天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解

1、第一章随机变量习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 =3,4,18 (2) 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 = 10 ,11 , (3) 对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如 连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“ 0”表 示次品，用“1”表示正品。 = 00 , 100,0100,0101,0110,1100,1010,1011 , 0111 ,1101 ,1110,1111 (4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 2 2 =(x,y)|x y 1 (5

2、) 将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 = (x,y,z)|x0, y 0,z0, x y z 1 其中x , y ,z分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品，每次从其中取一只(取后不放回)，直到将3只次 品都取出，写出抽取次数的基本空间U = “在(6 )中，改写有放回抽取”写出抽取次数的基本空间U = 解：(1 ) U = e3 ， e4 ,e10。 其中ei表示帥取i次”的事件。i = 3、4、10 (2 ) U = e3 , e4， 其中ei表示帥取i次”的事件。i = 3、4、 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 |x a|与|

3、x a |互不相容(2)x 20与x 20对立事件 x 20与x 18互不相容x 20与x 22相容事件 (5) 20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品互不相容 (6) 20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品对立事件 解：互不相容：AB；对立事件：(1)AB 且A B 3、设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件 (1)A发生，B与C不发生-ABC(2)A与B都发生，而C不发生-ABC (3) A,B,C中至少有一个发生-ABC (4)A,B,C都发生 -ABC (5)A,B,C都不发生-ABC(6)A,B,C中不多于一个发生-AB AC BC (7) A,

4、B,C中不多于两个发生-A B C (8) A,B,C中至少有两个发生-AB AC BC 4、 盒内装有10个球，分别编有1- 10的号码，现从中任取一球，设事件 A表示“取 到的球的号码为偶数”，事件B表示“取到的球的号码为奇数”，事件C表示“取到的球 的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件. (1)A B必然事件 AB 不可能事件 C 取到的球的号码不小于5 (4)a C 1或2或3或4或6或8或10 AC 2或4 (6)AC 5或7或9 B C 6或8或10 (8)BC 2或4或5或6或7或8或9或10 5、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立 (1) A B AB B 成立 (2

5、) ABA B 不成立 (3) A B C ABC 不成立 (4)(AB)(AB)成立 若A B，则A AB成立 若AB，且C A，则BC 成立 若A B，则B A 成立 (8)若B A，则A B A成立 7、设一个工人生产了四个零件，A表示事件他生产的第i个零件是正 品”(i 1,2,3,4)，用A!,A2,A3,A4的运算关系表达下列事件 (1) 没有一个产品是次品；(1) BiAA2A3A4 (2) 至少有一个产品是次品；(2) B2 AiA2A3A4A1A2A3A4 (3) 只有一个产品是次品；(3) B3 AAAA AAAA AAAA AAAA (4) 至少有三个产品不是次品 4)

6、B4AA2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4 (3) 8. 设E、F、G是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 (1) E F 解：(1)原式 原式 原式 9、设A, B是两事件且 P(A) 0.6, P(B) 0.7, 问(1)在什么条件下P(AB )取到最大 值，最大值是多少? (2)在什么条件下 P(AB )取到最小值，最小值是多少? 解：(1)A B,P(AB) 0.6(2) A B S, P(AB) 0.3 10.设事件 A，B， C分别表示开关a，b，c闭合，D表示灯亮， Word资料 则可用事件A, B, C表示：D = AB c

7、；d = A B C 1 11、设 A,B,C是三事件，且 P(A) P(B) P(C) ,P(AB) 4 P(BC) 1 QP(AC)-, 8 求A,B,C至少有一个发生的概率 解：P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC) AB ABC 0 P(ABC) P(AB) 0 P(ABC) 0 12. (1)设事件A , B的概率分别为 1 1 1 与 1，且 A 与 B 互斥，则 P(AB)= _5_. (2)一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸 3只球， 14 则取到的3只都是红球的事件的概率等于 285 一袋中

8、有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 从每只袋中各摸一只球，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概率 13 等于_24_。 .设A1 , A2 , A3是随机试验E的三个相互独立的事件， 已知 P(A1) =, P(A2) = ，P(A3)=，则 A1 , A2 , A3 至少有一个 发生的概率是 1 (1)(1)(1 ) (5) . 一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球, 34 则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于57 13、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个，求 (1)恰有90个次品的概率； (2)至少有2

9、个次品的概率. c90 c110 P(1)C400 C1100 P(l丿q200 解 :C1500 2001199 C1100C400 C1100 P(2)12002000 C1500C1500 14、两射手同时射击同一目标， 甲击中的概率为 0.9，乙击中的概率为0.8，两射手 同时击中的概率为0.72,二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的, 求“中”的概率 解:A “甲中” B “乙中” P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.9 0.8 0.720.98 15、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概 率是多少? 8! 解： P(A)帀

