第3章离散傅里叶变换DFT

1、第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT l3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 l3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质 l3.3 频率域采样频率域采样 l3.4 DFT的应用举例的应用举例 第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT) 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 一. 引言 3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信 号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号 处理领域中重要的数学变换。时域采样定理使 本章讨论离散傅里叶变换(DFT)，DFT的引入使数字 信号处理可以在频域进

2、行。 DFT存在快速算法，使信号的实时处理得以实现。 DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理中也起着 核心作用。 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 二. 四种信号傅里叶表示 (1) 周期为周期为T的连续时间周期信号的连续时间周期信号 0 0 ( )() jkt k x tX ke 0 0 1 ()( ) t T jkt t X kx t edt T FS 时域周期频域离散。频谱特点:离散非周期谱 (2) 连续时间非周期信号连续时间非周期信号 ()( ) 1 ( )() 2 j t j t X jx t edt x tX jed FT )()(nTtxtx T/2 0 时域非周

3、期频域连续。频谱特点：连续非周期谱 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 1 ( )() 2 jj n x nX eed n njj enxeX )()( DTFT 时域离散频域周期。频谱特点：周期为2的连续谱 时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱 2 1 0 2 1 0 ( )( ) 1 ( )( ) N jnk N n N jnk N k X kx n ek x nX k en N DFS 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 四种傅立叶变换四种傅立叶变换: : 1. 1. 连续非周期连续非周期 连续非周期连续非周期( ( ) FT) FT 2. 2. 连续

4、周期连续周期 离散非周期离散非周期 ( ( ) ) FS FS 3. 3. 离散非周期离散非周期 连续周期（连续周期（ ） DTFTDTFT 4. 4. 离散周期离散周期 离散周期离散周期 DFSDFS 切实理解四种FT之间的对应关系 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 三. 离散付里叶级数(DFS) 为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及 其离散傅里叶级数（DFS）表示。然后讨论可作为周期函 数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。 ( )(),x nx nkNk 周期序列 因为周期序列不满足条件： 。因此它的DTFT 不存在。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏

5、级数表达， 周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。 ( ) n x n (1)DFS定义定义 2 1 0 ( ) ( )( ) N jnk N n X kDFS x nx n e 正变换： 2 1 0 1 ( )( )( ) N jnk N k x nIDFS X kX k e N 反变换： 2 j N N We 一般记：一般记： 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT (2)周期序列的离散傅里叶级数推导周期序列的离散傅里叶级数推导 ( )(),x nx nkNk 由 可以展成傅里叶级数：( )x n 2 ( ) jkn N k k x na e k a 将上式两边乘以 ， 并对n在一个周

6、期N上求和得 2 jmn N e 222 11 00 ( ) NN jmnjknjmn NNN k nnk x n ea ee 22 1 0 N jknjmn NN k kn aee 2 1 () 0 N jk m n N n e 根据正交定理 , 0, N km km 2 1 0 ( ) N jmn N m n x n eNa 令k=m 2 1 0 1 ( ) N jkn N k n ax n e N 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 2 1 0 1 ( ) N jkn N k n ax n e N 令( ) k X kNa 2 1 0 ( )( ) N jnk N n X kx

7、 n e ()X kN 2 1 () 0 ( ) N jn k N N n x n e 2 1 0 ( )( ) N jnk N n x n eX k 依同样方法可推出： 2 1 0 1 ( )( ) N jkn N k x nX k e N 所以，时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上 仍是一个周期序列 )( nx 分解成分解成N N个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为 ， N k2 幅度为幅度为 ，其中，其中)( 1 kX N 1, 1 ,0Nk 表示其频谱分布规律 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT (3)周期序列的傅里叶变换表示周期

8、序列的傅里叶变换表示 因为周期序列不满足条件： 。因此它的DTFT 不存在。但是，通过引入奇异函数其DTFT可以用公式 表示。 ( ) n x n 2 1 0 1 ( )( ) N jkn N k x nX k e N ( )(),x nx nkNk 2 1 0 :( )( ) N jkn N n X kx n e 其中 22 ()( ) () j k X eX kk NN 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 四. 离散付里叶变换 周期序列实际上只有有限个序列值才有意义 ，因 而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT)。 (1)时域周期

9、序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓 (2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓 (3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值 区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。 （前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同 周期序列） 具体而言，即： 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT (1)周期序列的主值区间与主值序列周期序列的主值区间与主值序列 )( )( )()( 主值序列的是 的周期延拓是 nxnx nxnx ( )()( ) ( )( )( )( )( ) N m NNN x nx nmNx n x nx n Rnx nRn 对于周期序列 ，定

