第四讲力矩平衡

1、第四讲力矩平衡 有固定转动轴有固定转动轴 物体的平衡物体的平衡 第四讲力矩平衡 一力矩：一力矩： MFL 1力臂：力臂： （1）转动轴到力的作用线的垂直距离，）转动轴到力的作用线的垂直距离， （2）最大可能值为力的作用点到转动轴）最大可能值为力的作用点到转动轴 的距离。的距离。 第四讲力矩平衡 练习：如图所示，直杆练习：如图所示，直杆OA可绕可绕O点转动，图中虚线点转动，图中虚线 与杆平行，杆端与杆平行，杆端A点受四个力点受四个力F1、F2、F3、F4的作用，的作用， 力的作用线与力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴杆在同一竖直平面内，它们对转轴O的的 力矩分别为力矩分别为M1、M2

2、、M3、M4，则它们力矩间的大小关则它们力矩间的大小关 系是系是（） （A）M1M2M3M4， （B）M2M1M3M4， （C）M4M2M3M1， （D）M2M1M3M4。 O F2 F3 F4 O F1 A A 第四讲力矩平衡 2力矩计算的两种常用等效转化方法：力矩计算的两种常用等效转化方法： （1 1）将力分解后求力矩，）将力分解后求力矩， L F F L MFL sin F1 F2 MF1 L FL sin 第四讲力矩平衡 O F2 F3 F4 O F1 A A 练习：如图所示，直杆练习：如图所示，直杆OA可绕可绕O点转动，图中虚线点转动，图中虚线 与杆平行，杆端与杆平行，杆端A点受四个

3、力点受四个力F1、F2、F3、F4的作用，的作用， 力的作用线与力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴杆在同一竖直平面内，它们对转轴O的的 力矩分别为力矩分别为M1、M2、M3、M4，则它们力矩间的大小关则它们力矩间的大小关 系是系是（） （A）M1M2M3M4， （B）M2M1M3M4， （C）M4M2M3M1， （D）M2M1M3M4。 第四讲力矩平衡 2力矩计算的两种常用等效转化方法：力矩计算的两种常用等效转化方法： （2）重力矩的两种计算方法：）重力矩的两种计算方法： a a G G MG sin a 2 第四讲力矩平衡 2力矩计算的两种常用等效转化方法：力矩计算的两种常用等效

4、转化方法： （2）重力矩的两种计算方法：）重力矩的两种计算方法： a a G G/2 G/4 MG sin a 2 a sin G 4 M sin a 2 G 2 第四讲力矩平衡 3力矩的方向：力矩的方向： 力分解法：力分解法： F F2 F1 第四讲力矩平衡 二平衡与平衡条件：二平衡与平衡条件： 1平衡状态：静止或匀速转动。平衡状态：静止或匀速转动。 2平衡条件：合外力矩为零。平衡条件：合外力矩为零。 M顺 顺 M逆 逆 第四讲力矩平衡 三力矩平衡条件的应用：三力矩平衡条件的应用： （1）选取研究对象，）选取研究对象， （2）受力分析（转动轴上的受力不用分）受力分析（转动轴上的受力不用分 析

5、），析）， （3）对无明显转动轴的物体还要选取转）对无明显转动轴的物体还要选取转 动轴动轴 （4）确定力臂、力矩方向，）确定力臂、力矩方向， （5）列方程解。）列方程解。 解题步骤：解题步骤： 第四讲力矩平衡 C A O 30 B 例例1：均匀板重：均匀板重300 N，装置如图，装置如图，AO长长4 m，OB 长长8 m，人重，人重500 N，绳子能承受的最大拉力为，绳子能承受的最大拉力为200 N，求：，求： 人能在板上安全行走的范围。人能在板上安全行走的范围。 8m 4m 2m 第四讲力矩平衡 C A O 30 B C A O 30 B 解解: G1 G2 x1 2m G1x1G2 2 G

6、1 G2 2m x2 FT G1x2G2 2 FT sin 308 x11.2mx20.4m 第四讲力矩平衡 例例2：一杆秤如图，杆及钩的总重为一杆秤如图，杆及钩的总重为G，秤砣重为，秤砣重为P， 已知秤钩与杆的重心到提纽的距离已知秤钩与杆的重心到提纽的距离OA和和OG，求：（，求：（1） 零刻度的位置，（零刻度的位置，（2）证明刻度是均匀的，（）证明刻度是均匀的，（3）讨论若）讨论若 秤砣换成秤砣换成2P，某刻度的读数是否为原来的两倍？，某刻度的读数是否为原来的两倍？ A G O B D P 第四讲力矩平衡 解解： G AOG P C G OG P OC G AOG P C W B W OA