10、8 16、房间里有4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少? 解：设所求事件A A “至少有两个人的生日在同一个月的” “任何两个人的生日都不在同一个月” P(A) A2 124 P(A) 1 P(A) 0.427 17、将3个球随机地放入 4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为 1,2,3的概 率各是多少? 解：3个球放入4个杯子中去共有43种放法，设Bi表示杯子中球的最大个数为n的 事件(n 1,2,3),B1表示每只杯子最多只能放一个球，共有A种方法，故 Word资料 P(BJ A33 448；B2表示有一只杯子中放2个球，先在3个球中任取2只放入4个杯 子中的任意一只，共有

11、c3 4种方法，剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任 一只， 有3种放法，故B2包含的基本事件数为C； 4 336，于是 P(B2) 369 T ; B3表示有一只杯子中放3个球，共有4种方法，故 4316 P(B3) 41 4316 . 18.设 一个质点等可能地落在xoy平面上的三角形域D内 （其中D是x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2所围成的），设事件A为: y 2 、 1 D 1 质点落在直线y = 1的下侧，求P（A）。L P(A) D12(12)3 D2 2 24 19、(1)已知 P(A) 0.3, P(B) 0.4, P(AB) 0.5，求 P(B | A B

12、) (2)已知 P(A) 111 -,P(B | A) -,P(A|B)-，求 P(A B) 432 1 解：(1)P(B|A B) 0.25P(A B) 1 20、一批产品共100个，其中有次品5个，每次从中任取一个，取后不放回 设A（ i =1，2，3，）表示第i次抽到的是次品，求： PA2A , P 兀|A 色 99199 P AA 99 PAA 94 99 ，PAAA 98， P A3 A| A2 94 98 21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%乙厂占30%甲厂产品的合格率为95% 乙厂的合格率是80%若用事件A、A分别表示甲、乙两厂产品，B表示合格品。 试写出有关事件的概率.

13、 (1) P(A) 70% P(A) 30% P(B | A) 95% (6) P(B|A) 20% P(B | A) 80% P(B | A) 5% 22、 袋中有10个球，9个是白球，1个是红球, 10个人依次从袋中各取一球，每人 取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人 ，最后一人取得红球的概 Word资料 率各是多少? 解：设Ai第i个人取得红球的事件（i 1,2, ,10)， 则A为第i个人取得白球的事件, 1 显然 P(A)希，宀 A1A2 AA AA A) 9 p（A2）P（AA2）叱內兀 丄 10 9!1 同理 Pg。)PSA?A9A10)石扁 23、 某种动物由出生活到20年

14、以上的概率为0.8, 活25年以上的概率为0.4，问现 年20岁的这种动物活支25岁以上的概率是多少? 解：设A为由出生活到20岁的事件，B为由出生活到25岁的事件 则所求事件的概率为P (B | A) P(AB ) P(A) AB B P(B | A) P (AB ) P(A) P (B)0.41 p(a) 08 2 24、 十个考签中四个难的，三人参加抽签，(不放回)甲先、乙次、丙最后，记事件 A,B,C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求 P(A), P(AB ), P (Ab ), P(ABC ). 42-41 解：P(A) , P(AB) P(AB)P(ABC) 10151530 25.

15、 设 0 P(C) 1，试证：对于两个互不相容的事件A，B,恒有 P ( A B ) C = PA C + PB C P AC BC P C P AC P BC P C P AC P BC 26、设事件A与B互斥，且0 P(B) 1，证明 P(A| B ) P(A) 1 P(B) 证明：由于AB ，故A A(B B) AB P(A|B) P(AB) P(B) P(A) 1 P(B) (P(B) 1) 27、一批零件为100个，次品率为10%每次从中任取一个，不再放回，求第三次 能取得正品的概率是多少？ 解：设Ai为第 i次取到正品，(i 1,2,3)由于次品率为10%,故100个零件约有90个

16、正品，次 品10个，设A为第三次抽到正品，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，则由一一 般乘法公式得 P(A)P(AA2A) p(a)p(A2 |A)P(A IAA2) 10990 100 99 98 0.0083 28、设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在 3000 个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率 解： A :“抽到的一人为男人”；B :抽到的一人为色盲者” 3 51 则 P A -,P BA 5 100 20 2r r 25 1 P A -,P B A 5 10000 400 P B P APB A PAP B A

17、 3 1 2 1 31 5 20 5400 1000 29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n只白球，m只红球；乙袋中装有N只白球，M只 红 球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白 球的概率是多少？ 解：设H表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件， H2表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件， B表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件, 所求事件B BH 1 BH 2 由全概率公式： P(B) P(HJP(B|H1)PR) P(B|H2) 易知：P(HJ -, P(H2) n mn m P(B|H2) 于是P(B) nm NM1 nm NM1 P(

