数列知识点常用结论

1、 数列知识点及常用结论 、等差数列 (1) 等差数列的基本公式 通项公式：an 印(n 1)d (从第1项印开始为等差) am (n m)d (从第m项am开始为等差) am (n m)d an am nd anam n m 前n项和公式: n(a1 Sn an) 2 na1 n(n 1)d 2 (2) 证明等差数列的法方 定义法：对任意的n,都有an an (d为常数)an为等差数列 等差中项法：2an 1 an (n an为等差数列 通项公式法：an =pn+q (p，q为常数且 an为等差数列 即：通项公式位 n的一次函数，公差d p，首项a1p q 前n项和公式法：Sn 2 pn qn

2、 (p, q为常数) an为等差数列 即：关于n的不含常数项的二次函数 (3) 常用结论 若数列an ,bn为等差数列，则数列ank , kgan, anbn,kanb (k, b为非零常数)均为等差数列. 若 m+n=p+q (m , n, p, q N ),则 an am = ap aq. 特别的,当n+m=2k时，得a. am= 2ak 在等差数列an中，每隔k(k N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍 仍为公差为3d的等差数 为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：a1, a4, a7, a10 列) 2 83kS2ka2k1a2k2a3k，则Sk,S2kSk,SkSk仍成

3、等差数列，且公差为 k d 若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也为等差数列 n an 3，(n 1) SnSi i,(n 2) 此性质对任何一种数列都适用 求Sn最值的方法: I:若印0 ,公差d0， 则当ak 0时，则 ak 10 若a1 0， ak0 则当时，则 ak 10 Sn有最大值 且最大； Sn有最小值，且Sk最小; 2 II:求前n项和Snpnqn的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k， 当n k时，Sk为最值，是最大或最小，通过 Sn的开口来判断。 二、等比数列 (1) 等比数列的基本公式 n 1 通项公式：an aq(从第1项a1开始为等比) an amqn m(从第m

4、项am开始为等差) 前n项和公式： a1 (1 qn) Sn 1,(q 1)，Snna1,(q 1) 1 q (2) 证明等比数列的法方 定义法：对任意的n,都有an 1 qan(an 0) q (q 0) an为等比数列 2 等比中项法：an an1( a“ 1an 1 0)an为等比数列 通项公式法：an aqn1(a,q是不为0的常数) an为等比数列 (3) 常用结论 若数列务 , bn为等比数列，则数列 anbn (k为非零常数)均为等比数列. * 若 m+n=p+q (m , n, p, q N ),贝V ang3m=apg3q. 2 特别的，当n+m=2k时，得angam= ak

5、 在等比数列an中，每隔k(k N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等 k 13 比数列，且公比为 q(例如：ai，a4，a?，印。 仍为公比q的等比数列) 若数列an为等差数列，则记 2 aa2ak，?2k2a1ak2a2k，EkEka2k 1a2k 2a3k， 则Sk，S2k Sk，S3k S2k仍成等比数列，且公差为qk 三、求任意数列通项公式 an的方法 (1 )累加法：若an满足an+1 =an+f(n)利用累加法求：a. ai ai) (a3 a2) (a4 a3) (an an 1 ) 例题：若ai 1,且 an i an 2n，求：an 练习题：若数列an满足an

6、 1 an 2n 10，且ai 0 (2)累乘法：若an满足an 1 f(n) an利用累乘法求：an g(亠) an 1 analg()g()g( )g aia2a3 例题：在数列an中, ai 1 2,an1 练习题：在数列an中，a11且an nan 1，求：a n (提示：1 2 3 (3 )递推公式中既有Sn，又有an，用逐差法 an Sn=1 Sn Sn 1 n 2 特别注意：该公式对一切数列都成立。 (4)若an满足an 1 1，且 a11，求：an pan q,( p q),则两边加：x ，在提公因式P,构 P 1 造出一个等比数列，再出求：an 例题：已知数列an，满足：an