7、G OG P OB P OC P CB W OAP CB 第四讲力矩平衡 解解： G 2P AOGC G OG 2P OC G 2P AOGC W B W OAG OG 2P OB 2P OC2 2P CB W OA2P CB C比比C点更左些点更左些 CB为为CB的一半的一半 第四讲力矩平衡 解解：G OG 2P OC G P AOGB W OAG OG 2P OB 2P OC2P CB W OA2P CB C比比C点更左些点更左些 CB为为CB的一半的一半 CCB 第四讲力矩平衡 1. .如左图匀质直角尺重为如左图匀质直角尺重为2G，C端为水平轴，不计端为水平轴，不计 摩擦，当摩擦，当BC

8、部分处于水平静止时，试求加在部分处于水平静止时，试求加在A端端的最小的最小 作用力。作用力。 A C B 第四讲力矩平衡 A C B A C B 解解：G L 2 G L G F G F 2L 2G 第四讲力矩平衡 2均匀杆，每米长重均匀杆，每米长重30 N，支于杆的左端，在离，支于杆的左端，在离 左端左端0.2 m处挂一重为处挂一重为300 N的重物，在杆的右端加一竖的重物，在杆的右端加一竖 直向上的拉力直向上的拉力F，杆多长时使杆平衡所需加的拉力，杆多长时使杆平衡所需加的拉力F最最 小，此最小值为多大？小，此最小值为多大？ F 第四讲力矩平衡 解：解： F G1G2 FxG1x/2G2 l

9、 x2/2G2l F15x60/x， 因为因为15x 60/x为常数为常数 所以所以15x60/x时时 F有最小值。有最小值。 即即x2m时时 Fmin60N。 第四讲力矩平衡 3如图，重为如图，重为G、边长为、边长为a的均匀正方形板与长为的均匀正方形板与长为 2a的轻杆相连，支于轻杆中点，在杆的右端施一竖直向的轻杆相连，支于轻杆中点，在杆的右端施一竖直向 下的力下的力F，使杆水平，求力，使杆水平，求力F的大小，若为使杆与水平方的大小，若为使杆与水平方 向成向成30 角，力角，力F又应多大又应多大？ a a a A a G F F 甲 乙 第四讲力矩平衡 解法一：解法一： a a a A a

10、G F F 甲 乙 G G（1.5a Fa cos 30 ， 0.5acos 30 sin30 ） 第四讲力矩平衡 解法二：解法二： a a a A a G F F 甲 乙 G Gcos 30 1.5a Fa cos 30 0.5aG sin30 第四讲力矩平衡 例例4:有四根相同的刚性长薄片有四根相同的刚性长薄片A、B、C、D，质量均，质量均 为为m，相互交叉成井字形，接触点均在各薄片的中点，相互交叉成井字形，接触点均在各薄片的中点， 放置在一只水平的碗口边（俯视图如图所示），并在放置在一只水平的碗口边（俯视图如图所示），并在D 薄片右端的薄片右端的N点放上质量也为点放上质量也为m的小物体，

11、那么的小物体，那么D薄片中薄片中 点受到的压力为点受到的压力为_。 C B D N A FNB 2LFNA Lmg L 2FNBFNAmg FNB FNA A mg 第四讲力矩平衡 C B D N A FNB 2LFNA Lmg L 2FNBFNAmg 2FNCFNBmg 2FNDFNCmg FNA 2Lmg 2LFND Lmg L mg FNA FND mg 第四讲力矩平衡 C B D N A 2FNBFNAmg 2FNCFNBmg 16FND8FNC8mg FNA 2Lmg 2LFND Lmg L 2FNAFND3mg 4FNB2FNA2mg 8FNC4FNB4mg 2FNDFNCmg 2

12、FNAFND3mg FND17mg/15 15FND17mg 第四讲力矩平衡 A B 四动态平衡：四动态平衡： 例：如图所示，一根均匀直棒例：如图所示，一根均匀直棒AB，A端用光滑铰链端用光滑铰链 固定于顶板上，固定于顶板上，B端搁在一块表面粗糙的水平板上，现端搁在一块表面粗糙的水平板上，现 设板向上运动而棒设板向上运动而棒AB匀速转动，则木板对棒的弹力说法匀速转动，则木板对棒的弹力说法 正确的是正确的是（ ） （A）逐渐变大，）逐渐变大， （B）先变大后变小，）先变大后变小， （C）先变小后变大，）先变小后变大， （D）逐渐变小。）逐渐变小。 G GLG FNLf FNLN FN Ff Ls

