优限法：优先解决带限制条件的元素或位置，或说先解决特殊元素或特殊位置”例3.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种?解析：老师在中间三个位置上选一个有A种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法；所以共有A3A44 = 7

3、2种.四.分组分配：n个不同元素按照某些条件分配给 k个不同得对象，称为 分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题;将n个不同元素按照某些条件分成 k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。1.基本的分组问题例4六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?（1）每组两本.（2） 组一本，一组二本，一组三本（3） 组四本，另外两组各一本分析：（1）分组与顺序无关，是组合问题。分组数是cCc

4、2 2 =90（种），这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：（1, 2）（3，4）（5, 6）与（3，4）（1，2）（5，6），由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序,C 2 C 2C 2即除以组数的全排列数 A3，所以分法是C 6C 4C 2 =15（种）。先分组，方法是 cCc2 3，那么还要不要除以 A3 ?我们发现,A 3由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有cCc23=60（种）分法。（3）分组方法

5、是cCc2 1 =30（种），那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。学习好资料欢迎下载Cu种，故化+X2十+X5）10的展开式中共有014项。Vm2C n C n _m1组方法数是c 叫 c mp C n_mi _m2C mp7k。Ak2.基本的分配的问题定向分配问题例5六本不同的书,分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?分析:甲两本、甲一本、甲四本、乙两本、乙两本、乙一本、由于分配给三人,丙两本丙三本丙

6、一本每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题,由分布计数原理不难解出：分别有C 2C 2C 2 =90（种）,cC& 3 =60（种），C 6C 2C1 =30（种）。（2）不定向分配问题 例6六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?（1）每人两本.（2）人一本、一人两本、一人三本（3） 人四本、一人一本、一人一本同一本书给不同的人是不同的分法,，因此只要将分组方法数再乘以分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人, 所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”222411C6C4C2a3=

7、90（种）,cCc23A3=360（种）C 6C ；C1A3=90（种）o结论2. 般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则:先分组后排列。三组呢？有三类分法,2 2 2+cCc2A 3分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1 , 1 ,2。实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另例7六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法?分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因

8、此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为（1）每组两本（2）分别为一本、二本、三本（3）两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是C 4 C 1C 13+ C6C2C1 =90（种）。再考虑排列，即再乘以A3。所以一共有540种不同的分法。3.分配问题的变形问题例8四个不同的小球放入编号为 1, 2 , 3, 4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种?C1C1C2一组2个，分组方法有C 4C 2C 2 （种），然后将这三组（即三个不同元素）分配给四个小盒（不同对象）中的3个的排列问题，即共有A 2例9有甲、乙、丙三项任务，甲需 2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承

9、担这三项任务，不同的选法有多少种?1 1 2分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有C10C；C 8 （种）分法。再考虑排列，甲任务A 2需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有1 1 2C10C；C 8 A2 =2520（种）不同的选法。A 2例10设集合A=1 , 2, 3, 4, B=6 , 7, 8, A为定义域，B为值域，则从集合 A到集合B的不同的函数有多少个?分析：由于集合 A为定义域，B为值域，即集合 A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合 A中对应的元素的数目不限，

10、所以此问题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、1、2,则共有1 1 2C4C 3C 2（种）分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以A3，所以共有1 1 2C4C3C 2A 3 =36（个）不同的函数。五.相同元素隔板法及应用情形1：将n件相同的物品或（名额）分配给 m个（或位置），允许若干个人或（位置）为空。将n件物品和m-1个隔板排成一排,占n+m-1个位置，从n+m-1个位置选m-1位置放隔板，有 cX-1种。情形2：将n件相同的物品或（名额）分配给m个（或位置），每个位置必须有物品，有cm；1 种。例11.把20个相同的球放入4个不同的

11、盒子，每个盒子都不空，有多少种不同方法?019把20个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有3个小球，有多少种不同方法?C131把20个相同的球放入编号为 2，3，4, 5的4个盒子，每个盒子的小球数不少于编号数,有多少种不同方法?把20个相同的球放入4个不同的盒子，盒子可以空，有多少种不同方法?C；31.指标分配问题。例12、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法?c52.求n项展开式的项数。例13、求（旨+X2 + ”+ X5）10展开式中共有多少项?解：用10个相同的小球代表幂指数10,用5个标有x1、X2、Xs的5个

12、不同的盒子表示数X1、X2、Xs，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有 Xi （i=1,2,5 ）每个盒子得到的小球数ki （i=1，2,，5; k严N ），记作Xj的ki次方。这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。由隔板法知，这样的放法共有c：4勺3勺21=1001 （种）。4X3X2X1学习好资料欢迎下载所以，(X, +X2 +X5)10展开式中共有1001项。点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求(X! +X2 + X5 )10展开式中的项数的理论依据。3.求n元一次方程组的非负整数解。例14、求方程x1 + X2 +- +

