平面向量的方法技巧及易错题剖析

1、精编习题平面向量的方法技巧及易错题剖析1 .两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别cos3W符号所决定;(1 )两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由(2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a X b，而a ”b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ 替；”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代(3)在实数中，若aR，且ab=O,则b=0；但是在数量积中，若aHO,且a b =0，不能推出b = 0。因为其中cose有可能为0；(4)已知实数 a、bc(b/0)，则 ab=bc = a=c。但是 a b = b Q幷 a =c；如右图：

2、 a -b = I a I b |cos p = | b |O A| , b c = | b |c|cosa =I b |0 A| = a b =b c,但 a hc ;(5)在实数中，有(a b)c = a (b c),但是(a，b)cH a (b )，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与 a共线的向量，而一般 a与c不共线。2.平面向量数量积的运算律 特别注意：(1)结合律不成立:a&c)H(ahc ；(2)消去律不成立abj：不能得到.；ab=0不能得到a=0或b=0。3 .向量知识，向量观点在数学 .物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形 式的“双重身份

3、”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以 高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直；4 .注重数学思想方法的教学 .数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形 结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强 应用意识。 .化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式a2 =a2，沟通了向量与实数间的转化关系；一些

4、实际问题也可以运用向量知识去解决。.分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量A随分点P的位向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的 置不同，可以大于零，也可以小于零。（一）平面向量常见方法技巧方法一：强化运用交换律和结合律的意识，活用闭合向量为零向量解题特别对于化简题，应灵活运用加法交换律变为各向量首尾相连，然后再运用向量加法结合律作和。例：化简下列各式： AB + BC + CA ； AB -AC +BD -CD ； OA -OD +AD ；NQ +QP +MN MP。结果为零向量的序号为方

5、法二：强化运用向量加法法则例:已知四边形 ABCD是菱形，点A.Z(AB +AD ) a(0, 1)P在对角线AC上（不包括端点 A、C）,则AP等于（）a（AB +BC）扎（0, “ “B.I减ABAD）几迂（0, 1）C.答案：A方法三：数形结合思想届-BC )D.例：已知向量OP1、OP2、 AR F2 p3的形状。方法四：取特例Op3 满足条件 OPl 中 Op2 +OP3 =0，且 |OP1 1 OP2 冃 “3 1=1，试判断例： ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H, OH =m（OA+OB +0。），则实数m =答案：12 2方法五：应用lal =a解题2 2a H

6、a|是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，充分利用这一性质，可 以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。例：已知a、b均为单位向量，它们的夹角为A. J7B. 1060，那么2+3等于（）C. J13D. 4方法六：利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题例1：已知向量a、b满足lal=6 , |b|=4，且a与b的夹角为60。，求la + b|和|a-3b| o 方法七：三角形形状的判断方法由于三角形的形状可按角分类也可按边分类，所以这类题常将条件统一用边或角表示后再化简、判断A、B、C、D,若（DB + DC -2DA ）XAB -AC Lo，则 abC的形状是

7、B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形已知平面上有互异的四点A.直角三角形（二）易错题剖析【易错题1】若向量a、b满足关系式a+ba-bl，则下列结论中正确的是（A. 以a、b为邻边的四边形是矩形B.C.D.b中至少有一个零向量或 a丄bb中至少有一个是零向量b均为零向量答案：Ba + b 与 a - b|a + ba b|表明这个平行四边形的两条对角线的长a丄b ;解题思路：(1)当a、b均为非零向量时，由向量加法和向量减法的平行四边形法则可知，分别是以a、b为邻边的平行四边形的两条对角线。相等，所以，以a、b为邻边的四边形为矩形时，A。(2)当a、b中有零向量时，条件显然满足。 综

8、上所述，故选Bo 错因分析：误区：错选思考不严密，只注意到了向量 a、b均不为零向量的情形，事实上，当a、b中有零向量时显然也满足条件。由于零向量是特殊向量，具有特殊性，处理向量问题要首先考虑所给向量能否为零向量。【易错题2】“两个向量共线”是这两个向量方向相反的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：Bo解题思路：两个向量 a与b共线，它们可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上，只要它们方 向相同或相反即可。因此，两个向量方向相反 =这两个向量共线；两个向量共线不能得到这两个向量反向。 故选Bo错因分析：误区：两个向量共线包含两个向量同向和反向两种情况，因此

