电路PPT课件第15章 电路方程的矩阵形式

1、第15章 电路方程的矩阵形式 本章重点 （1）图的矩阵表示 关联矩阵A 单连支回路矩阵B 单树支割集矩阵Q （2）矩阵形式的 KCL、KVL （3）节点电压方程的建立 15-1 图的基本概念 i1 i2i3 i1 i2i3 i1 i2i3 抽象 i = 0 抽象支路 + - 一. 图的基本概念 R2 C L uS R1 抽象 抽象 无 向 图 有 向 图 + - 连通图 图 不连通图 + - 抽象 连通图 抽象 不连通图 1. 图 G=支路，节点 允许孤立节点存在 二 . 名词和定义 2.子图 路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。 3. 连通图 图

2、G的任意两节点间至少有 一条路经时称G为连通图。 4.有向图 图中的方向表示原电路中支路电压和 电流关联参考方向。 15-2. 回路、树、割集 一. 回路 (1)连通； (2)每个节点关联支路数恰好为2。 1 23 4 5 6 7 8 2 5 3 1 2 7 5 8 4 回路不是回路 回路L是连通图G的一个子图。 具有下述性质 树不唯一 树支：组成树的支路 连支：属于G而不属于T的支路 二 . 树 (Tree) 树T是连通图G的一个子图，具有下述性质： (1)连通； (2)包含G的所有节点和部分支路； (3)不包含回路。 16个 树支数 bt= n-1 连支数 bl=b-(n-1) 单连支回路

3、（基本回路） 1 2 3 4 5 6 7 1 4 5 树支数 4 连支数 3 单连支回路独立回路 三. 割集 (1) 把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； (2)保留Q 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。 4 3 2 1 5 6 1 3 4 2 5 6 Q1: 2 , 5 , 4 , 6 割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质： 4 3 2 1 5 6 4 3 2 1 5 6 4 3 2 1 5 6 Q4: 1 , 5 , 2 Q3: 1 , 5 , 4Q2: 2 , 3 , 6 由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说， 组成割集的所有支路的电流应满足KCL

4、。 对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等 的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。 借助于“树”来确定独立割 集。 单树支割集（基本割集） 4 3 2 1 5 6 4 3 2 1 5 6 Q3: 1 , 5 ,3 , 6 Q2: 3 , 5 , 4 4 3 2 1 5 6 Q1: 2 , 3 , 6 连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉，剩下 的树支仍然构成连通图，与割集的定义矛盾。 由一条树支和部分连支可以构成割集。对于一个有n个 节点和b条支路组成的电路，树支数有（n-1）个，因此可 以构成（n-1）单树支割集。称之为基本割集组。 单树支割集独立割集 单树支割集独立割集

5、1 2 3 4 1，2，3，4 割集三个分离部分 1 2 3 4 1，2，3，4 割集 4 保留4支路，图不连通的。 15- 3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 一. 关联矩阵A 用矩阵形式描述节点和支路的关联性质 aij aij = 1 有向支路 j 与节点 i 关联且背离节点 i aij= -1 有向支路 j与节点 i 关联且指向节点 i aij =0 j 支路与i节点无关 关联矩阵 Aa=aijn b 节点数支路数 一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点 相关联。 6 4 5 3 2 1 Aa= 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 支 节 1 0 0 -1 0 1 -1 -1

6、 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0 Aa= 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 支 节 1 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 1 -1 -1 0 0 1 0 1 0 -1 1 0 -1 0 每一支路，连接在两个节 点上，必然要背离一个节 点，指向另一节点。 -1 -1 0 0 1 0 A= 1 2 3 1 2 3 4 5 6 支 节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1 称A为降阶关联矩阵 (n-1)b ， 表征独立节点与支路的关联性质 设为参考节点 设: 6 4 5 3 2 1 -1 -1 0 0 1 0 A= 1 2 3 1 2

7、3 4 5 6 支 节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1 6 5 4 3 2 1 u u u u u u u 支路电压 6 5 4 3 2 1 i i i i i i i 支路电流 3 2 1 n n n n u u u u 节点电压 矩阵形式的KCL Ai = 632 521 641 i ii ii i i ii ii i i ii ii i -1 -1 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1 6 5 4 3 2 1 i i i i i i 6 4 5 3 2 1 A i = 0 0 矩阵形式KVL 31 2 1 3 32 21 nn n n n

8、 nn nn uu u u u uu uu u u u u u u 6 5 4 3 2 1 3 2 1 101 010 001 100 110 011 n n n u u u uun T A 6 4 5 3 2 1 支路电压 结点电压 -1 -1 0 0 1 0 A= 1 2 3 1 2 3 4 5 6 支 节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1 二. 基本回路矩阵B 2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。 1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向一致 -1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向相反 0 支路j 不在回路i中 bij= 1 约定： 1. 回路的绕行方向取

