常用逻辑用语知识点总结及同步练习

1、选修2-1第一章 常用逻辑用语1.1命题及其关系1. 定义：一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题; 其中判断为正确的命题，为真命题；判断为不正确的命题，为假命题。2. 辨析：能够分辨哪一个是命题及其真假。 判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假。语句可分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句。一般的，只有陈述句能分辨真假，其他类型的句子无所谓真假，我们把 每个能分辨真假的陈述句作为一个命题。太阳 对于一个句子，有时我们可能无法判断其真假，但对这个句子却是有真假的，如：系外存在外星人”对于这个句子所描述的情形，目前确定其真假，但从事物的本质而言,句子本身是可以判

2、断其真假的。这类语句也称为命题。语句是不是命题，关键在于能不 能判断其真假，也就是判断其是否成立。 不判断真假的语句，就不能叫命题。“ Xv2；3. 原命题与逆命题即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做 互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的 逆命题.4. 否命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否 定，这样的两个命题就叫做 互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原 命题的否命题.5. 原命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题

3、的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否 定，这样的两个命题就叫做 互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫 做原命题的否命题.6. 四种命题的形式一般到，我们用P和q分别表示原命题的条件和结论，用P和q分别表示P和q的否定，于是四种命题的形式就是:原命题:逆命题:若P则q；若q则P；若则q;逆否命题：若q则p.否命题:7. 四种命题的相互关系一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况：(四种命题的真假性之间的关系)原命题逆命题否命题逆否命题直、直/、直/、真真假假真假直/、直/、假假假假假两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆或互否命题，它们的

4、真假性没有关系欲证若P则q”为真命题，从否定其结论即 非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而 非q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法 其反证法的步骤：(1) 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;(2) 从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾;(3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确1.2充分条件与必要条件1. 充分条件的定义如果P成立时，q必然成立，即 片q,我们就说，P是q成立的充分条件.（即为使q 成立，只需条件P就够了）2. 必要条件的定义如果B成立时，a必然成立，即 gp,我们就说，q是P成立的必要条件.（即为使q成立，就必须条件P成立） 3.若片

5、q,且q=p,则称P是q的充分必要条件，简称充要条件。P 说明：充要条件是互为的； “I是q的充要条件”也说成“与q等价”、 P当且仅当q”等.p= q，且時P，则P是q的充要条件；p=q，但P，则P是q的充分而不必要条件； qMp，但 尸q，则P是q的必要而不充分条件； pWq，且gp，则P是q的既不充分也不必要条件.1.3简单的逻辑联结词1. 或”与日常生活中的用语 或”的意义不同，在日常生活用语中的 或”带有不可兼有的意 思，而逻辑用语中的 或”可以同时兼有。对于逻辑用语 或”的理解我们可以借助于集合中 的并集的概念：在aUb=x|x-A或X忘B中的 或”是指 X-A，”f“X-B ”中

6、至少有一个 成立，可以是 X迂A且X芒B”，也可以是X芒A且xB ”，也可以是xA且x迂B ”，逻辑 用语中的 或”与并集中的 或”的含义是一样的；2. 对 且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念： 在AnB=x|x亡A且X-B的 且”是指X-A ”、 X-B ”都要满足的意思，即X既要属于集合a，又要属于集合B ；3. 对 非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：非”有否定的意思，一个命题 P经过 使用逻辑联结词 非”构成一个复合命题 非P ”当P为真时，非P为假，当P为假时，非P 为真。若将命题P对应集合P，则命题非P就对应着集合P在全集U中的补集Cu P ;对于非的理解，还可以从字意

7、上来理解，非”本身就具有否定的意思，如 “0是非整数”是对命题“0.是整数”进行否定而得出的新命题。一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙 述的词语进行否定。4. 构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。5.复合命题的真假判断:Pq非PP或qP且q直/、真假直/、真直/、假假直/、假假真真直/、假假假真假假注意：命题的否定”与 否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条 件共同否定。1.4全称量词与存在量词1.全称量词、全称命题定义:“”表示。（常见的全称短语 所有的”任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 量词还有一切”每一个”任给”所有的”等

8、。）含有全称量词的命题，叫做全称命题。如: 全称命题对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为:简记为M，P（x）,读作对任意x属于M，有P（X）成立”2. 存在量词、特称命题定义：短语 存在一个”至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号日”表示。(常见的存在量词还有 有些”有一个”对某个”有的”等。) 含有存在量词的命题，叫做特称命题。特称命题 存在M中的一个xO,使p(xO)成立”可用符号简记为:3Xo- M，P(Xo),读作存在一个xO属于M，使p(xO)成立”3. 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法:命题全称命魅P(巧所有的X层Mr Ex)成立

