弹性力学基本概念和考点

1、第八早基本概念:(1) 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定(2) 切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的(大小相等，正负号也相同)。(3) 弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。(4) 平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时，z 0, zx 0, zy 0，由切应力互等，z 0, xz 0, yz 0，这样只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即x, y, xy yx，所以这种问题称为平面应力冋题。设有很长的柱形

2、体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，zx 0, zy 0，根据切应力互等，xz 0, yz 0。由胡克定律，zx 0, zy 0，又由于Z方向的位移W处处为零，即z 0。因此, 只剩下平行于xy面的三个应变分量，即x, y, xy，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。(5) 一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。（6）圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相 同），那么，近处的应力分布将有显著的改

3、变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。（7）轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通 过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。 这种问题称为空间轴 对称冋题。一、平衡微分方程：（1）平面问题的平衡微分方程；xxyx fx 0 y（记）xyxy fy 0y（2）平面问题的平衡微分方程（极坐标）；f 011、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。页脚内容8几何方程;(1) 平面问题的几何方程;（记）xy(2) 平面问题的几

4、何方程(极坐标)u12u 1 V12v u V1 2 1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。(刚体位移)2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。物理方程;（1）平面应力的物理方程;丄xEx （记）1 yE2xyxy平面应变的物理方程;xyxy（3）极坐标的物理方程（平面应力）)2(1 )E（4）极坐标的物理方程（平面应变）；2(1四、边界条件;（1）几何边界条件；u s us亠平面问题：S _在 Su 上;V s V V（2）应力边界条件；平面问题：1 x m yx sf xs -(记)1 xym y sf y(3) 接触条件;光滑接触：n n n为接触面的

5、法线方向非光滑接触：nn n为接触面的法线方向UnUn(4)位移单值条件；(5) 对称性条件:在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴(通 过该轴的任一平面都是对称面)，则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。 这种问题称为空间轴 对称冋题。、概念1弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。2固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材料力 学。3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学

6、和结构力学的研究范围更为 广泛5弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法 .6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答；7弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。8几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。9.物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。10平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。12边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式

7、。它可以分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。13. 圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变， 而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计 。14. 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都等于 零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因为主失量和主矩 都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。15求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。第六章16弹性力

8、学的基本原理：解的唯一性原理、解的叠加原理、圣维南原理。会推导两种平衡微分方程17逆解法步骤：(1先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数(2)由式(2-24),根据应力函数求得应力分量(3)在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件(2-15或次要边界上的积分边界条件，分析这些应力 分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问 题。(或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数18半逆解法步骤：(1对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力 特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结

9、论，假设部分 或全部应力分量的函数形式(2)按式(2-24)，由应力推出应力函数f的一般形式(含待定函数项)；(3)将应力函数f代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f的具体表达形式；(4) 将应力函数f代入式(2-24),由应力函数求得应力分量(5) 根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全(x1xym)s f x( S)5平面问题的应力边界条件为ym)s fy(S)填空页脚内容9第八早h/2h/2-计h/2 (x ) xidy 1h/2fx(y)dy 1算h/2h/2-7.圣维南原理的三个积分式/2 （x ) xi ydy 1h/2 fx(y)ydy 1理h/2h/2h

10、/2 (xy ) xidy 1fy(y)dy 1h/2 y h/2h/2( x)x idy 1FnMFsh/2h”（ x）x i ydy 1 如果给出单位宽度上面力的主矢量和主矩，则三个积分边界条件变为h/2h/2（ xy）x idy 1x8.艾里应力函数2 (x，y) f x21 xfyy2(x，y) f y2yxyx2 (x, y)x y计算页脚内容14、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题2分，共10 分）1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。A相容方程B 近似方法C.边界条件D.附加假定2、根据圣

11、维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（B ） 的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。A. 几何上等效B.静力上等效C.平衡D.任意3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本 方程不完全相同，其比较关系为（B ）0A. 平衡方程、几何方程、物理方程完全相同B. 平衡方程、几何方程相同，物理方程不同C. 平衡方程、物理方程相同，几何方程不同D. 平衡方程相同，物理方程、几何方程不同在研究方法方面：材力考虑有限体 V的平衡，结果是近似的；弹力考虑微 分体dV的平，结果比较精确。4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为4木4木4木c

12、422240，x x y y236、设有函数qx4y3 3y 14h3h23qyyy2匚35hh(1)判断该函数可否作为应力函数？(3分)(2) 选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系(见题九图)中能解决什么问题(I h)。( 15分)解:4不4不o,显然满足。因此，该函数(1)将代入相容方程育2-x x y可以作为应力函数。Oh/2h/2(2)应力分量的表达式:26qx2y如3qyxy2h3h33h2q4y33y1y2 x2h3h26qxh22yxyxyh34考察边界条件：在主要边界y= h/2上，应精确满足应力边界条件34y3y4y3V3yy h226qx hxy在次要边

13、界X= 0上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件:h/2h/20dy：警帮dy。（奇函数）h/2h/2ydyh/2h/24qy3h3型ydy3hh/2h/2xy0dy在次要边界X= l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件:h/2h/2xxldyh/2h/26ql2y奇4qy3肓3qy dy 0（奇函数）3hh/2xxiydyh/26ql2y4qy33qyqlh/2h/2h3ydy3h2h/2h/2xyxidyh/2h/26ql hl h3 42yql对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板 内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知， 左

14、边、下边无面 力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为 一力偶和铅直面力。所以，能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q的问题。第六章2009 2010学年第 二 学期期末考试试卷（A ）卷一. 名词解释（共10分，每小题5分）1.弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的 应力、应变和位移。2.圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但 静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负。4.弹性力

15、学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向 沿坐标轴负向 的面。1. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体?两类平面问题各有哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量 存在，且仅为x,y的函数平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量x, y, xy存第六早在，且仅为x,y的函数。2.