7、 1 2an 习题2:已知数列an满足：a1 2，且Sn an n，求：an 习题1 :已知数列an满足：an 1 3an 1 且 ai 1，求：an (5)若an满足am pan ，则两边同时除以：p 构造出一个等差数列, 再求出：an 例题：已知an满足: ai 2an 2n1，求:an 解：an 1 n 2an 2 n 2n_ an -，既有: 2 anan n 1 n 22 所以: ai 公差 -的等差数列 2 an 2n (n 1) 所以: 2n n 2n 1 习题1 ：已知an 1 3an 3n 1且 a1 求: an 习题2：已知an 1 n 1 2an 3 2 且 a11，求：

8、an (六)待定系数法：若an满足以下关系: an 1kanf n都可用待定系数法转变成一个等比数列来： 温馨提示：提k，对f (n)待定系数 例题1 :已知数列an满足ani 2an 3 5n，印6，求数列an的通项公式 解：an i x 5n1 2(an x 5n) a. i 2a. 3x 5n，与原式对应得，x 1 a5n 1 ani 5n1 2(an 5n)an 1 5n2 an 5 所以：an 5n是首项a1 51 1，公比q 2的等比数列 既有：an 5n 2n1 an 5n 2n 1 例题2:已知数列an满足an 1 3an 5 2n 4，內1，求数列的通项公式 解：an 1 x

9、 2n 1 y 3(an x 2n y) an 1 3an x 2n 2y， 与原式对应得：x 5,y2 a 5 2n 12 an1 5 2n1 2 3(an 5 2n 2)% 1 ： 2n / 3 an 5 22 所以：an52n2是首项为：a15212 13，公比q3的等比数列 既有：an5 2n 2133n 1an133n15 2n2 （七）颠倒法：若an满足：an 1 ，用颠倒法; 所以: C a an an 1 an C an 1 an 1 an CanC 1 1 an 1 C an C an C an C an an C 1，所以: C - 是以首项为: an -，公差d 丄的等差

10、数列 aiC 例题1 :已知an 1 2 a. an 2 且a1 2，求：an 例题2:已知an1 an 3an 3an 1，且 a1 1，求：an （八）倒数换元法 若数列a,满足：时缶， 则颠倒变成 1 B an C an 1 A an 然后再用两边加: 或者待定系数法既可求出 ，再颠倒就可得到: an an 例题：若数列 an 满足: an 2an-，且 a1 3 1，求: an 解：an 2an an 3 an an 1 1) 所以: 既有: an an 1 an 1 亍 an 是首项为: an 1 1 an （|）n1 an 若用待定系数法: an 1 2an an 3 an 1 丄

11、 2 an 法同上; 习题：已知3an 1 an 2an 1 1 ，两边加: 2 1 得: 丄1 ?丄 an 12 an 2，公比: 3门12门2 2 an an 的等比数列; 2 2门2 3n 1 2n an an 1 2 an an 且 a11 求: an 1 X） 1 x与原式子对应得 2 X 1，然后的方 an X 四、求前n项和Sn的方法 （1）错位相减求和 主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前 n项和；或者是等差与等 比的商的前n项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。既：设an aa 为等差数列，bn为等比数列，求：an bn或n的前n项和常用此方法（ 都转变为

12、乘积 bnbn 形式） 例题1 :已知数列an 2n，数列bn的前n项和Sn n2 2n，求数列a. g的前 n项和Tn 3n 1 例题2 :求数列an 丁的anbn的前n项和Sn 习题 1:求：Sn 1 2 4 227 23 . (3n 2) 2n 习题2：设数列an （2nn 11），求an的前n项和Sn 3 (2) 裂项相消求和 适用于an 的形式，变形为: n (n k) 1 n (n k) 例题：求数列an 寸的前n项和Sn 习题1 :求数列an 市的前n项和S” 1 1 1 习题2:求数列12，.2.3-n .n 1,的前n项和 (3) 、分组法求和：有些数列是和可以分成几部分分开求，在进行加减; 例题：求an 3n 2n 1的前n和Sn ？ 习题1：已知务是一个递增的等差数列且 a2 a4 4514，a.前n项和为& 2n 1