第11-12讲：向量组的线性关系

1、第11-12讲课题：向量组的线性关系教学目的：向量组的线性关系：线性组合、线性相关 教学重点：线性组合的求法，线性相关的判定 教学时数：二学时教学设计：I 复习引入复习n维向量空间II 新课设计3.3向量组的线性关系 一向量的线性组合1 方程组的线性表示3iiXi +ai2X2 + +amXna21X1 +a22X2 +.+a2nXn =b2an1X1 - an2X2 - - a.nXn =0用矩阵表示即为Ax =b，其中A为系数矩阵,X为未知数矩阵，b为常数项矩阵。7如果用向量表示方程组，则有:a11a12X1a21+ X2a22a m1 Jm2丿缶a2nb2+ x入na-v_amnlbn丿

2、于是，方程组是否有解的问题转变成能否找到一组数, x2,xn使Xv1 X 2 Xn二：的问题。若方程组有解，则存在这样的一组数（xx2，xn）使上述方程组成立，亦即1可以表示成：二：匕,，的一个组合，在这个组合中，向量-，:匕,，的次数都是一次，存在着线性的关系，则我们可以称：可以由-，:匕,，：、线性表示出来；反之，若方程组无解， 则一:就不能被这一组向量表示，今后，方程组有解无解的问题，就等价于向量一：能否由向 量组九，：/,，线性表示出来的问题。2.向量的线性表示设有n维向量P/12, . an ,如果存在一组数k1,k2, . kn.便得1 =匕宀* k22 knn，则称一：可以由/2

3、,./ n线性表示，或者称一：是向量组一卯，二2,., 一：冷的线性组合。(注意:k1, k2,.,kn可以为任意数，甚至全为0)例 1 ： 1 = (1,-1,2),: 2 = (0,1,3),: 3 = (2,1,4),亠(3,-3,-3)则：1 - 3： 2 比3 =：,：可以被r,：,：/线性表示出来，或者说：可以表示称 r,：, 的线性组合。说明：任意n维向量可以表示称初始单位向量组的线性组合；(举例说明)零向量是任意向量组的线性组合；(具体表示出来)一向量组中的任意一个向量都是该向量组的线性组合(可由该向量组线性表示) 3向量线性表示的判定-以列向量为例说明设：，冷，,，：为m维列

4、向量，若：能由一:九乞，.,：“线性表示，则:=kvk 2. k-n成立，我们的目的是寻找使等式成立的k| ,k2,.,kn，这便转化成方程组的问题:玄11心+ ak? +.+ a1nk n = b1j a 2111*822X2+.+ a2n Xn =匕21a n1 k1+ an2 k2 + .+ annkn _ bn我们记A=C1,2,.n) , Ai=(1,2,.,n, J，由非其次线性方程组有解 的条件，我们有：定理 3.3 :1 能由 r,2,.,n线性表示=r(A)二r(A ： J要使能由r,：,.,-线性表示，只需要对应方程组有解即可，可能是唯一解，可能是 无穷多组解。以上唆讨论的

5、是列向量，若要处理行向量组的问题，只需将其转置成列向量即可。例2 .试将1二解：设- k2：3、-3由円1-32 k3： 3 二Q-1a2 =13 =12丿 2. k0才成立，则称r2,.n线性相关。2 向量组线性相关的判定r2,.n线性相关=对应的齐次线性方程组有非零解（:、，,.）以n方法：用向量组构造矩阵2,./ n），再求r（A）例3 判定下列向量组是否线性相关5、-10(2 =1a3 =11-无关 _： = (1,2,-1,5)，二2 = (2,-1,1,1),二3 = (4,3,-1,1)-相关 一：= (-1,3,1),二2 = (2,1,0),二3 = (1,4,1)-相关3

6、几个特殊情况初始单位向量组线性无关；r( ；i,边,，；n)二n，所以线性无关一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关；对于零向量，任意k = 0都可使k 0=0 ；对于非零向量.篇，只有k = 0时，k = 0 ； 若向量组中的部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关；证明：设向量组 冷，2,.,亠，若其中的：二，山2，.気线性相关，即存在一组不全为零的数匕*2,K口使匕：二ki/-2. ki-0，于是，使0% +02十+匕休+&码2 +. + kim%m +. + 0 =0的这组数也是不全为零的，故：,2,.,线性相关含有零向量的向量组线性相关设向量组0,0 ,o(2 ,.,an，

