矩阵可交换成立的条件与性质

1、长春师范学院本科生毕业论文矩阵可交换成立的条件与性质系（部）：数学系 专业：数学与应用数学学号：0707140305 学生姓名：史丹指导教师：魏丽莉 职称：副教授2010年12月摘要摘要：矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义。众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，abba。但是，在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律。可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用。本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵。关键词：矩阵；可交换；条件；性质；上3角矩

2、阵theconditionsforthecommutationofmatrixandsomepropertiesofthecommutativematrixabstract：matrix, a important content in altitude-mathematics, has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field. as far as we have concerned, the multiplication of matrix could no

3、t satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally, abba . whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. the exchangeable matrix has many special properties and important effection. this paper discusses some condition

4、s of the matrix exchange and part of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. all of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.key words：matrix;interchangeable;conditions;property;upper tri

5、angular matrix目录前言 11.矩阵可交换成立的条件22.可交换矩阵的性质63.几类常用的可交换矩阵 84.可交换矩阵的应用 10总结14参考文献 15致谢16前言矩阵的乘法不适合交换律是指一般情形而说的,但是对于个别矩阵,它满足一定的条件,即它是可交换的。可交换矩阵的概念:如果两个矩阵a与b满足ab=ba,则称矩阵a与b是可交换的。 矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：（1）ab有意义时，ba不一定有意义。（2）ab与ba均有意义时，阶数可能不相等。（3）ab与ba均有意义，且阶数相等时，仍可能出现abba。1、矩阵可交换成立的条件：若ab=ba成立，则称方阵a与b为可交换

6、矩阵。设f(x)=am+am-1+a1+a0,系数a0,a1,am均为数域p中的交换数，a为p上的一个n阶方阵，记f(a)=am+am-1+a1a+a0e.容易看出：任何方阵a都与其伴随矩阵是可交换的，且二者的乘积为|ai|n;对于任何方阵a，f(a)=a0+a1+api与g(a)=b0+b1+bqi,可交换.定理1设n阶方阵a，b满足条件a+b=ab.则a，可交换.证明：由条件a+b=ab,变形可得-i=a-i+b-ab=(a-i)+b(i-a)=-(a-i)(b-i)即(a-i)(b-i)=i所以a-i为可逆矩阵，其逆矩阵为b-i，有(a-i)(b-i)=(b-i)(a-i)=i即ab-a

7、-b+i=ba-b-a+i从而可得ab=ba.定理2设a,b均为对称矩阵，则a,b可交换的充要条件是ab为对称矩阵。证明:设a,b均为对称矩阵，由于，则，所以ab是对称的。反之，注意到，所以ab，因此，a,b可交换。推论 ：设a为n阶对称矩阵，则a，都可交换.定理3：设a为对称矩阵，b为反对称矩阵，则a,b可交换的充要条件是ab为反对称矩阵.证明：设=a，=-b,由于ab=ba,所以=-ba=-（ab）. 所以ab为反对称矩阵.反之，若ab为反对称矩阵,则-（ab）=-（ba）从而ab=ba.定理4：设，均为反对称矩阵，则，可交换的充要条件是为对称矩阵证明：因ab均为反对称矩阵，故有=-a，=

8、-b，又因为a，b可交换，故有ab=ba成立.从而=（-b）（-a）=ab=ba，反之，若ab为对称矩阵，则ab=（-b）（-a）=ba=ab,所以,是可交换定理：若，为同阶可逆矩阵，则a，b可交换的冲要条件是，可交换.证明：因ab=ba,故有=即，与是可交换的。反之，因，可交换，故有=两边求逆得到ab=ba.推论：可逆矩阵a，b可交换的冲要条件是=.定理6；若a，b为n阶方阵，则可交换的条件是=证明：如果ab=ab，那么=。反之，若=，则=，即ab=ba。定理：设可交换，则以下结论成立：（1）（-b）（）（）(）；（2）(3)= -（4），其中，分别为正整数；（）（）（）（）（）；（）证明:

9、（1）因为(a+b)(a-b)=+ab-ba-，(a+b)(a-b)= -ab+ba-由已知ab=ba，可得=(a-b)(a+b)=(a+b)(a-b)（2）(a+b)(a+b)=+ab+ba由已知ab=ba，可得:=+2ab+同理可得：=-2ab+(3)由已知ab=ba,可得=ababab=aabbab=aaabb=,a=abbb=babb=bbba=a(4)运用数学归纳法（）当m=2时，由（1），等式成立，即-=(a-b)(a+b)()假设m=k-1时，等式成立，即有-=(a-b)(+b+)（）则当m=k时，由已知ab=ba，有-=(-)(a+b)-b+a=(a-b)(+b+)(a+b)-