9、，两个向量共线不能得到这 两个向量反向；两个向量反向，这两个向量并不一定在同一条直线上。因此错选Do造成以上误区的原因是对两个向量共线的概念模糊。【易错题 3 】设点 A (-1，2)，B( n1，3 )，C (- 2，n+1)，D( 2，2n+1 )。若向量 AB 与 CD 共线 且同向，贝y n的值为(A. 2答案：A)B. -2C. 2D. 1解题思路：由已知条件得AB =(n，1 ), CD =(4, n ),由Ab与CD共线得n 2-4= 0, n=2。当n = 2时，AB = (2, 1), CD= ( 4, 2),则有 CD =2AB，满足 AB 与 CD 同向，当 n = 2

10、时，CD =(4, -2 ),有CD =-2AB ,此时Ab与Cd反向，不符合题意。因此，符合条件的只有错因分析：误区：由已知可得AB =(n, 1 ), CD =(4, n ),因为Ab与CD同向且共线，n =,因此错选CoAB=(-2, 1),n = 2。故选A。所以 n2 -4=0,出现错误的原因是对同向与共线的概念模糊。事实上，上述解答中只注意了共线条件，而忽视了另一 个条件：方向相同。向量共线的充要条件中 几的正负决定两个向量是同向还是反向，几0，同向；kvO，反向。【易错题4】已知 厂届 8 , LACT匸5，则 厂BCT 1的取值范围是(B. (3, 8)D. (3, 13)A.

11、 3, 8B. (3, 8)C. 3, 13答案：C解题思路：因为向量减法满足三角形法则，作出|AB 1=8 , |AC 1=5 , BC = AC AB。3|BC|0,且cos日, a .b =|a|b|cose 恒大于 0, a b 0，即 1 .2 +3 ”几0。. 2k 解得 3若a平行于b，则1认一2 X 3 =0。即几=6，但若a平行于b，则0 =0或0=兀，与0为锐角相矛盾, 所以入H6。2k-且 A H6综上，3。失分警示：误区：0为锐角， cose A0。. 2由 a .bTaHMcosQ 知，只需 a b 0，即 1x2 +3 认 0，故人 3。本题误以为两非零向量 a与b

12、的夹角为锐角的充要条件是 a 40，事实上，两向量的夹角0,兀, 当0 =0时，有COS0 =1 0，对于非零向量 a与b仍有a、b 0，因此a .b 0是两非零向量 a与b的夹角 为锐角的必要不充分条件。 即有如下结论：两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是 a，b0且a不平 行于b。【易错题6】已知点A (3, -4)与点B ( -1, 2),点P在直线AB上，且，求点p的坐标。 解题思路：设点 P的坐标为(X, y),由于 |PA| = 2|PB|,所以，当点P为有向线段Ab的内分点时，a =2,3+2x(1)1X =,t1+23I -4+2X2 C1y =0当点P为有向线段 AB 的

13、外分点时, = -23+(-2(-1 )_5此时有I 1+2.点P的坐标为(3 , 0)。12-4+(-22 _8此时有1-2. 点P的坐标为(5 , 8)。综上所述，点P的坐标为(3 , 0)或(-5 , 8)。失分警示：思考不严密，出现漏解现象，点P可能是Ab的内分点，也可能是 Ab的外分点，因此本题必须分类讨论。【易错题7】 ABC中，已知AB AC 0, BC ”AB CO , CB CA AO，判断 ABC的形状。解题思路：AB AC MB I I AC I cosA。=1 CB | jCA | cosC。ABC为锐角三角形。B为钝角，二 ABC为钝角三角形。BC AB 耳BCI )

14、 Ab | cos B )=IBCI 1 AB | cos B , CB CA/ AB ”AC 0, BC AB 0。cos A 0 , cosB0 , cosC：0 ,. A、B、C 均为锐角。.失分警示：误区： BC AB 0 , |BC| lAB | cosBa, b空， 若二次函数与x轴有交点，试确定/ B的范围。2 2 2 解题思路：由题设二0，即a +C -b 02 丄 2.2C a +c -b=cosB =2ac 30=0Ba, b c,由知，失分警示:=cosB B 60 0。60B 0= 0B a , b c，事实上，不小于60 。解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，要做到细致

15、入微，不可大意。b是三角形的最大边。/ B为三角形的最大角,【易错题 9】已知在四边形 ABCD中，AB =a， BC =b， CD =c， DA =d，且 a “b =b c =c .d = d .a， 试确定四边形ABCD的形状。解题思路：由已知易得 a +b +c +d =0，则(a +b ) =-(c +d ), (a +b 2 =(c + d 2，即 a2 +b2 +2ab=c2 +d2 +2cd。2 2 2 2又因为 a，b =c da2 +b2 =c2 +d2 ,同理可得a2 + d2 =b2 +c2。由可得 a2 =c2，即 |a|c| , b2 =d2 即b冃d| lABDC