9、 对一切莫层驗00威立 对毎一个基层p(x)立 任透一个POO成 立 凡篡都有Q00成立待称命题玉口三”护(巧 存在使POO成立 至少有一个使 对有些立 对某个立 看一个立4. 全称命题、特称命题(含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称 命题)(1) 关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。(2) 全称量词与存在量词的否定。关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于等于不等于大于不大于小于不小于不是不都是任意的某个任意两个某两个所有的某些能不能基础训练A组一、选择题下列语句中是命题的是（A.周期函数的

10、和是周期函数吗?B.si n 4*512X2 +2x - 1 0D梯形是不是平面图形呢?2、在命题 若抛物线y=ax2 +bx+c的开口向下，贝U x| ax2+bx+c c0工 ”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（A都真B都假 C否命题真D逆否命题真3有下述说法：ab0是的充要条件.ab0是的充要条件.ab：0是aS-b3的充要条件则其中正确的说法有（A*下列说法中正确的是（）一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B.a Ab”与 “ a+cAb+c”不等价a2 + b2=0,则a,b全为0 ”的逆否命题是 若a,b全不为0 ,则a2+b2H0”5,一个命题的否命题为真，则它的

11、逆命题一定为真若A:R, a 1, B : x的二次方程X2 +(a + 1)x + a -2 = 0的一个根大于零,另一根小于零，则A是B的充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件A已知条件P： X +1条件q:5x-6ax2，则卩是q的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件、填空题1命题：若ab不为零,则a,b都不为零”的逆否命题是2、A: X!，x2 是方程 ax2 +bx+c = O(a 北0)的两实数根；B : x0(a 0),若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围,3 若 a2+b2=c，求证：a,b, c不可能都是奇数4 求证：关

12、于x的一元二次不等式ax2-ax+10对于一切实数x都成立的充要条件是0a4综合训练B组一、选择题若命题“PM”为假，且Jp ”为假，则（）下列命题中的真命题是（A 43是有理数D不能判断q的真假x | X是小数& R有下列四个命题: 若x+y = O，则x,y互为相反数”的逆命题; 全等三角形的面积相等”的否命题; 若q 1 ,则X2 +2x+q =0有实根”的逆否命题; 不等边三角形的三个内角相等”逆命题;其中真命题为（）A B C 4设a亡R，则a A1是一 1 B a1a 0. 5| Q.D5 b c-1二、填空题有下列四个命题:、命题若xy =1，则X，y互为倒数”的逆命题;、命题面

13、积相等的三角形全等”的否命题;、命题若m兰1，则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;、命题若ABB，贝U AQB ”的逆否命题其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）2、已知P,q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件,条件，r是q的条件，P是s的条件。(1)(4)存在一个三角形没有外接圆已知命题P:X2-X 6,q:x迂Z且“P且q”与非q ”同时为假命题，求x的值。已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.已知下列三个方程：X2 +4ax-4a +3 = 0,x2 +(a -1)x +a2 = 0,x2 +2ax-2a = 0 至

14、少有一个方 程有实数根，求实数a的取值范围.提高练习C组、选择题1有下列命题：2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；10的倍数一定是5的倍数;梯形不是矩形；方程x2=1的解x = 1 其中使用逻辑联结词的命题有(2,设原命题：若a+b2，则a,b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是A充分不必要条件B必要不充分条件原命题假，逆命题真原命题与逆命题均为假命题A原命题真，逆命题假C 原命题与逆命题均为真命题1在 ABC 中，A 30 ”是 si nA1 ”的()C充要条件D既不充分也不必要条件一次函数y=-mx +丄的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是(n nA.m

15、1，且 n C 1B. mn V 0C m0 且 n0 D m0 且 n2,P= x| X v3,那么 X亡 M，或 X 亡 P”是 x M n p ”的(A必要不充分条件B 充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件X-1 -2命题P :若a,b迂R ,则la +冋1是|a + b| :1的充分而不必要条件；命题q:函数y = J的定义域是(二,-1 U 3,丘)则( )A“P或q ”为假BP且q ”为真、填空题 1命题 若 ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等 ”的逆否命题 2用充分、必要条件填空：XH1,且yH2是x + yH3的 XH1,或y H2是x + y H3的下列