9、连支电流方向。 用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质 B = b i j l b 基本回路数支路数 1 选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。 1 2 3 B = 4 5 6 1 2 3 支 回 1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 = Bt 1 设 T iiiiiii 321654 矩阵形式的KVL T lt uu uuuuuuu 321654 0 1 -1 0 0 1 BtBl B u = 0 1 2 3 3 2 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 i i i 3 2 1 6 5 4 3 2 1 32 321 21 i i i i

10、 i i i i i ii iii ii 1 B= Bt 1 1 B B T Tt l t l t i i i 1 B T ltt ii T B 用连支电流表示树支电流 BT il = i矩阵形式的KCL KCL的另一种形式 三. 基本割集矩阵Q 约定 (1) 割集方向与树支方向相同。 (2)支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。 qij= 1 j支路在割集i中且与割集i方向一致 -1 j支路在割集i中且与割集i方向相反 0 j 支路不在割集i中 1 用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质 Q = q i j n-1 b 基本割集数 支路数 Q= 4 5 6 1 2 3 支 割集 C1 C

11、2 C3 1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 C1:1,2,4 C2:1,2,3,5 C3:2,3,6 设 T 321654 iiiiiii ut= u4 u5 u6 T 矩阵形式的KCL： 1 0 0 1 0 -1 1 QlQt Qi =0 0 Q 1 l t l i i llt iiQ 回路矩阵表示时 l T tt iiB T BQ tl 用连支电流表示树支电流 矩阵形式的KCL的另一种形式 Qi =0 可写成 l t lt i i Q Q 回路矩阵和割集矩阵的关系 3 2 1 6 5 4 65 654 54 6 5 4 6 5 4 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0

12、 1 0 0 1 1 0 0 1 u u u u u u uu uuu uu u u u u u u t l t l t uu u u u T T Q 1 Q tll uu T Q 1 矩阵形式的KVL 用树支电压表示连支电压 QTut=u KVL的另一种形式 Q Qi=0 QTut=u 小结： l T tt iiB ul = - Btut llt iiQ tll uu T Q T BQ tl AB Ai=0 BTil=i KCL KVL ATun=u Bu=0 15-4 回路电流方程的矩阵形式 一. 复合支路 对于整个电路有： SS UIIU ZZ sksk k kUIIZU . )( k

13、k k k Cj Lj R Z 1 二. 复合支路约束方程 由RLC、电压源、电流源组成 参考方向如图所示 不存在无伴电流源 1、电感之间无耦合情况 Z 为支路阻抗矩阵，它是一个对角阵。 k U S I Sk U k I ek I Zk 0B KVL U l II T B KCL 0BBZBZB SS UIIU SSl IUI BZBBZB T 回路方程矩阵形式 zL 回路阻抗阵：主对角线上元素为回路自阻抗， 非对角元素为互阻抗。 SS UIIUVCR ZZ 2、电感之间存在耦合时，方程中还应考虑互感电压的作用， 比较复杂。此时，Z不再是对角阵。 3、当电路中含有与无源元件串联的受控电压源时（

14、控制量 为其它支路无源元件的电压或电流）， Z不再是对角阵。 三. 回路方程 k U S I Sk U k I ek I Zk 例15-1 用矩阵形式列出图示电路的回路电流方程。 + R2 R1 j L3 jL4 5 1 Cj 2 . SU 1 . SI 1 4 3 5 2 11010 10101 1 2 B 1 2 3 4 5 1 , 5 4321 Cj LjLjRRdiagZ T S SUU0000 . 2 . T S SII0000 . 1 . SSl IUI BZBBZB T . 2 . 11 . 2 . 1 5 42 5 55 31 11 11 S S l l U IR I I Cj

15、 LjR Cj CjCj LjR 15-5 节点电压方程的矩阵形式 电路分析依据： KCL A i =0 KVL u=ATun 元件特性方程 条支路电压条支路电压第第 条支路电流条支路电流第第 kU kI k k 独立电流源独立电流源 独立电压源独立电压源 Sk Sk I U 规定每个支路必须有一个阻抗 k支路抽象为： k k k Z Y 1 一.无互感和受控电流源时的节点方程 设标准支路为： k U S I Sk U k I ek I Zk k支路电压、电流关系： SkkSkkk UIIZU )( 设 T 21b IIII Z=diagZ1 Z2 Zb Y=diagY1 Y2 Yb SkkS