16、I, |AD |BC | ,.四边形 abCD 为平行四边形，且 a = -c , b =-d，又 a=b c =a b , a 七=0 , a 丄 b。综上所述，四边形 ABCD为矩形。失分警示：误区：由已知可得a +b +c+ d =0，又 a b =b c =c =d、a ,jab = be,.lad =cd. . a2 b2 =d2，即 |b冃d|。又a=b c ,上述解法错在学生不自觉地应用了实数乘法的结合律，而向量的数量积恰恰不满足结合律，因此学习 向量时一定要认真仔细研读教材，【模拟试题】一.选择题：1. 下列各量中不是向量的是(A.浮力 B.风速2. 下列说法中错误的是(A.零

17、向量是没有方向的是任意jab = ad,QfOO(bd)=c -(bd)，. a2 =c2，即 |a|=|c|。同理bccd. b -(aOd (a四边形ABCD为平行四边形， a=-c，b=-d，b(a -c) =0，. b(a +a) =0，即 a 七=0，. a 丄 b。综上，四边形为矩形。抛开思维定式的影响，避免误入思维误区。)C.位移)B.零向量的长度是D.密度0 C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向3. 设0是正AABC的中心,A.有相同起点的向量4. 命题“若a/ b，A.总成立T T则向量AO， OB，B.平行向量T T T T b / / c，贝y a/ / c ”TB.

18、当a5.已知正方形ABCD的边长为1,A. 0 B. 2 C.屁H0时成立T TAB = a，D. 272TBCTOC 是( )C.模相等的向量D.相等向量TC.当b H0时成立T T则I a + b |等于(D.6. 在平行四边形ABCD中，A. Bc B. Da7. 下列等式中一定能成立的是T T TA. AB+ AC =BCT T TBC + DC + BATC. AB( )B. AB -AC =BC等于（D. AcT T TC. AB + AC =CBD. ABAC =CB8.在平行四边形A.菱形二.填空题：ABCD 中, B.矩形若品+詢斗bc + ab，则四边形ABCD必是(T t

19、TT TTTTb 满足 a + b = b，且 l b 匸1，则 | a |+| a + b | =C. 正方形D.无法确定9. 已知向量10. 下列各命题的条件是结论的什么条件（填：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充 分也不充要必条件）(2)iai=iUi是1/ 的T T T T（1） a = b 是 a/ b 的_T T 0 T ?（3）| a|斗 b |是 a = b 的11.如图，四边形 ABCD为正方形，ABCE为等腰直角三角形。T（1）图中与AB共线的向量有_（3）图中与Ab模相等的向量有BA（2）图中与AB相等的向量有（4）图中EC与Bd相等吗?T(5)图中AB与T

20、BC12. MBC 中,三.解答题：T=a，相等吗?CA13.女0图，TT =PQ|P、，且 P、Q不重合。边形ABCD是矩形，设点集M =A, B, C, D,求集合（用列举法表示）T T T T T14.化简 OPQP+PSMP MS。1，小船的速度为J2，为使小船从一岸到达另一岸时所走的路程15.有一两岸平行的河流，水流速度为 最短，小船应朝什么方向行驶？【试题答案】1. D提示：密度只有大小没有方向。2. A3. C4. CT TT T提示：由于零向量与任何向量都平行，所以当两非零向量a、 c不平行而b = o时，有T Tb/ c，但这时命题不成立。T Ta/ b，5. C提示:6.

21、AT T T T T | a + b|=|AB +BC|=|AC|=J2T T寫 DC =-BATTT T TTTT提示：T/. BC + DC + BA =BC +(-BA) + BA =BC + 0 =BC T T T BC+ BA = BD ,或者根据平行四边形 ABCD中,T T T T/. BC +DC + BA =BC7. D8. B而 BD + DC = BCT T T T提示：T|BC + BA|=|BD|, |BC+AB|WAC|aIBd hAC|即平行四边形ABCD的对角线相等，故平行四边形9. 1ABCD为矩形。T TT T T二 a = 0，二a | 十 | a + b| =| b | = 1T T T提示：a + b = b，10.(1 )充分不必要条件=b，贝y a与b方向相同，”. a / bT TT Tb方向也不一定相反。提示:T若(2)aa/ / b , |a|=|b|不一定成立，且既不充分也不必要条件T TT T| a |斗b |，贝y a与b