7、则至少有一个非零数k可使k 0 + 0 + 82 +. + gn = 。若向量组 冷，2,.戶n线性无关，则其中任意部分向量唆构成的向量组也线性无关，全部无关，部分无关”若向量组 /2,./ n其中一部分线性相关，则该向量组线性相关，“部分相关，全部相关”3 线性组合和线性相关的关系线性组合：k 1k 2k-，其中ki可以任意取值；线性相关：匕冷 k22 k33 =0，其中ki不全为零。例3试证若:,-,线性无关，则二-J 也线性无关证明：设存在 k| ,k2, k3使 k1 ) k2(：-)卡3(曲心)=0 ,得(ki k3)二川侶 k2)“】仆2 - k3) =0，由于:,:,线性无关，则

8、kkg 二 0|k二 0ki : k2 二0 = k2 二 0 k?诽 kg 二0=0抵+1、2、例4 .已知a 1 =4,a 2 =0尹-3 =21 6所以，：亠L1很亠，： .也线性无关-为何值时1,23线性相关，并将：1要使1,23线性相关，需要2r(A) : 3，则 6 _ 2二 0二-2or農=3用2, 3线性表示。12z+r0& 3解：024T012(化成最简阶梯型矩阵的形式)606 _扎2 +扎-2时，：=一52 * 23 ； =3时，：=0 匚 2 * 23练习：判定下列向量组是否线性相关： = (1,0,-1),二2 = (-2,2,0)，二3 = (3，-5,2)-相关：1

9、 =(1,1,3,1),： 2 =(3,-1,2,4),： 3 =(2,2,1厂1)-无关三关于线性组合与线性相关的定理1 向量组1,2,.,n线性相关= 至少有一个:i可以表示成其余 门-1个向量的线性组合。(先证明，再举实例说明)证明：=由：-1-2，.，: n线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，.,kn，使得kv1k2： 2. k n =0，假定 kj =0，则有ki -：ii -來1-：“ -k2-：2 -ki4=i_4 ki d 1 - kn-：詁二-ikk?ki _1ki 勺kn丄1/一一宁冷/i 1 一 1： nkikikikiki所以，:-i可以表示成 冷，-i 4,

10、-i 1,，n的线性组合。匸，设:i kv-1 - k2. - kj4：i4 kj Vi 1 . kn，则k1- k2 ：2 . ki 1： J （-1）.二i ki 4、 彳亠kn、n =，从而 二，二 2,，n 线性相关。注意:与之前的 罔=0、口 川1、苗川0 ,zn区别。2若冷，：2，n，:线性相关，而 冷，2,n线性无关，则可由宀，：，n线性表示， 且表示法唯一。证明:幕1,2,.,n, 1线性相关。则存在一组不全为零的数k1, k2 ,.,kn ,kn 1使k1 為，k2-：込.* kn* kn .1 - = 0-（ *）又 ：1/2,./n 线性无关，则使kr 1 k 2 .kn

11、n=0 成立的匕*2,.,心kkk全为0，从而在*式中的kn1 =0，于是乞冷一旦：.2-.-4九。kn 卅kn +kn*（再证表示法唯一）设-k| 一:対k2 ： 2.kn-4，- lv l 2. l n-n，两式相减可得0 =（匕 -1） 1 （k22）： 2. （kn -In）： n由于r,2,.n线性无关，则 匕-1匚=0= ki *，所以表示法唯一。3 向量组之间的线性表示定义：设有两向量组-叫，二2,.,：1, ： 2 ,., ： n ，若中的每一个向量可以由向量组线性表示，则称向量组可以被向量组线性表示，若中的每一个向量也可以 被线性表示，则称这两个向量组等价。若向量组可以被向量

12、组线性表示，其矩阵形式01=k11%+ k1 2+.kk11k12 .险打=k21+ k22 以 2+ .+k2n 叫打k21k22 .k2n I2K-= kn1+ kn2+ .+ k a- r、nn n也丿Jk n1kn2.1 knn丿如:片=2% _3卷+叫_42-31-1)1P2 =円 _2g2 _3叫怜4 n=1-2-32tt2P3 =7+3t2 _2口3 _a4A丿1-13-2 -1J化丿结论：若线性无关，则当 C为满秩矩阵时，线性无关;当C为非满秩矩阵时，线性相关。第11-12讲如：: , ,线性无关，则二!-，: 线性无关。10、8、2=011Pr(C)03丿01丿13，故:-