10、义其第一个周期 n=0N-1， 为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序 列 x(n)。 )( nx )( nx x(n)与 的关系可描述为：)( nx 数学表示： 表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算 ( )Nx n 925,9,25nN7 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT . n )( nx 0N-1 定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。 N-1 n x(n) 0 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 11 00 11 00 ( )( )( ) 11 ( )( )( ) NN knkn NNN nn NN knkn NNN kk X

11、 kx n Wx nW x nX k WXkW NN (2)从从DFS到离散傅里叶变换到离散傅里叶变换 如果x(n)的长度为N， 且 ， 则可 写出 的离散傅里叶级数表示为： ( )( )Nx nx n ( )x n 从上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到 n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。 因此可得到新的定义，即有限序列的离散傅氏变离散傅氏变 换换(DFT)的定义的定义。 1 0 1 0 ( )( )( )01 1 ( )( )( ),01 N nk N n N nk N k X kDFT x nx n WkN x nIDFT X kX k WnN N ， 有限长序列隐

12、含着周期性。 DFT 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 121 242(1) (1)2(1)(1) (1) (0)1111(0) (1)1(1) (2)1(2) (1)1(1) N N NNN N NNN NNNN NNN DFTXW x Xx XWWWx XWWWx X NWWWx N 矩阵方程为: 即: (3)离散傅里叶变换的矩阵方程离散傅里叶变换的矩阵方程1 0 ( )( ) N nk N n X kx n W 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 2 73 8 8 00 3 8 ( )( ) sin() 2 ,0,1,7 sin() 8 jkn kn nn j k

13、X kx n We k ek k 例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 。 设变换区间N=8， 则 1 0 ( )( ) N kn N n X kx n W 解：解：DFT定义式为：定义式为： 设变换区间N=16， 则 2 153 16 16 00 3 16 ( )( ) sin() 4 ,0,1,15 sin() 16 jkn kn nn jk X kx n We k ek k 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 1 0 ( ) ( )( ) N n n X zZT x nx n z 比较上面二式可得关系式: 2 ( )(),0kN-1(3.1.4

14、) j k N X kX e (4)DFT和和Z变换变换,DTFT的关系的关系 1 0 ( ) ( )( )0kN-1 , N kn N n X kDFT x nx n W ( ),0,1,1x nnN 2 ( )( ),0kN-1(3.1.3) jk N z e X kX z 序列序列x(n)的的N点点DFT是是 x(n)的的Z变换在单位圆上的变换在单位圆上的N点等间隔采样点等间隔采样 序列序列x(n)的的N点点DFT是是 x(n)的的DTFT在在0，2上的上的N点等间隔采样点等间隔采样 ()( ) jj n n X ex n e 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 图 3.1.1

15、 X(k)与X(z),X(e j)的关系 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质 一. 基本概念 1. 序列的循环移位序列的循环移位 ()( )( ) NN x nmRny n 序列x(n)，长度为N，则x(n)的循环移位定义为： ( )()( ) NN y nx nmRn 周期延拓周期延拓 取主值序列取主值序列 左移左移m位位 ( )x n ( )( ) N x nx n ()()Nx nmx nm 循环移位的实质是将序列循环移位的实质是将序列x(n)移位，移出主值区移位，移出主值区 间的序列值又依次由另一侧进入主值区。间的序列

16、值又依次由另一侧进入主值区。 循环移位过程： circshift(a,0,-1) 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 图 3.2.1 循环移位过程示意图 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 2. 序列的循环卷积序列的循环卷积 )( 1 nx)( 2 nx 1 12 0 ( )( )()( ) N NN m y nx m xnmRn )()()()( 1221 nxnxnxnx 12 max(,)NN N 循环卷积过程： 周期延拓周期延拓 取主值序列取主值序列 反转反转 2( ) x m 22 ( )( )Nx mxm 2( )( ) NN xnmRm 22 ()()Nxmx

17、m 2( )( ) NN xmRm 循环移位循环移位 相乘相加相乘相加 1 12 0 ( )()( )( ) N NN m x m xnmRny n 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 12 1,041,04 ( ),( ) 0,591,59 (10) nn x nx n nn N 例:两个有限长序列 （1）求它们的循环卷积 （2）它们的线性卷积 4 1212 0 ( )( )*( )()() m y nx nxnx m xnm 4 1212 0 ( )( )( )( )()( ) cNN m y nx nx nx m xnmRn 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 222