18、B|H1) 30、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例 分别为25%,35%,40%并且它们的废品率分别是 5%,4%,2% (1) 今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少？ (2) 如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的? “产品系甲车间生产”， B3“产品系丙车间生产” P(B3)0.4 0.04P(A| B3) 0.02 解：设A “所取出的一件产品是废品”，Bi B2“产品系乙车间生产”， 已知 P(B1) 0.25P(B2) 0.35 P(A|B1) 0.05P(A|B2) (1) 由全概率公式： 3 P(A)P(A|Bi)P(

19、Bi) 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.0345 i 1 由贝叶斯公式: P(B1 |A) P(A|B1)P(BJ 0.25 0.05 0.3623 P(A) 0.0345 P(B2 |A) P(A|B2)P(B2) 0.35 0.04 0.4058 P(A) 0.0345 P(B3|A) P(A|B3)P(B3) 0.02 0.4 0.2319 P(A) 0.0345 所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的 31、如图1,2,3,4,5表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设 各继电器接点闭合与否相互独立，求 L至R是通路的概率. 解：设A为

20、第i只继电器闭合的事件，B为有电流从L流向R的事件, 已知 P(Ai)p (n 1,2, 5) 显然 B Ai A2 A A5 Ai A3 A5 A2 A A4 故 P(B) P(AiA2)P(A4A5)P(AiAsA5)PS2A3A4) P(AiA4AzA5) P(AiA2AaA5)P(AiA4A2Aa) P(A4A5AiAs) P(A2A5AaA4) P( Ai A3 A5 A2 A4) P( Ai A4 A2 A5 A3) P( A1A4 A2 A5 A3) P ( A2 A5 A1A3A4) P(AA4A3AsA2) P( A1A2 A3 A4 A5 ) 2p2 2p3 5p4 2p5

21、 32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7盒是乙厂生产的，4盒是丙厂 生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为0.8, 0.7, 0.6, 0.5， 现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品，试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ？ 解:Ai ( i = 1,2,3,4): “所取一盒产品属于甲，乙，丙，丁厂生产” B : a 所取一 个元 件 为不合 格品” 则 P A 5 P A 2 Z P A ，P A - 2 18 18 18 18 P BA 0.2， P B A2 0.3， P B A 0.4， P B A40.5 由 全 概 率 4 57 公式

22、： P B P A P B A i 1 180 由 贝 叶 斯 公式： PAiB 57，PAB |1,PA3B 珈小 10 57575757 故该盒产品由乙厂生产的可能性最大 33、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7。 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6。若 三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率. 解：设Ai (n 0,1,2,3)表示“恰有i人击中飞机”，B为飞机被击落， P(A1)0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36 同理 P(A2)0.40.50.30.60.50.70.

23、40.50.70.41 Word资料 P(A3)0.4 0.5 0.70.14 易知 P(B |Aj) 0, P(B|AJ 0.2, P(B | A2) 0.6, P(B|A3) 1 由全概率公式 P(B) P(B|A0)P(A0)PWIAJPW) P(B|A2)P(A2)P(B|A3)P(A3) 0 0.09 0.2 0.36 0.6 0.41 1 0.14 0.458 34、袋中装有N 1只白球，一只红球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只白 球，这样继续摸下去，问第k次摸球时摸到白球的概率是多少？ 解：设事件 A表示第k次摸到白球，则事件 A表示第k次摸到红球。 因为袋中只有1只红球，

24、而每次摸出一球总换入一只白球，故为了第k次摸到红球，前 k-1 次_ 一定不能摸到红球，因此A等价于下列事件：在前k-1次摸球时都摸到白球而第 k次摸出红球， 所以 p(A) k 1 (N 1)1 Nk 1 N 因此 P(A) 1 P(A) 1 (1 丄)k 1 N N 第2章一维随机变量 习题2 4 Word资料 .填空题: 1.设离 散型随机变量 的分布 函数是F 则用F（X）表示概 2.设随 P 0 X0 解：F X0 F X0 机变量 的分布函 1 1= 解: P 0 0，则C的值应是e K 解: P k 1C - K 0 k 0k! K 1 C1 Ce 1 C e k o k! 5设