13、 X5=7的正整数解的个数。解：用7个相同的小球代表数 7,用5个标有x1 X2、X5的5个不同的盒子表示未知数 X1、X2、X5，要得到方程X1 + X2+-+ X5=7的正整数解的个数，可分以下两步完成。第一步：从7个相同的小球中任取 5个放入5个不同的盒子中，仅有 1种放法;第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有C；种放法。由分步计数原理知，共有 C；种不同放法。我们把标有Xi (i=1,2,5 )的每个盒子得到的小球数ki (i=1，2,，5； ki亡N +)，记作：Xi = ki。这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程 x1 +

14、x2+- + x5 =7的每一组解（k1, k2，k5）oCf4 =C； =15 （个）2x1所以，方程X1 + X2+- + X5 =7的正整数解共有15个。六.至多，至少问题排除法例15.从4台甲型和5台乙型电视机中任取 3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有A、140 种 B 、80 种 C 、70 种 D 、35 种解析1:逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有333Cg C4 C5 =70 种,选.C解析2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有c；ci +c5

15、c： =70 台,选 C.例16. (1 )以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70 种 B 、64 种 C 、58 种 D 、52 种解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C；四面体,但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有C； 12 =58个.(2)四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点,不同的取法共有A、150 种 B 、147 种 C 、144 种 D 、141 种解析：10个点中任取4个点共有 do种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为C：，四个面共有4C(4个；过空间四边形各边中点的平行四边

16、形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是Cw 4C4 3 6 =141种.七.综合问题先选后排则恰有一个空盒的放法有多少种?例17. (1 )四个不同球放入编号为 1，2，3，4的四个盒中,2323解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C4种，“再排”在四个盒中每次排3个有几种，故共有C4 A4 =144学习好资料欢迎下载解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2X 3 X 5X 7 X 11 X 13;依题意偶因数2必取，3，5, 7，11，13这5个因数中任取(2) 9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练

17、，有多少种不同的分组方法?解析：先取男女运动员各 2名,有cIc4种，这四名运动员混和双打练习有 A中排法，故共有 c|c2a2 =120 种.八.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(AUB) = n(A) +n(B) -n(AB).例18.从6名运动员中选出4人参加4 X 100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案?解析：设全集= 6人中任取4人参赛的排列 ，A=甲跑第一棒的排列 ，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:4332n(l)-n(A) - n(B) + n(AcB)=人AA =252

18、种.九.对等问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法例19. A, B, C,D, E五人并排站成一排，如果 B必须站在A的右边(A, B可以不相邻)那么不同的排法种数是A、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、120 种1解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 丄a5 =60种，选B .2十.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理例20. (1) 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是A、36 种 B 、120 种 C 、720 种 D、1440种

19、解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共 A： =720种，选C .(2) 8个不同的元素排成前后两排，每排 4个元素,其中某2个元素要排在前排，某 1个元素排在后排，有多少种不同排法?解析：看成一排，某 2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A2种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A1种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有AAA5 =5760种排法.卜一. 圆排问题线排法:把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列，而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺

20、序而首位、末位之分,下列n个普通排列：a1, a2,a|(, an; a2, a3,a4 J|(, an JH; an, a1| ,an_i在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有 卫 种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的n-1元素全排列.n例21.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法?解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有 A4种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式,故不同的安排方式 24咒25 =768种不同站法.说明：从n个不同元素中取出 m个元素作圆形排列共有 -Am 种不同排法.m十二.复杂的排列组合问

21、题1分解与合成法：例22. (1 ) 30030能被多少个不同偶数整除?若干个组成成积，所有的偶因数为学习好资料欢迎下载012345C5 + C5 +C5 +C5 +C5 +C5 =32 个.(2)正方体8个顶点可连成多少队异面直线?解析：因为四面体中仅有 3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任4取四个顶点构成的四面体有 C8 12=58个，所以8个顶点可连成的异面直线有 3X 58=174对.2.构造模型法(1)构建方程模型例23上一个有10级台阶的楼梯，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法?解：设X表示上一级台阶的步数，y表示上两级

22、台阶的步数，_则 x+2y=10 (x 0, y 0, y忘Z)。当X =2时，y =4，于是用6步走完10级台阶的方法为 c2种;同理，当X = 0, 4, 6, 8, 10时，y的取值分别为5, 3, 2, 1, 0，则上台阶的方法分别为 C , C； , C； , C； , C；种。所以上台阶的方法共有 C； + C； + C7+C； + C8 + C11(0 =89种。点评：构建方程模型的关键是找到等量关系,正确列出方程。(2)构建立体几何模型例24如图1中A，B，C，D为海上四个岛,AR要建三座桥，将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方案共有(A.8种B. 12 种C. 16 种D. 20 种解：如图2,构建三棱锥A BCD，四个顶点表示小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁，由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法,这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法3C6 4 =16种，故选C项。3为C6种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取不共面的棱的不同取法为点评：构建恰当的立体几何模型，可以使排列组合问题显得直观清晰、简洁明快。(3) 构建隔板模型例25把20个相同的球全部装入编号分别为1,2,3的三个盒子中，要