18、 222 222 1 1 1 (0)(1)(1)(0) (1)(0)(2)(1) (1)(2)(0)(1) (0) (1) (1) xxNxy xxxy xNxNxy N x x x N y Hx 循环矩阵 循环卷积的矩阵表示：循环卷积的矩阵表示： 循环右移循环右移 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 循环卷积与线性卷积比较：循环卷积与线性卷积比较： 有限长序列x1(n),0nN1-1; x2(n),0nN2-1 则线性卷积为： 12 ( )( )*( )y nx nxn 12 ()() m x m xnm 1 1 12 0 ()() N m x m xnm N(Nmax(N1,N2

19、)点循环卷积为： 1 12 0 ( )()( ) N NN m x m xnmR n 12 ( )( )( ) c y nx nx n 22 ( )() N q xnx nqN 22 ()() N q xnmx nmqN 1 1 12 0 ( )( )()( ) N cN mq y nx mx nmqN Rn 交换求和次序交换求和次序 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 1 1 12 0 ( )( )()( ) N cN qm y nx m x nmqN Rn 1 1 12 0 ( )()() N m x m x nmqNy nqN ( )()( ) cN q y ny nqN Rn

20、 序列的序列的N点循环卷积是序列线性卷积点循环卷积是序列线性卷积(以以N为周期为周期)周周 期延拓序列的主值序列。故，当期延拓序列的主值序列。故，当NN1+N2-1时，线性时，线性 卷积与循环卷积相同。卷积与循环卷积相同。 循环卷积线性卷积 是针对DFT引出的一种表示方法信号通过LTI系统时，输出等于输入与系 统单位脉冲响应的卷积 两序列长度必须等，不等时按要求补零两序列长度可相等，也可不等 卷积结果长度与两信号长度相等，皆为N卷积结果长度N=N1+N2-1 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 图 3.4.2 线性卷积与循环卷积 012345 1 2 3 4 h(n) x(n) n

21、L 6 012345 1 2 3 4 n L 8 67 h(n) x(n) 012345 1 2 3 4 n L 10 67 h(n) x(n) （ d ） （ e ） ( f ) 012345 1 2 3 4 n N M1 8 67 h(n) x(n) * n M 5 01234 1 x(n) n N 4 0123 1 h(n) （ a ） （ b ） （ c ） 89 * * * 189 10 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 二. 线性性质 设x1(n)，x2(n)是长度为N的有限长序列。它们的N点 DFT分别为： )()( 11 nxDFTkX)()( 22 nxDFTkX

22、 12 ( ) ( )( )( ),01Y kDFT y naXkbXkkN 12 ( )( )( )y nax nbxn若若，则y(n)的N点DFT为： ( ) ( ),( )()( ) NN X kDFT x ny nxnmRn若 ( ) ( )( ) mk N Y kDFT y nWX k ,则 三. 时域循环移位定理 1 0 ()( ) N kn NNN n x nmRn W ( ) ( )Y kDFT y n 证明：证明： 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 1 0 () N kn NN n x nmW 1 ( ) Nm kmkn NNN nm Wx nW 令n+m=n 1

23、 () ( ) Nm k nm NN nm x nW ( ) km N WX k 1 0 ( ) N kmkn NNN n Wx nW ( ) kn NN x nW 周期为周期为N 1 0 ( ) N kmkn NN n Wx n W ( ) ( )( ) mk N Y kDFT y nWX k ( ) ( ),( )()( ) NN X kDFT x nY kXklRk若 ( ) ( )( ) nl N y nIDFT Y kWx n,则 四. 频域循环移位定理 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT )( 1 nx)( 2 nx 1 1212 0 ( )( )( )( )()( )

24、N NN m y nx nx nx m xnmRn )()( 11 nxDFTkX若 22 ,( )( ),XkDFT xn 12 ( ) ( )( )( )Y kDFT y nXk Xk则 五.时域循环卷积定理 ( ) ( )Y kDFT y n 证明：证明： 11 12 00 ( )() NN kn NN mn x mxnmW 1 0 ( ) N kn N n y n W 11 12 00 ( )()( ) NN kn NNN nm x m xnmRn W 交换交换 求和次序求和次序 令n-m=n 11 () 12 0 ( )( )( ) NNm k nm NN mnm Y kx mxnW