25、随机变量 的分布律是 P k k A 1 , k 1,2,3,4 则 P 15 =0.8。 2 2 4 1 1 1 1 解: P k A k 1 2 4 8 16 15 A 16 令 A 1 得 A 16 15 1 5 P p 1 p 2 2 2 6若 疋 义分 布 函数 F x P x 布函数的充要条件是 16 16 1 1 0.8 15 2 4 则函数F(x)是某一随机变量 的分 F ( x )单调不减， 函数F (x)右连续，且F (_) = 0， F ( +) = 1 7. 随机变量 N(a, 2)，记 g( ) P a ， 则随着的增大，g()之值保持不变 8. 设 N ( 1 ，

26、1 )，记 的概率密度为(x )，分布函数为F ( x )，则 P 1 P 10.5。 9、分别用随机变量表示下列事件 (1) 观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件 “收到呼唤3次” X3“收到呼唤次数不多于6次” X 6 X k k 0 (2) 抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件 “长度等于 10cm ” = X 10； “长度在 10cm 到 10.1cm 之间” =10 X 10.1_ (3) 检查产品5件，设A为至少有一件次品，B为次品不少于两件，试用随机变量表示事件 大号码，则X的分布律为： X 3 4 5 Pk 1 3 6 10 10 10

27、 10、一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取 A,B,B,A B,AB . 解：A 没有次品 X 0 B 次品少于两件 X 2 B 次品不少于两件 X 2 A B至少有一件次品 X 1 AB 次品数不到两件 X 2 3只，以x表示取出的3只球中的最 .计算题: Word资料 Px 1 P(AA2) P(A)P(A2)0.6 0.4. 3、（1）设随机变量X的分布律为: PX k a , k 0,1,2, k! 0为常数，试确定常数 a. 解：因 PX k k 0 k a1 k 0 k! ae 1, 故 a e a 设随机变量X的分布律为：PX k , k 1,2, N ,N

28、，试确定常数a . PX k a丄aN丄1 k 1NN 分别写出X, X 2的分布律 X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Pk 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 2、设在15只同类型的零件中有 2只次品，在其中取 3次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数求X的分布律； X 0 1 2 Pk 22 12 1 35 35 35 k 4、飞机上载有3枚对空导弹，若每枚导弹命中率为0.6,发射一枚导弹如果击中敌机则停止, 如果未击中则再发射第二枚，再未击中再发射第三枚，求发射导弹数的分布

29、律 X 1 2 3 Pk 0.6 0.24 0.16 5、汽车需要通过有 4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地。设汽车在每盏红绿灯前通过 （即遇到 绿灯）的概率都是0.6；停止前进（即遇到红灯）的概率为0.4,求汽车首次停止前进（即遇到红灯， 或到达目的地）时，已通过的信号灯的分布律. 解：汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量，用x表示x可取值为0,1,2,3,4， 又设A的表示事件：汽车将通过时第i盏信号灯开绿灯，n 1,2,3,4 由题意 P（An） 0.6, P（An） 0.4_ x 0表示已通过的信号灯数是0（即第一盏信号灯是红灯）,故Px 0P（A10.4 x 1表示已通过的

30、 信号灯数是1（即第一盏信号 灯是绿灯，而第二盏是红灯），故 2 同理 Px 2 P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A3)0.60.4 Px 3 P(AAA3A4)P(A)P(A)P(A3)P(a0 0.63 0.4 Px 4 P(AiA3A4) P(AJP(A2)P(A3)P(A4)0.64 0.6k0.4, k 0,1,2,3 于是x的分布律为Px k4 0.64 , k 4 即 x 0 1 2 3 4 Pk 0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296 6、自动生产线调整以后出现废品的机率为 次调整之间生产的合格品数的分布律 p，生产过程中出现废品时立即重新进行调整

31、，求两 x 0 1 2 k Pk P (1 P)P (1 P)2P (1 P)kp 7、 一大楼内装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为 0.1, 问在同一时刻： 223 (1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？Px 2C5 (0.1) (0.9)0.0729 (2) 至少有3个设备被使用的概率是多少？ Px 3 C；(0.1)3(0.9)2 C；(0.1)40.9 c5(0.1)5(0.9)0.00856 (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？ Px 3)1 Px 31 C：(0.1)40.9 C；(0.1)50.99954 (4) 至少有1个设备被使用的概

32、率是多少？ Px 11 C0(0.1)0(0.9)50.40951 8、 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， (1) 进行了 5次独立试验，求指示灯发出信号的概率. (2) 进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率. 3324455 解：(1)P5 次独立试验，指示灯发出信号= C5 (0.3) (0.7)C5(0.3) 0.7 C5(0.3)0.163 (2) P 7次独立试验，指示灯发出信号 00716225 1 C7(0.3) (0.7) C70.3(0.6) C7 (0.3) (0.7)0.353 9、设某批电子管正品率为 -，次品率为 丄