13、in Lcos FN GLsin /2 1 cot G/2 第四讲力矩平衡 练习练习1：一均匀的直角三直形木板：一均匀的直角三直形木板 ABC，可绕过，可绕过C点的水平轴转动，如右图点的水平轴转动，如右图 所示。现用一始终沿直角边所示。现用一始终沿直角边AB且作用在且作用在 A点的力点的力F，使，使BC边慢慢地由水平位置转边慢慢地由水平位置转 至竖直位置。在此过程中，力至竖直位置。在此过程中，力F的大小与的大小与 角变化的图线是（角变化的图线是（ ） F A B C F O 90 F O 90 F O 90 90 F O A B C D 第四讲力矩平衡 解：解： A B C G F FLFGL

14、G G 第四讲力矩平衡 解：解： A B C FLFGLG G F FLGa cos( ) a G 第四讲力矩平衡 练习练习1：一均匀的直角三形木板：一均匀的直角三形木板 ABC，可绕过，可绕过C点的水平轴转动，如右图点的水平轴转动，如右图 所示。现用一始终沿直角边所示。现用一始终沿直角边AB且作用在且作用在 A点的力点的力F，使，使BC边慢慢地由水平位置转边慢慢地由水平位置转 至竖直位置。在此过程中，力至竖直位置。在此过程中，力F的大小与的大小与 角变化的图线是（角变化的图线是（ ） F A B C F O 90 F O 90 F O 90 90 F O A B C D 第四讲力矩平衡 A

15、B C G 2.如图所示，质量为如图所示，质量为m粗细均匀的均质细杆粗细均匀的均质细杆AB在在B点用铰链与点用铰链与 墙连接，杆与竖直墙面的夹角为墙连接，杆与竖直墙面的夹角为 37 ，A端固定一轻质光滑小滑端固定一轻质光滑小滑 轮，墙上轮，墙上C点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有质点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有质 量为量为M的物体的物体G。目前杆。目前杆AB与物体与物体G都处于静止状态，则杆的质量都处于静止状态，则杆的质量 与物体的质量的比值为与物体的质量的比值为m:M_；若略微增加物体；若略微增加物体G的质量，的质量， 仍要使整个系统处于平衡状态，可适当仍要使整个

16、系统处于平衡状态，可适当_(选填选填“增大增大”或或 “减小减小”)角的大小。（角的大小。（sin37 0.6，cos37 0.8） Mg MgLsin mgLsin /2 MgLcos mg Mg 2M(cos sin )msin m:M2(cos sin )/sin 2(cot 1) 2:3 角改变后上面绳不水平了，角改变后上面绳不水平了， 上述式子不能用了上述式子不能用了 第四讲力矩平衡 A B C G 2.如图所示，质量为如图所示，质量为m粗细均匀的均质细杆粗细均匀的均质细杆AB在在B点用铰链与点用铰链与 墙连接，杆与竖直墙面的夹角为墙连接，杆与竖直墙面的夹角为 37 ，A端固定一轻质

17、光滑小滑端固定一轻质光滑小滑 轮，墙上轮，墙上C点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有 质量为质量为M的物体的物体G。目前杆。目前杆AB与物体与物体G都处于静止状态，则杆的都处于静止状态，则杆的 质量与物体的质量的比值为质量与物体的质量的比值为m:M_；若略微增加物体；若略微增加物体G 的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当_(选填选填 “增大增大”或或“减小减小”) 角的大小。（角的大小。（sin37 0.6，cos37 0.8） MgLsin mgLsin /2 MgLcos mg Mg G

18、增大时，逆时针力矩增加的多增大时，逆时针力矩增加的多 Mg 要再平衡必须增大顺时针力矩的要再平衡必须增大顺时针力矩的 力臂而减小逆时针力矩的力臂力臂而减小逆时针力矩的力臂 增大增大 角角 第四讲力矩平衡 3如图所示，一根不均匀的铁棒如图所示，一根不均匀的铁棒AB与一辆拖车相连接，连与一辆拖车相连接，连 接端接端B为一固定水平转动轴，拖车在水平面上做匀速直线运动，为一固定水平转动轴，拖车在水平面上做匀速直线运动， 棒长为棒长为L，棒的质量为，棒的质量为40kg，它与地面间的动摩擦因数为，它与地面间的动摩擦因数为 3/3，棒，棒 的重心的重心C距转动轴为距转动轴为2L/3，棒与水平面成，棒与水平面