25、 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 11 12 0 ( )( )( ) NNm kmkn NNN mnm y kx m WxnW ( ) kn NN x nW 周期为周期为N 11 12 00 ( )( )( ) NN kmkn NN mn y kx m Wx n W 12 ( )( ),01X k XkkN 六.频域循环卷积定理 )()()( 21 nxnxny若 )()( 1 )()( 21 kXkX N nyDFTkY则 循环卷积亦满足交换律!? 1 12 0 1 ( )()( ) N NN l X l XklRk N 21 1 ( )( )( )Y kXkX k N 或 1

26、 21 0 1 ( )()( ) N NN l Xl XklRk N 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT ( )( ),( ) ( )xnx nX kDFT x n 设为的复共轭序列 ( )()DFT xnXNk ,则 七.复共轭序列的DFT ()( )DFT xNnXk ,则 若x(n)是实序列,则X(k)是有限长共轭对称序列;反之亦然 时域x(n)取共轭,对应于频域X(k)取有限长共轭对称 频域X(k)取共轭,对应于时域x(n)取有限长共轭对称 若X(k)是实序列,则x(n)是有限长共轭对称序列;反之亦然 两种情况为对偶关系两种情况为对偶关系 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变

27、换DFT x(n)X(k)=x(n) x(n)= x(N-n)，则 X(k)= X(N-k) x(n)= -x(N-n)，则 X(k)= -X(N-k) 对实序列进行对实序列进行DFT时，利用以上性质可减少运算量，时，利用以上性质可减少运算量， 提高运算效率。提高运算效率。 11 * 00 1 ( )( ),( )( )( )( ) NN nk DFT y nY kx n ynX k Yk N 则 ( )( ) ( )( ),x ny nNDFT x nX k设、为 点有限长序列. 八、Parseval定理 1 * 0 1 ( )( ) N k X k Yk N 11 * 00 1 ( )(

28、) NN kn N nk x nY k W N （ 11 * 00 1 ( )( ) NN kn N kn Ykx n W N 1 * 0 ( )( ) N n x n yn 证明：证明： 交换交换 求和次序求和次序 X(k)= X*(N-k) 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 11 * 00 1 ( )( )( )( )( )( ) NN nk x n ynX k Yky nx n N 上式中令 11 * 00 1 ( )( )( )( ) NN nk x n x nX k Xk N 则： 11 22 00 1 | ( )|( )| NN nk x nX k N 表明：一个序列在

29、时域计算的能量与在频域计算的能 量是相等的 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT l3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 l3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质 l3.3 频率域采样频率域采样 l3.4 DFT的应用举例的应用举例 第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT) 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 3.3 频率域采样频率域采样 一. 引言 时域：时域：)(tx)(nx 满足满足“时域采样定理时域采样定理”的采样的采样 频域：频域： )( j eX)(kX ？ (1)能否由频域离散采样X(k)恢复序列x(n)？ (2)能否由频

30、域抽样X(k)恢复原频率函数或X(z)？ (3)若能恢复其条件是什么？ 与时域采样相类比，我们提出以下几个问题？ (4)如何推导内插恢复公式? 若要回答这些问题，首先让我们回想下时域样定 理确定采样频率的方法？ 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT (1)计算时域采样信号的频谱 (2)分析时域采样信号频谱与原信号频谱关系（以采 样频率周期延拓） (3)从而确定采样频率与被采样信号频谱之间关系， 得到时域采样定理 时域采样从频域分析，频域采样是不是可以从时域分 析呢 时域采样对应频域周期延拓，频域采样是不是对应 时域周期延拓呢 二. 频域采样后能不失真恢复原序列的条件？ )(nxM n

31、njj enxeX )()( )( )( ) nk NN n X kx n WRk 频域采样频域采样 ( )( )(01) N IDFT X kxnnN 欲恢复原信号，即 )()(nxnxN 频域采样序列的离散付立叶逆变换: 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 1 0 1 ( )( ) N nk NN k xnX k W N 1 0 1 ( ) N mknk NN km x m WW N 1 () 0 1 ( ) N m n k N mk x mW N () r x nrN )(nxN r N nRrNnx)()( )(nxN)(nx 1 () 0 1, 1 0 N k m n N