33、，现对这批电子管进行测试，只要测得一个正品，管 44 Word资料 子就不再继续测试，试求测试次数的分布律 解：解：设测试次数为X,则随机变量x的可能取值为：1,2,3,，当x k时，相当于前k 1 次测得的都是次品管子，而第k次测得的是正品管子的事件， 1 3 PX k (；)k1；，(k 1,2,) 44 10、每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率， (1)不小于0.9 ？(2)不小于0.99 ？ 解：已知n次独立射击中至少击中一次的概率为P 1 (1 0.2)n 1 (0.8)n ； (1)要使P 1 (0.8)n 0.9，必须n lg 0.1 lg

34、 0.8 10.3，即射击次数必须不小于n 11次. (2)要使P 1 (0.8)n 0.99，必须n lg 0.01 lg0.8 20.64，即射击次数必须不小于 n 21次 11、电话站为 300 个用户服务，在一小时内每- 电话用户使用电话的概率等于0.01， 试用泊松 疋理近似计算，在一小时内有 4个用户使用电话的概率. 解：由二 二项分布得 Px k k k n k Cn p qPx 4 44296 C300(0.01) (0.99) 现 用泊 松定理 近似计算，n 300, p 0.01np 3, ,故 、34e 3 Px 4“ -0.168 4! 12、某一繁忙的汽车站，每天有大

35、量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2的概率是多少? (利用泊松定理计算) 解：设X为发生事故的次数，则Px k G爲(0.0001)k(0.9999)1000 k 用泊松定理计算，np 1000 0.0001 0.1 Px 2 1 Px 0 Px 1 0.1 1 e 10.1e 0/1 0.00468 13设X服从泊松分布，且已知 PX 1 PX 2，求 PX 4 解：Px k e i-U D/ xz 1 Px 得e 2 e k k! ，由 Px 2，得 1! 2! 2, 0(舍去 0,因为 0)

36、 Px 4、24e2 0.0903 44! k 14、.求离散型随机变量 的分布律为P k b ，( k = 1，2，)，的 充分必要条件。 解：由1 P 在区间(2, 3 )内取值的概率是 试确定常数A , B o 解: 由条件 P 2 3 2p1 3 2 即 Ax B dx 2 Ax B dx 2 1 3 又 由 x dx 1 即 Ax 1 B 0 1 解 2 得 A = ，B = 4A 2B 1 3 在区间(1 , 2 )内取值的概率的 2 1 知有一 A B 0 2 B dx 4A 2B 1 1 6 且 P k 1bb k b 1 b k 1 b k 1 k 1 k 0 1 1 b1

37、且b 0 1 b1 b 15设 服从参数 =1 的指数分布，求方 程 2 4x + 4 x + + 2 = 0 无实根的概率 。 解： 16 2 16( 2) 0 知 1 2 故 P 2 x 12e x 0 dx 1 e 2 Ax B 1 x 3 16.已 知连续 型 随机变量的 概 率密度 为 (x) 且 0 Word资料 17、设有函数 F(x) sin x , 0 x 0 ,其它 试说明F (x)能否是某随机变量的分布函数 解:不能 3亠 因为当 x时， (x ) = sin x 0 2 0, (x ) = sin x 不是非负。 18、设某人计算一连续型随机变量x的分布函数为： 0 ,

38、 x 0 sinx, 0 x 4 F (x)试冋他的计算结果是否正确？答：不正确 x , x 1 4 1 , x 1 0,a中任意 19、在区间0, a上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标，这个质点落在 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求 x的分布函数. 解: P 0 x = cx ； F x 20、 设连续型随机变量 X的分布函数为 0) F(x) A Be 求常数A,B P X 2, PX 3 (3)概率密度 f(x) f(x) 21、 某种型号的电子管寿命 X(以小时计)，具有如下概率密度: f(x) 1000 ,x x 0,其它 1000 现有一大批此种电子管(设各电

39、子管损坏与否相互独立 ),任取5 只，问其中至少有 2只寿命大于1500小时的概率是多少？并求 F(x). 解：设使用寿命为 x小时 Px 150C1 Px 1500 1 1 Px 1500 ，所求事件的概率: 3 15001000 1000 x2 dx 1(1000) 1500 1( ) 1000 P C；P(x 1500)2 P(x 1500)3 C；P(x 1500)3P(x 1500)2 C；P(x 1500)4P(x 1500) c5P(x 1500)5 10(I)2 再求F(x) /1、32、31、22、4 125 (3)10 (3)(3)5 (3)3(3) xx 1000 100