16、 （ 8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数 求解，应力函数必须满足哪些条件？答：（1）相容方程：40（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，s s）:1 x m yx s fx一 在s s上m y 1 xy s f y（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。二. 问答题（36）1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚 1）页脚内容16图5-1解：在主要边界y h 2上，应精确满足下列边界条件:qx l， yx y h2 0 ；y y h2 0， yx y h2第八早在次要边界x 0上，应用圣维南

17、原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚 1时,x xodyx x o ydyh2M， h 2 xy x ody在次要边界x l上，有位移边界条件:u x I 0， v x I 0。这两个位移边页脚内容20界条件可以改用三个积分的应力边界条件代替:x x odyF nqilx x o ydyFslql 2 qlh62h 2h 2 xy x 0dyqi22. （ 10分）试考察应力函数cxy3，c 0,能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次 要边界上表示出面力的主矢和主矩。解：（1）相容条件：将44cxy3代入相容方程 一222x x y然满足(

18、2)应力分量表达式:22 6cxy, y 0 , xy 3cy y(3)边界条件：在主要边界y上，即上下边，面力为 yyh2 3chx ,xy y h 2在次要边界X 0,x l上，面力的主失和主矩为h 2h 2h 2h2h 2h 2odyoydyxydy3cy2dy-h3h24h2 h 2h 2h 2h 2h 2idyi ydyxyodyh 26clydy 0 h 2h 22h26cly dyh 223cy dyh 2clh32ch34弹性体边界上的面力分布及在次要边界x 0,xl上面力的主失量和主矩如解图所示。3.( 14分)设有矩形截面的长竖柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力q,如图5-

19、3所示，试求应力分量。(提示：采用半逆解法，因为在材料 力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面 竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量x 0)图5-3解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量x 0，(1) 假设应力分量的函数形式。x 0(2) 推求应力函数的形式。此时，体力分量为fx 0, fy g。将22x 0代入应力公式 x 有x 0对x积分，得 f x，yyy(a)(b)yf x x o其中f x ， f1 x都是x的待定函数。(3)由相容方程求解应力函数。将式(b)代

20、入相容方程4 0，得d4f xdx4d4 fi xdx4这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根(全部竖柱内的y值都应该满足)，可见它的系数和自由项都必须等于零。心二0，dxd4 f1 xdx0，两个方程要求(c)f x Ax3 Bx2 Cx， f1 x Dx3 Ex2f x中的常数项，fl x中的一次和常数项已被略去，因为这三项在的表达式中成为y的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数(d)A 3232y Ax Bx Cx Dx Ex(4) 由应力函数求应力分量。2x2yxfx0，(e)2y2yfy 6Axyx2By6Dx2Egy，23Ax2xyx y2BxC .(g)(5) 考察边界

21、条件。利用边界条件确定待定系数先来考虑左右两边x b2的主要边界条件:xy x b 20， xyxb2 q。A-A- 第八早将应力分量式（e）和（g）代入，这些边界条件要求:b2 0，自然满足;xy x b2 4卅 Bb C(h)xy x b 23 Ab2 Bb4(i)由（h） （i） 得(j)考察次要边界y0的边界条件，应用圣维南原理,三个积分的应力边界条件为y dxy 0b 26Dxb 22Edx 2Eb 0 ；y xdxy 0b 26Dxb 22E xdxDb32b2b 2xy dxy 03 Ax2C dxAb34bC(k)由（h）（j）（ k）将所得AB、CD、E代入式(e)（f） （

22、 g）得应力分量为:y6brxy ”b bgy，xy填空题（每个1 分，共 10X 1= 10 分）。1弹性力学的研究方法是在弹性区域内部,考虑静力学、几何学和物理页脚内容24第六章学方面建立三套方程，即方程、方程以及方程；在弹性体的边界上，还要建立边界条件，即边界条件和边界条件。2. 弹性力学基本假定包括假定、假定、假定、假定和假定。1平衡微分 几何物理应力位移2 连续 均匀 各向同性 完全弹性 小变形一、单项选择题（每个2分，共5X2=10分）。1. 关于弹性力学的正确认识是 A_。A. 弹性力学在工程结构设计中的作用日益重要。B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，

23、 不需要对问题作假设。C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象。D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构 分析。2. 所谓 完全弹性体”是指B。A. 材料应力应变关系满足胡克定律。B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关。C. 本构关系为非线性弹性关系第八早D. 应力应变关系满足线性弹性关系。3. 所谓应力状态”是指_B。A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同。B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变。C. 3个主应力作用平面相互垂直。D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的4. 弹性力学的基本未知量没有 C。A. 应变分量。B. 位移分量。C. 面力分量。D. 应力分量。5. 下列关于圣维南原理的正确叙述是 DA. 边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。B. 等效力系替换将不影响弹性体的变形C. 圣维