32、k mnrN r W Nm 其他 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 利用频域采样X(k)表示X(z) 1 0 )()( N n nk N WnxkX 1 0 )( 1 )( N k nk N WkX N nx 1 0 )()( N n n znxzX 1 0 1 0 )( 1 N n n N k nk N zWkX N n N k N n nk N zWkX N 1 0 1 0 )( 1 1 0 1 1 1 )( 1 N k k N NNk N zW zW kX N 1 0 1 1 )(1 N k k N N zW kX N z 1 1 0 11 ( ),( )( )( ) 1 N

33、N kk k k N z zX ZX kz NWz 令则 三. 内插公式 为X(k)表示X(z) 的内插公式 ( ) k z称为内插函数 1 1 0 1( ) ( ) 1 N N k k N zX k X z NWz 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 复习与提问复习与提问 1、线性卷积与循环卷积的关系，为什么可以用DFT计算 线性卷积？ 2、频域采样定理 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT l3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 l3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质 l3.3 频率域采样频率域采样 l3.4 DFT的应用举例的应用举例 第

34、第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT) 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 3.4 DFT的应用举例的应用举例 一. 引言 DFT的应用使数字信号处理可以在频域进行， 由于DFT的快速算法FFT的出现， 使DFT在数字通 信、 语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿 真、 系统分析、 雷达理论、 光学、 医学、 地震 以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。然而， 各种应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依 据，或者以DFT作为连续FT的近似为基础。 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 12 ( )( )( )y nx nx n 1122 ( ) ( ),(

35、 )( )X kDFT x nXkDFT x n 二、用DFT计算线性卷积 (1)DFT计算循环卷积 1212 ( ) ( )( )( )( ),01Y kDFT x nx nX k XkkL 可用上式计算循环卷积。从另一方面看： 12 ( )( )( )( )IDFT Y ky nx nx n 所以，可按下面的计算框图从频域计算循环卷积 1 12 0 ( )()( ) L LL m x m xnmR n 图 3.4.1 用DFT计算循环卷积 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 很多情况下 需要计算两个序列的线性卷积， 为了提高 运算速度， 希望用DFT(FFT)计算。 而DFT只能

36、直接用来计 算循环卷积， 什么时候循环卷积与线性卷积相等呢？ 循环卷积与线性卷积相等条件：循环卷积与线性卷积相等条件：L M+N-1。所以，。所以， 如果取如果取L = M+N-1，则可用DFT（FFT）计算线性卷积。 计算框图如下： 图 3.4.3 用DFT计算线性卷积框图 补 L N 个 零 点 L 点 DFT 补 L M 个 零 点 L 点 DFT L 点 IDFT y (n ) h (n ) x (n ) (2)DFT计算线性卷积 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT (2)长序列的分段卷积 ( )x n ( )h n ( )y n 没有全部进入，如何实现卷积，全部进入再 卷积

37、，又如何保证实时实现？ ( )x n 数字信号处理的优势是“实时实现”，即信号进来后， 经处理后马上输出出去。然而： ( )( )( )( ) () k y nx nh nx k h nk 较短（FIR：长度在2050之间）， 可能 很长，也不适宜直接卷积。 ( )h n( )x n 另外： 解决方法：分段卷积 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 0 ( )( ), ( )( )() kkM k x nx nx nx nRnkM 其中 00 ( )( )( ) kk kk h nx ny n 设序列h(n)长度为N， x(n)为无限长。 将x(n)均匀 分段， 每段长度取M， 则:

38、0 ( )( )( )( )( ) k k y nh nx nh nx n )()()(nhnxny kk 上式中M N 1 ( ),(1)2 ( ),(1)(2)2 k k y n kMnkMN ynkMnkMN ( ),(1)1 0, x nkMnkM 其它 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 图 3.4.4 重叠相加法卷积示意图 M 0 N MM x1(n)x0(n)x2(n) N M 1 N M 1 y0(n) y1(n) N M 1 y2(n) 2MM 3M N 1 0 N 1 y(n) y0(n) y1(n) y2(n) n n n n n n h(n) 第第3章离散傅里

39、叶变换章离散傅里叶变换DFT 三、用DFT对信号进行谱分析 1. 用DFT对连续信号进行谱分析 ( )() FT x tX j 1 ( )() FT x atX ja a 若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽。若信号的 频谱有限宽，则其持续时间无限长。 按采样定理采样时，以上两种情况的采样序列均应无 限长，不满足DFT条件。 所以，对频谱很宽的信号一般用预滤波法滤除幅度 较小的高频成分。对持续时间很长的信号只好截取有限 点进行DFT。 所以，用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似的， 近似程度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。 实际上从工程角度，滤除幅度很小的高频成分和截 去幅度很小的部分时