16、kkk IUUYI )( T 21b UUUU T 21SbSSS UUUU T 21SbSSS IIII Z=Y -1 SS IUUYI )( k U S I Sk U k I ek I Zk SS IUYUYI Sb Sk S Sbb Skk S b k b k I I I UU UU UU Y Y Y I I I 11111 0000 0000 0000 0000 0000 支路电压的矩阵方程 SkkSkkk IUUYI )( k U S I Sk U k I ek I Zk SS IUYUYI 由KCL A i =0 由KVL u=ATun 0AAAA SS IUYUYI 0AAAA

17、T SSn IUYUY 节点导纳阵 T n YYAA 令令 SSnn UYIUY A-A 得节点电压方程 由此求得支路电压和电流 n U U n U T A I SS IUYUYI k U Sk I Sk U k I ek I k Y 例15-2 5V 0.5W2W 1W 0.5W 5W1W 3A 1A 1 2 3 4 5 6 1. 画有向图 2. 110100 001110 100011 A 3. 110.220.52diagY k U Sk I Sk U k I ek I k Y 1 23 45 6 5V 0.5W2W 1W 0.5W 5W1W 3A 1A 1 2 3 4 5 6 4. T

18、 000005 S U 5. T 031000 S I SSnn UIU YA-AY 6. 3 1 10 421 27 . 25 . 0 15 . 05 . 3 3 2 1 n n n U U U 得 k U S I Sk U k I ek I k Y 2 1 22 11 2 1 2 1 S S S S U U II II L jMj M j L j U U 21122 2 2)()(SSSUIIMjIILjU 12211 1 1)()(SSSUIIMjIILjU 二.有互感时的节点方程 . US1 . IS2 . IS1 . US2 jL1 jL2 * * M . I1 . I2 SS IU

19、Y U Y I SS UIZ I Z U Y=Z-1 sb S bSb S b b U U II II Z Z LjMj MjLj U U U 1 11 3 2 1 2 1 0 0 Y=Z-1 b Y Y LM ML Y 0 0 3 1 2 )( 2 21 MLLj 5 3 2 1 0000 0 j 1 000 00jj-0 00j-j0 0000 R C LM ML R Z 1 23 4 5 10100 01110 00011 A T 1 0000 SS II 例2 T 5 0000 SS UU + US5 R5 R1 L2L3 C4 IS1 M Y=Z-1 5 4 2 3 1 1 0000

20、 0j000 000 000 0000 1 R C LM ML R Y )(j 2 32 MLL 其中 SSnn UIU YA-AY T n AYAY 三.具有受控源电路的节点方程 )( Skk k ek k ekUUYUYI )( sjj g ej g dk UUUI kjkj sk sjjkj skkkk IUUgUUYI )()( )( sjj Y ej UUI j sk sjjjkj skkkk IUUYUUYI )()( ej kj dkUgI 设设 VCCS)1(为为dkI ej kj dkII 设设 CCCS)2(为为dkI . . USk Idk . Ik . Iek Zk k

21、 U SKI sb sj sk s sbb sjj skk s b j k jk b k I I I I UU UU UU UU Y Y Y Y I I I 111 1 1 0 0 考虑b个支路时： jkjY K )2( kj gK )1( K SSnn UIU YA-AY T n AYAY 00011 01101 11000 A 5 0000 sS iI 52 4 3 1 3 0 例3： iS5 gua ua G5 C3 G4 + - * * M L2 L1 5 4 3 1 2 0000 0000 000 000 000 G G gLj LM ML Y 52 4 3 1 3 0 例3： iS

22、5 gua ua G5 C3 G4 + - * * M L2 L1 SSn T UYAIAUAYA 0 0 2 0 0 5 3 2 1 212 22 344 454 s n n nI U U U MLLML MLL LjGgGg GGG 代入 取割集（树支）电压为未知量 0Q KCL I t UU T Q KVL 0QQYQYQ SS IUUI SSt UIU QYQQYQ T 割集方程矩阵形式Yt 割集导纳阵 k U S I Sk U k I ek I Zk SS IUUI YY 元件特性 15-6 割集电压方程的矩阵形式 要求： 1. 掌握回路、树、割集的概念。 2.会写关联矩阵、基本回路

23、矩阵、基本割集矩阵。 3.掌握节点方程的矩阵形式 SSn T UYAIAUAYA (1)画出有向图 (2)写出关联矩阵 (3)写出支路导纳阵 (4)以3,4,5为树支写出基本回路矩阵B，基本割集矩阵Q。 4 1 2 3 5 6 uS C3 L2 L1 + - R4 R5 R6 * * M 3 I 3 I A= 1 2 3 1 2 3 4 5 6 支 节 -1 0 0 1 0 1 -1 1 1 0 0 0 0 -1 0 0 1 -1 uS C3 L2 L1 + - R4 R5 R6 * * M 3 I 3 I 4 1 2 3 5 6 6 5 3 4 3 1 2 1 00000 0 1 0Cj00