10、 b+a=+b+-b+a由性质有：a=a，b=b，因此，上式可转化为：-=+b+-b+a=+b+a- b-=(a-b)+ b(a-b) +(a-b)=(a-b)（+b+）即证得-=(a-b)（+b+）同理可证得-=（+b+）(a-b)（5）对m用数学归纳法同（4）即可得证。定理8矩阵a能与一切n阶矩阵可交换的充分必要条件是a为数量矩阵。证明：若a与一切n阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知a必为一对角线矩阵。设a=取矩阵b= 代入条件ab=ba,得=，所以a是一个数量矩阵。反之，设a= ai,b为任一n阶矩阵，则ab=(ai)b=ab=ba=(bi)a=b(ia)

11、=ba引理1（i）a=0时（即a为零矩阵时），与a可交换得矩阵b可以是任意的与a同价的b矩阵。（ii）当a是纯量矩阵时，即，a是实数，是n 阶单位矩阵，则与a可交换得矩阵也可以是任意与a同价的矩阵;(iii)a的幂矩阵总是与a可交换。定理1与a可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于n-1次的多项式矩阵。引理2当a矩阵为对角阵时，即，且互不相同时，与它可交换的b矩阵必可表示成a的n-1次多项式。定理2一个矩阵a化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与a可交换的矩阵其充要条件为b可化为a的n-1次多项式。定理3下列均是a , b 可交换的充要条件:(1)a-b =(a + b)(a-b)

12、=(a-b)(a+b)(2)(ab)2 =a2 2ab+b2(3)(ab)=ab(4)(ab)=ab定理4可逆矩阵a , b 可交换的充要条件是：(ab) = a b . 定理5(1)设a,b均为(反) 对称矩阵, 则a,b 可交换的充要条件是ab为对称矩阵;(2)设a,b有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则a,b可交换的充要条是ab为反对称矩阵.、可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质。性质1设a,b可交换,则有:(1)ab=ba,(ab)=ab,其中m , k 都是正整数;(2)af(b)=f(b)a,其中f(b)是b的多项式,即a与b的多项式可交换;(3)a-b=(a-b

13、)(a+ab?+b)=(a+ab+?+b)(a-b)(4)(a+b)m = 性质2 (矩阵二项式定理)设a, b可交换,则有：(1)若a,b均为对合矩阵,则ab也为对合矩阵;(2)若a,b均为幂等矩阵,则ab,a+b-ab也为幂等矩阵;(3)若a,b均为幂幺矩阵,则ab也为幂幺矩阵;(4)若a,b均为幂零矩阵,则ab,a +b均为幂零矩阵.3、几类常用的可交换矩阵下面所说的的矩阵均指n 阶实方阵定理（1）设a,b至少有一个为零矩阵,则a,b可交换;(2)设a,b至少有一个为单位矩阵, 则a,b可交换;(3)设a,b至少有一个为数量矩阵,则a,b可交换;(4)设a,b均为对角矩阵,则a,b可交换

14、;(5)设a,b均为准对角矩阵,则a,b可交换;(6)设a*是a的伴随矩阵,则a*与a可交换;(7)设a可逆,则a与a可交换;(8)设ab=e,则a,b可交换.定理2(1)设ab=a+b,其中,为非零实数,则a,b可交换;(2)设am+ab= e ,其中m为正整数,为非零实数,则a,b可交换。定理3(1)设a可逆,若ab=o或a=ab或a=ba,则a,b可交换;(2)设a,b均可逆,若对任意实数k,均有a=(a-ke)b,则a,b可交换.4.可交换矩阵的应用应用证明：1.与任意一个n阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？不妨设b为可逆矩阵则由于ab=ba所以对于任意可逆阵b都有b-1ab=a即

15、a的任意线性变换仍是a自己这样的矩阵只能是ki2.证明：如果矩阵a与所有的n阶矩阵可交换，则a一定是数量矩阵，即aae 记a=aij 用eij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵。因a与任何矩阵均可交换，所以必与e 可交换。由aeij=eija得aji=aij i=j=1,2,3,.n 及aij=0 i不等于j故a是数量矩阵3证明。若矩阵a1,a2都与b可交换，则ka1+la2,a1a2也都与b可交换已知a1b=ba1a2b=ba2 的话那么(ka1+la2)b=ka1b+la2b=bka1+bla2=b(ka1+la2)(a1a2)b=a1(a2b)=a1ba2=(a1b)a2