40、0 f (x)dx厂 dx 1- 1000 x2x 232 243 F(x) 1 1000 ,x 1000 x 0,其它 22、设随机变量 X具有对称的概率密度 f (x)，即f (x)为偶函数, f( x) f (x)，证明：对任 意 a 0 有: (1)F( a) F(a) 1 a 0 f (x)dx ； P| X | a 21 F(a) P| a 2F(a)1 证明: (1)F( a) a f (x) dx，令 x F( a) a f(x)dx a f(x)d( x) f (x)dx f(x)dx a f (x)dx 1 F(a) 1 a 又因为：一 2 1 JF(a) (1F(a) f

41、 (x)dx - 0 2 1 a f (x)dx 2 a 1 1 2 2F(a) 1 1 -F(a) F(. 2 11 F(a) 22 a) 1 F(a) P| x| a 21F(a) 证明: P| x| a 1P| x| a 1 P a x a 1 F(a) F( a) 1 F(a) 1 F(a)1 F(a) 1 F(a) 2 2F(a) 21 F(a) P| x | a 2F(a)1 证明：P| x| a P a x a P a x a F(a) F( a) F(a) 1F(a)2F(a)1 23、设顾客在银行的窗口等待服务的时间X(以小时计)服从指数分布，其概率密度为 x 15 e 5

42、x 0 f(x) 5某顾客在窗口等待服务，若超过 0,其它 10分钟，他就离开，他一个月要 到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数, 写出Y的分布律，并求PY 1. ,、夕、k2k/2、5k i 解: PY k C5e (1 e ), k 0,k,1,2,3,4,5 PY 10.5166 2 24、设 X N(3,2 )，求(1)P2 X 5 P 2 X 7 P| X | 2 PX 3 (5)确定c使得PX c PX c 解：(1)P2 x 50.5328 0.9710 0.6977 (4) 0.5 25、一个工厂生产的电子管寿命X(以小时计)， P120 X 2000.80

43、，允许 最大为多少？ 解 服从参数 160， 的正态分布，若要求 Word资料 4040 -()2_() 1 31.25，故允许最大为31.25 200 160- 120 160- 40 P120 x 200-()-()-() C(40) 1 0.80Z(40) 0.940 1.28 26、 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01米以下设计的，设男子身高x服 2 从 170cm, 6cm的正态分布，即 X N (170,6 )问车门的高度应如何确定？ 解：设车门高度为 hcm，按设计要求Px h 0.01，或Px h 0.99， 因为 x N(170,62)，故 Px h F(

44、h) Z(h 回)0.99 6 h 170 查表得(2.33)0.99010.992.33 即 h 184cm 6 设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头的机会不超过0.01。 27、设随机变量X的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 p. 丄 1 1 丄 2 丄 Pi 12 6 3 12 9 9 2 求Y 2(X2)的分布律. 解： Y02818 H 1 1 11 1 Pi 3 4 36 9 丫 1的概率密度 的概率密度 2X2 eX 28、设 X N(0,1)，求(1)Y (3)求丫 |X|的概率密度 解：设 x N(0.1), f(x) x2 T ,y ex0, x ln y,

45、x1 (y) 1 fl n y ,0 y y ,其它 (y) 2x2 1 当y 1时, Y的分布函数, FyW) PY y 2 P2x 1 y Px 1 y21 -2 e 2 dx 严 edx, 当 y 1 时，F/y) 0, Y的概率密度 (y) S 4y 1f(21)f( 即(y)2、.(y 0 -e - 1) (3)丫 |x|, y |x| 0,当y 0时, Fy() PY y P|x| x2 y 亏 e 2 dx y (In y)2 e ),y y 1 2 Y的分布函数 y P y x y x2 y t e 2 dx 0 P 1门 ,0 y y ,其它 y f(x)dx y Word资

46、料 当y 0时， FyW) 0, Y的概率密度 (y) F (y) 2f(y),y 0 0 ,y 0 当y 0时， FyW) P| x| y 0, (y) 0 2 2 y e乏 y 0 (y) 2 e7 0 , y 0 29、设电流 I是一 个随机变量，- 它均匀分布在 9 安 11 安之间， 若此电流通过 2欧姆的电阻，在 解：由题意I的概率密度为f(x) 1,9 X 11 0,其它 对于 由于 2I 0, 2x2, Fw(w) 所以当 Pw P 11时，162 w 2 1 ；2 w 0时，其分布函数Fw(w) 242 2 f(x)dx 2 其上消耗的功率为 W 212，求W的概率密度 故w

47、的概率密度f(w) Fw(w)1 4(w f (w)2、2w 2二 2) 2)， 22w 1 ,162 w 242 4 2w 其它 30、设正方体的棱长为随机变量 求正方体体积的 概率密度。( (0 , a )上均匀分布， 正方 体体积 o X 数 函 反 的 上 y h 的概率密 1 y 3a 0 2 3(0 a3) 31设随机变量 2 2 ,x 0 x 1 0,x 求随机变量 解：函数y = l n x的 x在(0，+)上 变化时， 上变化， h (y) ey,h y 于是 的 概率密度 (y) 2ey 32.已 种产品的质 量指标 服从N(, 2), 并规定| | m时产品 ，问 函数