16、四个命题中k =1 ”是 函数y =cos2kx-sin2kx的最小正周期为兀”的充要条件;a =3”是 直线ax+2y+3a =0与直线3x+(a-1)y = a-7相互垂直”的充要条件;x2 + 4函数y =.的最小值为2Vx2+3其中假命题的为(将你认为是假命题的序号都填上)条件5,已知 ab H0，贝U a -b =1 是 a3 -b3 - ab - a2 -b2 = 0 的若关于X的方程x2+2(a-1)x +2a+6=0，有一正一负两实数根，则实数 a的取值范三、解答题 1写出下列命题的Ep ”命题:(1) 正方形的四边相等.(2) 平方和为0的两个实数都为0.(3) 若MBC是锐

17、角三角形， 则AABC的任何一个内角是锐角.(4)若abc=O，贝U a,b,c中至少有一个为0.x 12 已知 P :1-3(5)若(x-1)(x-2)工0,则XH1 且xh2.2 ； q: X2-2x+1-m2 0= a2 Ab2，仅仅是充分条件1 1a b 0= - b0= a3 * Ab3，仅仅是充分条件a b否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性A:a亡R, a cin a2c0，充分，反之不行p: x+1 2,3x1， q:5x-60,x3,或x10,或X V -2, A = x I X aIO,或x0, X 1 + a,或x 1 + a,或x -2而一p= q,”.ab，

18、即1+a10 ,”. 0 ca 03证明：假设a,b,c都是奇数，则a2,b2,c2都是奇数得a2 +b2为偶数，而c2为奇数，即a2 +b2 HC2，与a2 +b2 =c2矛盾所以假设不成立，原命题成立4 证明：ax2-ax+1 0(a kO)恒成立 u O2A = a 4a 0 L.（数学选修2-1）第一章常用逻辑用语参考答案综合训练B组、选择题1 B Jp ”为假，则P为真，而pq （且）为假，得q为假2 B 2应属于无理数指数幕，结果是个实数； 73和e都是无理数；x|x是小数= R3 C 若x+y=0,则x,y互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真;全等三角形的面积相等”的否命题为

19、不全等三角形的面积不相等相等”为假命题;若 q0,即 A =4-4q0,贝 U x2+2x+ q = 0 有实根，为真命题a - X2不成立(3)为真命题，因为m 1 = V=4-4m cO=无实数根(4) 为假命题，因为每个三角形都有唯一的外接圆解：非q为假命题，则q为真命题；P且q为假命题，则P为假命题，即P- Q2口/口！ X X 6v0X2 X v6,且X亡 Z，得彳 2,-2 cx 0X = 1, 0，或，2解：令f(x) =x2+(2k -1)x + k2，方程有两个大于1的实数根rA =(2k-1)2 -4k2 0 JT12f (1)0即 0kW所以其充要条件为0 k兰丄4解：假

20、设三个方程:X2 +4ax-4a+3 = 0,x2 +(a-)x + a2 =0,x2 +2ax-2a = 0 都没有实数根,& =(4a)2 - 4( -4a+3) C0贝y * 也2 =(aT)24&2 0 ，即*d =(2a)2 - 4(-2a) C031 a 2 2a一,或 a -1 ，得一 3 -13 22 a V 0提高练习C组1 C 中有且”；中没有；中有 非”；中有或”2 A因为原命题若a+bX2，则a, b中至少有一个不小于1的逆否命题为，若a, b都小于1， 则a+b2，则a,b中至少有一个不小于1的逆 命题为，若a,b中至少有一个不小于1，则a+ b2，是假命题，反例为a

21、=12b=0.3当A=1700时，si n1700 =si n100 5= 30 A 30，即 回得来” 一次函数y=-mx+丄的图象同时经过第一、三、四象限n nm1,二0,且一m0,且n c0= mn c 0，但是mnv0不能推导回来nnx1不能推出|a + b| :1，所以p假，q显然为真若 ABC的两个内角相等，则它是等腰三角形既不充分也不必要，必要若x=1.5,且y=1.5= x + y=3，1+ 4工3,而x=1 X H1,或y工2不能推出x + yH3的反例为若x=1.5,且y=1.岛 x + y=3，x + yH3= X H1,或yH2的证明可以通过证明其逆否命题x = 1,且y = 2= x + y = 33 ，k =1 ”可以推出 函数y = cos2kx-sin2 kx的最小正周期为兀”但是函数y=cos2kx-sin2 k