常微分方程解的延伸

1、3解的延伸-h上存在，其中h=min(a，寻)，f (x, y) 当M很大时，h可能很小，甚至出现 f (x, y)的定义域扩大后，Cauchy问题的定理1只肯定了在相当广泛的条件之下，解在区间XX0Fax5(3.1)(3.2)脸 f(x,y)y(X0)=y0的解的存在区间 X-Xo h反而缩小的现象例如Riccati方程的Cauchy问题dy 22=x +y , dx当 Ri =x,y) X 1, y h2，这说明在R2上，由定理12 1，人2 = min(2, ) = 由此841 1得到的Cauchy冋题的解在一一,一有定义，4 4X 2,|y 2时1 1至少可以把此解延伸在-丄，丄上仍有

2、定义2 2仅仅知道解局部存在，在许多情形下往往不能满足需要义的解延伸到比较大的区间上去呢？这就是本节所要讨论的问题我们的问题是：能否将一个在小区间上有定设微分方程(31)经过点Po的解r有如下表达式y N(x)，其中J表示r的最大存在区间先考察积分曲线在点p0右侧的延伸情况令J+为r在点P。右侧的最大存在区间，即若J中=X0,，则积分曲线r在区域G内就延伸到无穷远，因此也就延伸到区域 G的边界否则,就只有下面两种可能:i) J塩有限闭区间令j+=x0，Xi，其中Xi AX0,方程Qi)与条件(3.2)的解y =(x)存在于区间j+上，当j +时，(X, W(x) G，我们按下述方式把解 y =

3、叫X)向右延伸:令yi =W(Xi)，则(X, yi)迂G.因为区域G是一个开集，所以存在矩形区域:Ri：X - Xi 0，在xXi兰hi上，方程(3.1)至少有一个解y=Wi(x)满足初始条件yi =%(Xi).令_(X),当 X0 X Xi,y X ii(x),当Xi x X0，而当X亡J中时，有(x,(x)忘G .下证对任何有限闭区域 G G，不可能使(X,申(X)亡Gi，对一切X忘j +(3.3)成立.事实上，若不然，设Gi是G内一个有限闭区域，使得(3.3)成立，则有W (Xo) = yo和0(x) = f(x,(x)，当+(3.4)它等价于X(x) = yo + J f (s,(s

4、)ds，( XoX0，再由(3.3)和(3.4)可推知,在J +上 (X)有上界K，再由拉格郎日中值公式即可推得珂ti)-(t2)Kti -t2， 当 ti,t2 j+.由此可证，当XT Xi时,(x)的极限存在，设为 yi，即yi= lim w(x) Xi(3.6)F(x),当 y,当Xo乞X兰Xi,可知这样定义的函数y=（x）是连续的，从而由（3.5）和（3.6）可知，y=0（x）在xoxxi上满足_X_玖X)=yo + X f(s,w(s)ds.xo由上一节定理1的证明知，y=（x）在区间xo，Xi上是微分方程（3.1）的满足初值条件（3.2）的一个解.这也就是说，上面的积分曲线 r可延

5、伸到区间xo，Xi上，这与r的最大存在区间为Xo,xi）矛盾.故对任何有限闭区域GjUG，关系式（3.3）是不可能成立的.由上述讨论可知，积分曲线在Po点的右侧将延伸到区域 G的边界侗理可证，积分曲线r在Po点的左侧也将延伸到区域 G的边界.把上面的结果写成一个定理，即有定理4设Po为区域G内一点，并设是积分方程（3.1）经过Po点的任一条积分曲线，则积分曲线r 将在区域G内延伸到边界.由定理1和定理4立即可得如下推论.推论 设函数f（x, y）在区域G内连续，且对y满足局部的李普希兹条件，则微分方程（3.1）经过G内任一点的右行解Po存在唯一的积分曲线 r,并且r在G内延伸到边界.在平面上任