48、m取多大时， (x)的值: 才能使 (1.96) = 0.975 产品的合格率达到95%。已 ,(1.65) = 0.95 ,(1.65) = 0.05 ,( 知标准正态 0.06) = 0.475. 解: P I | m = 0.95 ，此式等价于 P m + m = 0.9 2 ), P + m= m (- mmm ()()2()10.95 1.96 得 m = 1.96 故m取1.96 时才能使产 品合格率达到95%。 第三章多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点(X,Y)落在矩形域人 x X2, yi y y?的概率为 Fgyz) F(X2,yJ F(xi, yi) Fg y?)

49、. 2、(X,Y)的分布函数为 F(x, y)，则 F( ,y) 0 . 3、(X,Y)的分布函数为 F(x, y)，则 F(x 0,y) F(x, y) 4、(X,Y)的分布函数为 F(x, y)，则 F(x, ) Fx(x) 5、设随机变量（X,Y）的概率密度为 f (x, y) k(6 x y) 0 x 2,2 其它 4，则 k 1. -8 7、设f （x, y）是X,Y的联合分布密度, fX （x）是X的边缘分布密度，则 fx（X）二 问 3 27 F(x , y)是 是某二维随机变量的 0 Word资料 联 合分 布 函 数 ? 并 说明 理 由 。 解： F(x , y) 不 可

50、能 是 某 二维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 因Pi 0 2 , 0 1= F( 2 , 1) F(0 ,1) F ：(2 , 0) + F(0 ,0) =1 1 1 + 0 = 1 4 ,(x) =1。 P 60 60 50 100 P 25 50 100 50 25 25 P 2 50“ 10 2 i0 5 由 隶莫佛-拉普拉斯定理 得 查N ( 0 ,1 )分布函数表，得 P 60 0，如果 lim P | ?n $ |0则称n 是的一致估计量 (6 )样本方差Dn 2 X 是总体X N (, 2)中2的无偏 2 估计量。D*- Xi X是总体X中2的有偏估计 n i 1

51、 10设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，则下面三个均值估计量 1 1X1 X2 1 X3,?2 1X1 X2 坐，1?3 -X1 3x2 5102341234 是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则? 最有效. 二、选择题 1、设总体 服从正态分布 N(N, 2 2)，其中 已知, 未知, 3是取自总体 的一 个样本，则非统计量是 1(1 2 (D ). A、 3) B、 C、 max( 1, 2, 3) 3) 2、设 是来自正态总体 N( ,2)的简单随机样本 Sf )2， S； )2， SC n )2 ， S：丄 n i 1 )2 ，则服从自由度为 t分布的随机变量是( ).

52、 A、 S/.n 1 B、 S2 / n 1 S4 / ” n 3、设 N(1,22)， n为的样本，则 ). A、 1 N(0,1) 2 B、 C、 1 2/.nN(0,1) 4、设 1, 2, n是总体 A、 N(0,1) B、 5.简 N(0.1) N(0,1) n (C ) Xi i 1 N(0,1)的样本, N(0,1) 本(X 1 ,X 2 成立的是( 2 (Xi X ?独立 i 1 n 2 与 Xi独立 i 1 c、 ,Xn)来 C )。 ,S分别是样本的均值和样本标准差, 则有(C ) 2 2 i x (n) /St( n 1) 某正态总体, (B )Xi与X j独立( 2 (

53、D )Xi与Xj独立( j) 平均值, 6.设 X1,X2, ,Xn1,来自总体 X,X N( 1, 2), YY2, ,Yn2 来自总体 丫 _ 1 1 丫N( 2,2),且X与Y独立。X n1 i ni Xi, Y i 1 n2 Y i, n2 i 1 1 n1 疏乔 (Xi, X)2，S2 n2 1 n21 心1( Y)2, 则如下结论中错误的是 (d )。 (X Y)( 12) ,n2 2 2 n2 N(0,1) 2 Shi n2(n 1)2 s2 2 2 n1S1n1n 2S2n2 22 12 mg 1) F(ni 2(ni 1, n2 n2 1) 2) m n2 2 -t( n1