13、J -，: 线性无关211定理1 ：若向量组可由向量组线性表示，而向量组又可由向量组线性表示，则向 量组可以由向量组线性表示。(向量组线性表示的传递性)如:1、00310824-(1)定理2 :设.,：韦一一(1)，：仆：2, ., : n -，若中每个向量可以被向量组线性表示，若 m ： n ,则向量组线性相关。200200丿-(2)向量组的个数大于向量的维数，则该向量组一定线性相关。 四极大无关组由实际例子引入极大无关组的概念。在该向量组中 1线性无关，：1, ：2线性无关，1,2,3线性无关，1,23,4线性无关，但12,345就 线性相关，并且该向量组本身线性相关。通过观察，可以发现，

14、该向量组可以找到线性无关的部分组，该部分组最多可以找到4个构成的部分组线性无关，往这个部分组中任意加入移个向量，构成的部分组线性相关，于是12 ,34是该向量组的最大线性无关部分组，称为极大无关组。1 .定义：(p139 定义 3.7 )设G2,an -(1)有一个线性无关部分组,ai2 ,.,aim (2)，若在中任意加入中的向量（不和中的向量重复）后，所得的向量组线性相关，则称 Ctj %是I?， ， im冷，2,.,一个极大无关组。说明：极大无关组不一定唯一，但其中向量的个数一定确定。（举例说明）2 极大无关组的判定设九，冷2，.，*为向量组：，2 ,n的线性无关部分组，则，i2，im是

15、极大无关组二 向量组0（，。“中的任意向量可以由,al2，咕线性表出。事实上，极大无关：、，：亠,，冷m本身也可以被-，:七,，：线性表示，即向量组的极大无关组和该向量组本身等价。3 极大无关组的求法利用定义：对于简单的向量组，有时可通过观察找到其极大无关组初等行变换法：向量组的秩：，:七,，的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩，记为r（鳥，令），其中列向量组的秩称为列秩，行向量组的秩称为行秩。如能够求到向量组的秩，便能很方便的寻找极大无关组，而求向量组的秩需要初等变换。所以，求极大无关组组的做法是对AC,:七，n）施以初等行变换，直到变成最简行阶梯形矩阵，此时，单位向量所对应的向量就是

16、极大无关组。1、歹4a 2 =1Ct 3 =3a4 =5（2丿4例5.求冷的极大无关组，并将其余向量用该极2123101/2r解：A =4135T0111100大无关组线性表示。=A=打显然在向量组 1, ：2, 3, 4中，：1, ：2为极大无关组,I，,1从而，在原向量组中：二一为极大无关组，：3 j *2 , ：? 2=(1,0,0,1),二=(0,1,0,-1),： 3 =(0,0,1,-1),： 4 =(2,-1,3,0)卩002、广1002、解：010-1T010-1001300131-1-15 二：i：；*2 心4：1 =(1,0,0,0),：2 =(1,1,0,0),： 3 =

17、(1,1,1,0),： 4 =(1,1,1,1)该向量组线性无关。例 3 ：1 *1,4,6),： 2 =(1,0, ),： 3 =(2,2,)，问为何值时,1,23 线性相 第11-12讲关？并将用：-2 3线性表示。解”，-2时，宀=52 23; - 3时，宀=22已知 耳=(1,023),0(2 =(1,1,3,5),C(3 =(1，1,a+2,1),(/4 =(1,2,4,a =8), P =(1,1,b+3,5)，问a,b为何值时，-不能表示成 冷，2,3,4的线性组合?0 1T0 0e 0-1a 10（分析只能在第三行决定方程组是否有解）当 a - _1,b =0 时,:不能表示成:j,2,3,4的线性组合。13例4 若：1 ,2,3线性相关，而2,3,4线性无关，试证：4不能表示成1,2,3的线性组合。证明：设?4能表示成123的线性组合，则有：*二”1 * k2：J k33 由于1，2，3线性相关，2, 3, 4线性无关，进而2, 3线性无关，则：1=1“2