19、成30 角。运动过程中地面角。运动过程中地面 对铁棒的支持力为对铁棒的支持力为_N；若将铁棒；若将铁棒B端的固定转动轴向下移端的固定转动轴向下移 一些，其他条件不变，则运动过程中地面对铁棒的支持力将比原一些，其他条件不变，则运动过程中地面对铁棒的支持力将比原 来来_（选填（选填“增大增大”、“不变不变”或或“减小减小”）。）。 mg FN Ff FNL cos FNL sin 200 N FN2mg/(1 tan ) mg cos 3 2L 第四讲力矩平衡 五平衡综合问题五平衡综合问题: : 解平衡问题的步骤：解平衡问题的步骤： （1 1）确定研究对象，）确定研究对象， （2）受力分析，）受力

20、分析， （3）力的合成分解，）力的合成分解， （4）选择平衡条件列方程。）选择平衡条件列方程。 第四讲力矩平衡 例例1：如图所示，光滑水平面上有一长木板，一均：如图所示，光滑水平面上有一长木板，一均 匀杆质量为匀杆质量为m，上端铰于，上端铰于O点，下端搁在板上，杆与板点，下端搁在板上，杆与板 间的动摩擦因数为间的动摩擦因数为 1/2，杆与竖直方向成，杆与竖直方向成45 角，（角，（1） 为使板向右匀速运动，向右的水平拉力为使板向右匀速运动，向右的水平拉力F应多大？（应多大？（2） 为使板向左匀速运动，向左的水平拉力为使板向左匀速运动，向左的水平拉力F应多大？应多大？ O F 第四讲力矩平衡 解

21、：向右匀速运动时解：向右匀速运动时 O F G f N f NL cos 45 GLcos 45 /2 NL sin 45 Nmg FFf FN mg mg/2 对杆：对杆： 对板：对板： 第四讲力矩平衡 解：向左匀速运动时解：向左匀速运动时 O F G F N f NL cos 45 GLcos 45 /2 NL sin 45 Nmg/3 f FFf FN mg/3 mg/6 对杆：对杆： 对板：对板： 第四讲力矩平衡 练习练习1：如图所示是一种钳子，：如图所示是一种钳子，O是它的转动轴，在其两手柄是它的转动轴，在其两手柄 上分别加大小恒为上分别加大小恒为F、方向相反的两个作用力，使它钳住长

22、方体、方向相反的两个作用力，使它钳住长方体 工件工件M，工件的重力可忽略不计，钳子对工件的压力大小为，工件的重力可忽略不计，钳子对工件的压力大小为FN， 当另外用沿虚线方向的力把工件向左拉动时，钳子对工件的压力当另外用沿虚线方向的力把工件向左拉动时，钳子对工件的压力 大小为大小为FN1，而另外用沿虚线方向的力把工件向右拉动时，钳子对，而另外用沿虚线方向的力把工件向右拉动时，钳子对 工件的压力大小为工件的压力大小为FN2，则，则 （A）FN1FNFN2，（，（B）FN1FNFN2， （C）FN1FNFN2，（，（D）FN1FN，FN2FN。 FN Ff Ff 逆逆 顺顺 逆逆 第四讲力矩平衡 O

23、 F 第四讲力矩平衡 练习练习2：如图所示，重为：如图所示，重为G的物体的物体A靠在光滑竖直墙上，一端靠在光滑竖直墙上，一端 用铰链铰在另一墙上的匀质棒支持物体用铰链铰在另一墙上的匀质棒支持物体A，棒重为，棒重为G，棒与竖直，棒与竖直 方向的夹角为方向的夹角为 ，则（，则（） （A）物体）物体A对棒端的弹力、摩擦力的合力方向必沿棒的方向，对棒端的弹力、摩擦力的合力方向必沿棒的方向， （B）增大棒重）增大棒重G，物体，物体A对棒的摩擦力将增大，对棒的摩擦力将增大， （C）增大物重）增大物重G，且棒仍能支持，且棒仍能支持A，则，则A对棒的摩擦力将增对棒的摩擦力将增 大，而弹力不变，大，而弹力不变，

24、 （D）水平向右移动铰链，使）水平向右移动铰链，使 角增大，但棒仍能支持角增大，但棒仍能支持A，则，则 A对棒的弹力将增大。对棒的弹力将增大。 G G Ff Ff FN FfG FNLN GLGFfLf 第四讲力矩平衡 例例2：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为R）的柱体放）的柱体放 在水平地面上，一根匀质木棒在水平地面上，一根匀质木棒OA长为长为3R，重为，重为G。木棒的。木棒的O端与端与 地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一 水平推力水平推力F作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水