54、n2 2) 7.设X1,X2, Xn是取自总体N(0, 2)的样本，则可以作为 的无偏估计量是 ). 1 n 2 1 n 2 1ny 1 n A、 Xi2 B、 X iC、 Xi D、 Xi n i 1 n 1 i 1 n i 1 n 1 i 1 8. 3、设 X1,X2,X 3是来自母体 X 的容量为 3的样本， ?1-X1 3 1 X2X 5 10 2 ?21X 1亠2 X3，?3 1 XX 2 1 X3 ,则下列说法正确的是 (B ). 3 4 12 3 6 2 2 A、?1, ?2, ?3都是E(X)的无偏估计且有效性顺序为？?2 ?3 B、 1 , ?2 , ?3 都是 E(X)的无

55、偏估计，且有效性从大到小的顺序为 -,?2, ?3 都是 E(X)的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为 D、？1,?2,?3 不全是 E(X)的无偏估计，无法比 计算题 1、在总体X N (30,22)中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值X在 29到31之间取值的概率. 解：因 X N(30,22)，故 X N(30, )，即 X N(30,(-)2) 16 2 P(20 X 31) P( 2 X 1 302)(2)( 2)2 (2) 1 2 0.9544 2、设某厂生产的灯泡的使用寿命 X N(1000, 2)(单位：小时)， 抽取一容量 为9的样本，其均方差S 100，问P(X 9

56、40)是多少? _ 2 解：因 2未知，不能用 X N(1000,)来解题, n X 而 Tt(n 1) S .n t(8) P(X 940) P(X 940 S 3 而 S 100,1000 P(X 940) (940 1000) 3) 100 P(T 1.8) P(T 1.8) 由表查得P(X 940) P(T 1.8)0.056 7 3、设 Xi,X2, X7 为总体 XN(0,0.52122 即一(X1 X2 X3)-(X4 X5 X6)x (2) 3 1 2 C 时，CY x2(2) 3 )的一个样本，求 P( X24). i 1 2 解：X N(0,0.5 )2Xi N(0,1)

57、7 2 (2Xi) 7 2 2 4 Xi x (7) i 1 7 2 P( Xi4) i 1 7 2 P(4 Xi 16) 0.02 5 i 1 4、设总体X N(0,1)，从此总体中取一个容量为 6 的样本 X1,X2,X3,X4,X5,X6， 设 Y (X1 X2 X3)2 (X4 X5 X6)2，试决定常数C，使随机变量CY服 从x2 Word资料 分布. 解：X1 X2 X3 N(0,3)，X4 X5 X6 N(0,3) X1 X2 X3N(0,1)，X4 .3 X3 X6N(01 5、设随机变量 T服从t(n)分布，求T2的分布. 解：因为T ，其中 X N(0,1)，Yx2(n)，

58、 Y/n T2 X2 Y/n 2 X /1 Y/n 2 2 X x (1) 2 T F(1 ,n) 6.利用 计算分位数t0.975( 50 )的近似值。 (X1 X3 X3)2 (卷 牛 X6)2 x2 (2) 13V3 (已知 N ( 0 ,1 ) , p ( 1.96 ) = 0.975 ) 2 解：当n足够大时，t分布近似N (0,1), 当 u N (0 , 1 ) p u u 0.975 =0.025 时，分位数U1- 时，U0.975 = 1.926 近似t1- ( n ) 2 , t.975 ( 50 ) 7.设X1,X2, Xn为来自有均值 和r阶中心矩 r的总 Word资料

59、 1 n 体X的样本，试证明E 1Xi n i 1 r r。又此式说明总体的r阶 矩与样本r阶矩有什么关系 ？ 1 n r 1 nr 1 n 证 : E Xi 1 -E Xir r r n i i 1 n i 1 n i 1 上 述 结 果 表 明 总 体 的 r阶矩与样本 的r 阶 矩 相 等，说明样本的 r 阶 中 心 矩 是 总 体 X 的r阶中心矩 r的 无 偏 估 计。 8.设总体XN(0,22) , X1,X2,L ,X10为来自总体X的样本.令 10 2 Xi i 1 Xj j 6 试确定常数C,使CY服从 2分布，并指出其自由度. 2 X 解：由 X - N(0,2 ),得N(

60、0,1),i1,2,L ,10. 又X1,X2,L ,X10互相独立, 1 51 10 故一 Xi N(0,5), Xj - N(0,5), 2 i 12 j 6 10 Xj Xi 25 i2；N(0,1),j26rN(0,1), 且二者独立. 10 从而有 20 Xi i 1 Xj j 6 2 2, 得C 20, 2分布的自由度为2. 9. 本,Z 设Xi,X2,L ,X4与 Y,Y2, L ,Y5分别是来自正态N(0,1)的总体X与丫 的样 4_ (Xi X)2 (Yi i 1 Y)2，求 EZ. n (Xi X)2 i 1 解:方法1：由2 2 2 2(n 1),E 2(n 1) n 1