6、取一点 Po（xo，yo），试证初值问题(E): ，y(Xo)=yo（即从点 Po出发向右延伸的解）都在区间 Xo X吒处存在.记f （X, y） =（X - y）ex，它在全平面上连续.对于平面上任意一个包含点Po的区域G，2=exy 1 +2xy（x -y）在R上一致连续，所以对(x,y)-G，许（X, y）列 N，亦即f（x, y）在R上满足李普希兹条件，从而由上面的推论可知，初值问题（E）的解存在且唯一，并且可以延伸到G的边界.L上方为负,不难看出，直线L : y=x是微分方程所对应的线素场的水平等斜线，且线素的斜率在因而积分曲线在 L上方是单调下降的，而在 L下方线素的斜率为正，故积

7、分曲线在L下方是单调上升的.现设Po位于L的上方，即有Xo yo.利用（E）的右行解r在条形域冷 xc yo,比 y y0.那么在区域G： (x,y)xo xv 处，一处 vyv +处9上应用右行解的延伸定理，可知(E)的解r可延伸到G的边界.又由前面讨论知，在 L下方积分曲线是单调上升的，且它在向右延伸时不可能从水平等斜线L的下方穿越到上方.因此，积分曲线 必可延伸到x0 x吒处.例2研究定义于条形区域 G :Qx, y) -2 X C 3,-处 c y +处中的方程 巴=y2. dx这里f(x,y)=y2处处连续，且在条形区域G中的任一点的领域内满足李普希兹条件.方程的通解为y，此外还有特

8、解 y =0.很显然，积分曲线 y = 0的两端都能达到 G的边界.可以算出，经过点C -X1(1,1)的积分曲线是y =，它的左端能达到 X =2，但右端当XT 2时，yT +处，故不能达到G2 X1的边界x=3.仿此，经过点(1,-1)的积分曲线是y =-,它的右端能达到x = 3，但在左端当XT 0 +时,xy T -处，故不能达到 G的边界X = -2.(如图例2说明，微分方程解的最大存在区间因解而异 当我们不知道解的最大存在区间时就无法对解进行研究, 难.定理5设微分方程 = f (x,y)dx.对不同的解，需要在不同的区间上进行讨论.因此,F面的定理在一定条件下为我们克服了这个困(

9、3.7)其中函数f (x,y)在条形区域S：x, y)a xP,-处y +处内连续，而且满足不等式f(x,y) 0和B(x) 0在区间a XP上是连续的.则微分方程(37)的每一个解都以区间x为最大存在区间.证设方程(3.7)满足初值条件y(X0)To，(X0,y0) S的一个解为：y = y(x).要证的最大存在区间为 a x P用反证法.设它的右侧最大存在区间为xo, Po），其中Po是常数，Xo Po V P，在00的两侧分别取常数Xi,X2，使得Xo Xi Po X2 吒 P，且 X2 Xi Xi Xo .由假设条件知，A（X）、B（X）在有限闭区间xo，X2上是连续有界的.设Ao,

10、Bo分别为它们的正的上界，从而由（3.8）可得f(X, y) Ao y + Bo，( Xo x X2 ,虫 y v 畑)(3.9)i不妨设八X2-Xi ,由于i在x。）上存在,xo Xi V Po，于是有 y(xi) = yi，(Xi,yiS.现以（Xi, yi）点为中心作一矩形区域Ri=x,y)xXi ai,|y yi|bi.这里正数bi是充分大 显然，Ri U S.再由（3.9）有f (x,y) Ao(yi +bi) + Bo， (xi,yi)亡 Ri(3.10)bi成立.令Mi Ao（yi +bi）+Bo，hi =min（ai，W），再以（捲，）点为中心作一矩形区域MiR； x,y)x-Xi hi, y-yi兰 bi.显然，Ri C Ri，在Ri内应用定理4,可以推知，微分方程（3.8）过（Xi, yi）的解r必可向右延伸到 Ri的另一方面，由（3.i0）式可知，解r在R；内必停留在扇形区域y-yi Mi X-Xi,=.所以只要取充分大的正数bi，AobiT 按M i因此，解r可向右延伸到xoXj +山），又由于a,及li