25、平地面向左缓慢作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢 移动。问：移动。问： （1）当木棒与地面的夹角）当木棒与地面的夹角 30 时，柱体对木棒的弹力多大？时，柱体对木棒的弹力多大？ F O A G FN R G 1.5R cos FN R cot 3G/4 FN G sin 2 3 第四讲力矩平衡 例例2：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为R）的柱体放）的柱体放 在水平地面上，一根匀质木棒在水平地面上，一根匀质木棒OA长为长为3R，重为，重为G。木棒的。木棒的O端与端与 地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一地面上的铰链连接，木

26、棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一 水平推力水平推力F作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢 移动。问：移动。问： （2）此时水平推力）此时水平推力F多大？多大？ F O A FN FFN sin 3G/8 3G/4 G sin2 2 3 FN G sin 2 3 第四讲力矩平衡 例例2：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为R）的柱体放）的柱体放 在水平地面上，一根匀质木棒在水平地面上，一根匀质木棒OA长为长为3R，重为，重为G。木棒的。木棒的O端与端与 地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不

27、计。现用一地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一 水平推力水平推力F作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢 移动。问：移动。问： （3）在柱体向左缓慢移动过程中，柱体对木棒的弹力及水平）在柱体向左缓慢移动过程中，柱体对木棒的弹力及水平 推力推力F分别如何变化？分别如何变化？ F O A 增大增大 增大增大F G sin2 2 3 FN G sin 2 3 第四讲力矩平衡 练习练习1：如图所示，均匀板质量为：如图所示，均匀板质量为m/2，放在水平地，放在水平地 面上，可绕过面上，可绕过B端的水平轴自由转动，质量为端的水平轴自

28、由转动，质量为m的人站在的人站在 板的正中，通过跨过光滑滑轮的绳子拉板的板的正中，通过跨过光滑滑轮的绳子拉板的A端，两边端，两边 绳子都恰竖直，要使板的绳子都恰竖直，要使板的A端离地，人对绳的最小拉力端离地，人对绳的最小拉力 为多大？为多大？ B A 第四讲力矩平衡 解法一解法一：隔离法：隔离法 mg FNFT FT FN mg/2 FTFNmg FTLmgL/4 FNL/2 B A 第四讲力矩平衡 B A 解法二解法二：整体法：整体法 FT FT 3mg/2 FTLFTL/2 3mgL/4 FTmg/2 第四讲力矩平衡 2如图所示，两根质量相等的均匀重杆如图所示，两根质量相等的均匀重杆OA和

29、和AB，O 与与A处均为无摩擦铰链连接，且处均为无摩擦铰链连接，且OAAB，为使系统静止，为使系统静止 在图示位置，则在在图示位置，则在B端需加的力应端需加的力应（） （A）在）在BA外侧，斜向上，外侧，斜向上， （B）可沿）可沿BA方向，方向， （C）只能在）只能在OBA之内斜向上，之内斜向上， （D）可沿）可沿BO方向。方向。 O A B 第四讲力矩平衡 2如图所示，两根质量相等的均匀重杆如图所示，两根质量相等的均匀重杆OA和和AB， O与与A处均为无摩擦铰链连接，且处均为无摩擦铰链连接，且OAAB，为使系统静，为使系统静 止在图示位置，则在止在图示位置，则在B端需加的力应（端需加的力应（

30、） （A）在）在BA外侧，斜向上，外侧，斜向上， （B）可沿）可沿BA方向，方向， （C）只能在）只能在OBA之内斜向上，之内斜向上， （D）可沿）可沿BO方向。方向。 O A B 第四讲力矩平衡 A B C 3如图所示，均匀细杆如图所示，均匀细杆AB质量为质量为M，A端装有转轴，端装有转轴， B端连接细线通过光滑滑轮和质量为端连接细线通过光滑滑轮和质量为m的重物的重物C相连，若相连，若 杆杆AB呈水平，细线与水平方向夹角为呈水平，细线与水平方向夹角为 时恰能保持静止，时恰能保持静止， 则则M与与m的关系是的关系是_，杆对轴，杆对轴A的作用力大小的作用力大小 为为_。 Mg mg MgL/2mgL sin M2m sin Fy Fx Fymg sin Mg Fxmgcos 第四讲力矩平衡 A B C 3如图所示，均匀细杆如图所示，均匀细杆AB质量为质量为M，A端装有转轴，端装有转轴， B端连接细线通过光滑滑轮和质量为端连接细线通过光滑滑轮和质量为m的重物的重物C相连，若相连，若 杆杆AB呈水平，细线与水平方向夹角为呈水平，细线与水平方向夹角为 时恰能保持静止，时恰能保持静