24、 00 1 000 00000 0000 0000 Y R R R R R R C Cj j L LM M M ML L 4 1 2 3 5 6 B = 3 4 5 1 2 6 支 回 1 2 6 B = 支 回 1 -1 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 0 0 - 1 1 0 0 1 BtBl Q= 3 4 5 1 2 6 支 割集 3 4 5 1 0 0 -1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 -1 -1 QlQt )( 2 2 teu dt du R L dt ud LC C CC 15-8 状态方程 )()()( 0 SESHSU 动态网络的分析方法，按照描述网络的

25、微分方程 可分为输入输出法和状态变量 法。 R L C e(t) + - uc i L i C uo + uL - )(teuu CL dt di Lu L L R u ii C CL dt du Ci C C 一. 基本概念 (1)状态变量 在分析网络(或系统)时，在网络内部选一组最少数量的 特定变量X，X=X1,X2XnT ，只要知道这组变量在某一时 刻值X(t0),再知道输入e(t)就可以确定t0及t0以后任何时刻网络 的性状(响应)，称这一组最少数目的特定变量为状态变量。 )( 0 tX )(),( 0 ttte )(),( 0 tttY 已知: R=3W Ai Vu tte L C

26、0)0( 3)0( )30sin(20)( 求：)0()0()0()0( RRLC uiui， 解：由 VuL7)0( VuR3)0( Ai Ai C R 1)0( 1)0( 0)0( 3)0( L C i Vu e(0)=10V R L C e(t) + - uc i L i C uo 例 ： 可求出 同理可推 广至任一时刻 t1 可由 )( )( )( 1 1 1 ti tu t L c e 求出 )( )( )( )( 1 1 1 1 ti ti tu tu c R L R 由此例可知： (1)状态变量和储能元件有关； (2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量 。 uC、iL 称为状

27、态变量。它们的初值和激励e(t)一起可 以确定该电路在任何时刻的性状。 2.状态方程 对状态变量列出的一阶微分方程为状态方程。 设uc、iL为状态变量 则： Rdt d c uc iL uc ic C L L ute dt di Lu)( cRCdt d iuu Lcc L te Ldt d ui cL )( 整理得 R L C e(t) + - uc i L i C uo 状态方程 矩阵形式： )( 1 0 0 1 11 te L L CRC dt d dt d i u i u L c L c VBXAX 0 3 )0( )0( )0( L C i u X 特点：(1)联立一阶微分方程组 (

28、2)左端为状态变量的一阶导数 (3)右端含状态变量和输入量 一般形式： T n dt dx dt dx dt dx X, 21 n:状态变量个数 r：输入激励数 nn nr T n xxxX, 21 cRCdt d iuu Lcc L te Ldt d ui cL )( 3.输出方程 )( 0 0 0 1 0 1 01 1 1 01 te R R u i u i u i L c R R c L 特点：(1)代数方程 (2)用状态变量和输入 量表示输出量 一般形式：Y=CX+DV R L C e(t) + - uc i L i C uo m*n m*r m为输出变量数 R u i uu i R

29、u i teuu C R CR L C C CL )( 二. 状态方程的列写 1.直观法 (1) 线性电路以iL ,uc为状态变量。 (2)对含有电容的支路，选择一个节点列出KCL方程， 基本思想： 项；项；在方程中包括在方程中包括 dt duc (3)对含有电感的支路，选择一个回路列出KVL方程， 项；项；在方程中包括在方程中包括 dt diL (4)保留状态变量和输入激励，消去非状态变量。 设uc , iL1， iL2为状态变量 SCC L uRiu dt di L 1 1 1 RL L iRu dt di L 21 2 2 消去非状态量 ic= - (iL1 +iL2) iR = is

30、+iL2 uL1= uc -(iL1 +iL2 )R1 +us 21LL C ii dt du C C C i dt du C 1 1 1L L u dt di L 2 2 2L L u dt di L us R1 C L1 L2 R2 i s - + uC iL2 iL1 iR + - iC s s s s L L L L C C L L L L C C i i u u L L R R L L L L i i i i u u L L R RR R L L R R L L L L R R L L R R L L C CC C dtdt didi dtdt didi dtdt dudu 2 2 2 1 2 1 2 21 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 00 1 1 11 0 21LL C ii dt du C SLLC L uRiiu dt di L 121 1 1 )( )()( 22121 2 2LSSLLC