40、间信号是允许的。 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 2 ()( )( ) jft aaa XjfFT x tx t edt 1 2 0 ()() N jfnT a n X jfTx nT e 假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限 信号。以下分析连续信号频谱特性的DFT近似。 设xa(t)持续时间为Tp， 最高频率为fc。其傅立叶变换为： ( )()() aat nT x nx nTx nT 采样:(1/,2) ssc Tfff 共采样N点，则Tp=NT。并对表示Xa(jf)的积分作零阶近 似(t=nT, dt=T)得： ( ()() s X j frfX jf 对X(j

41、f)在区间0, fs上等间隔采样N点,采样间隔为F。 () s X jff周期为 11 s p f F NNTT , sp f TN F关系 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 1 2 0 ()() N jkFnT a n X jkFTx nT e 1 2 0 () s f N jknT N a n Tx nT e 2 1 0 ()(),01 N jkn N a n X jkFTx nT ekN ( )(), ( )() aa XkX jkfx nx nT令 则 2 1 0 ( )( ) ( ) N jkn N a n XkTx n eT DFT x n 1 2 0 ()() N j

42、fnT a n X jfTx nT e f=kF带入式：得： 同理，由 2 ( )()() jft aaa x tIFT XjfXjf edf 1 ( )( ) a x nIDFT Xk T 可推出 连续信号的 频谱特性可 以通过对连 续信号采样 并进行DFT 再乘以T来 近似。 栅栏效应：DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换,其频谱将 不再是连续函数。只能看到N个离散采样点的谱特性。 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 由以上分析可以看出利用DFT对连续信号进行 谱分析，最主要的两个问题就是：1、谱分析范围； 2、频率分辨率。 (1)谱分

43、析范围谱分析范围 指信号的最高频率fc，受采样定理限制。 fc fs/2 (2)频率分辨率（物理分辨率，计算分辨率）频率分辨率（物理分辨率，计算分辨率） 指将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力， 用频率采样间隔F描述。 F = fs/N（矩形窗情况） 1/ p TF (3)谱分析参数确定谱分析参数确定 N不变，要提高频率分辨率，必须降低fs，会导致谱 分析范围减小。同时T增大，因NT=Tp，故Tp增大。 fs不变，要提高频率分辨率，必须增加N。因NT=Tp， T=1/ fs，故Tp必须增加。 因此，若要增加频率分辨率必须增加信号记录时间Tp 更深入的理解可参阅胡广书编著教材数字信 号处理理论

44、、算法和实践第二版相应章节。 2/ c NfF 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 11 0.1 10 P Ts F 3 min max min 0.1 0.2 10 500 P T Ts N 例 3.4.1 对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率F10 Hz，信 号最高频率fc=2.5 kHz， 试确定最小记录时间TPmin， 最大 的采样间隔Tmax， 最少的采样点数Nmin。 如果fc不变， 要 求谱分辨率增加一倍， 最少的采样点N和最小的记录时间 是多少? 解：1/ p TF2/ c NfF min 0.1 P Ts 2/2 2500/10500 c NfF min 500N 谱

45、分辨率增加一倍，F=5Hz min 1/1/50.2 P TFs min 2/2 2500/5 1000 c NfF 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT 2. 用DFT对序列进行谱分析 序列序列x(n)的的N点点DFT是是 x(n)的的DTFT在在0,2上的上的N 点等间隔采样。因此序列的傅立叶变换可利用点等间隔采样。因此序列的傅立叶变换可利用DFT来计来计 算。算。 DFT是由周期序列DFS取主值区间得到的一种变换。 因此，DFT可用于周期序列的谱结构分析。 由信号的最高频率fc确定抽样频率fs ； DFT进行谱分析的步骤： 根据分辨率的需要，确定数据长度N ； 计算数据的N点 DFT 。 要根据分辨率的要求确定模拟信号的长度Tp , 若Tp可以无限长，则 第第3章离散傅里叶变换章离散傅里叶变换DFT () a xj ( ) a x t( ) a x n () j a x e ( ) ( ) a x n w n ()* () jj a x ew e ( ) N x n ( ) N Xk ( )x n ( )X k 周期延拓周期延拓 周期延拓周期延拓 采样采样 t=nT 卷积卷积 截短截短 采样采样 0 2 NT 取一个周期取一个