16、=b(a1a2)4. 证明：如果任一个n维非零向量都是n阶矩阵a的特征向量，则a是一个数量矩设v是n阶矩阵a的特征值 由题意 矩阵特征值对应的线性无关特征向量的个数和是n 说明：1)矩阵可对角化 2)a满秩 由于特征向量空间的维数和是n 那么其中一最大线性无关组是e1.en；e1.en是单位矩阵的列向量 变换矩阵为e1.en=i i-1*a*i=b a=b=v1 *. *vn 另取特征向量x=1.1t ax=kx k是其中一个特征值 v1.vnt=k.kt =v1=.=vn=k 所以 a=k *. *号是为了显示矩阵的格式，可以忽略*k 所以a是数量矩阵5. 证明 a与b可交换（即ab=ba)

17、的充分必要条件是ab为对称矩阵（即(ab)t=ab） 题目根本就是错的，a取单位阵，b取任意非对称阵，那么ab非对称但ab=ba。一定要加一个条件a和b本身都是对称阵才有结论。若ab=ba，则(ab)t=(ba)t=atbt=ab。反之，若(ab)t=ab，则ab=btat=ba6.证明:设a,b为乘积可交换的n阶矩阵,且初等因子为一次的;则存在n阶可逆矩阵p,使得都为对角矩阵。7.设为复数域c上两两交换的矩阵,证明:必存在n阶复非奇异矩阵p,使得为上三角矩阵。 证明思路:用归纳法,先证明,这只要将在v中取一组基,使得矩阵对应到线性变换得为c上两两交换的变换。8.设是复数域上的n维线性空间上的

18、两个可对角化的线性变换。证明,可对角化。 证明:在v中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为a,b,且a,b与对角形相似。9.证明命题:所有与a可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环。一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如(ab)2=a22ab+b2 a和b可交换.(a+b)(a-b)=a2-b2 a和b可交换.a和b可交换(不是!)有二项公式。10.求与可交换的全体2阶方阵分析:设与可交换的矩阵为，由列出对应元素的方程求解的元素解:设与可交换的2阶方阵为由，即得，解之得，故与可交换的全体2阶方阵为，其

19、中为任意常数11.试证与任意阶方阵相乘均可交换的阶方阵必为数量矩阵分析:设阶方阵与任意阶方阵可交换，则与一些特殊的阶方阵也可交换，适当地取这些特殊的阶方阵，可以使确定的元素更容易证:设与任意阶方阵可交换，则必与阶方阵可交换，其中是行列元素为1而其余元素全为0的阶方阵可求得，由，得，即矩阵的对角元素相等，而非对角元素均为零，故为数量矩阵12.设为阶方阵，且证明分析:因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序的等式，所以可将所给等式进行恒等变形，变成(或)的形式，此时有(或)利用此可证明矩阵乘积次序可交换的命题证:由得，即，于是有因为与为阶方阵，由所得等式知可逆且为的逆矩阵，从而有，即，故结论本文通

20、过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明两方面的应用进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的相关问题以及矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论；在计算方面利用可交换矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高级行列式的问题，在求逆矩阵方面，本文着重论述了将一个高级矩阵进行矩阵分块分成二级矩阵后，通过讨论四子块的各自特点来求原矩阵逆矩阵的快捷方法，并且给出了求解具有特殊性质行列式的方法.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵

21、可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.参考文献.1.国家工科数学教育基地.线性代数eb. 2.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）m.高等教育出版社.2007:181-186.3.戴立辉 矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质 期刊论文 -华东地质学院学报2002(04) 4.戴华 矩阵论 2001 5.阎家灏.赵锡英 可交换矩阵 期刊论文 -兰州工业高等专科学校学报2002(03) 6.期刊论文 矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质 - 华东地质

22、学院学报2002,25(4) 7.期刊论文 可交换矩阵浅析 - 和田师范专科学校学报2009,(4) 8.期刊论文 与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨 - 长沙大学学报2010,24(5) 9.期刊论文 可交换矩阵的一个性质 - 濮阳职业技术学院学报2010,23(3) 10.期刊论文 可交换矩阵 - 兰州工业高等专科学校学报2002,9(3) 11.学位论文 矩阵方程ax+xb=c的显式解及其应用 2002 致谢本文是在导师魏丽莉教授的细心指导下完成的，导师在学业上的谆谆教诲和身体力行、在生活上的默默关心和无私帮助将使我受益终身，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师对科学事业的献身精神以及高度

23、的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表! 课题的顺利进行，还得益于四年来各位同门的支持和帮助，在此特别感谢在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮组，为研究工作的顺利进行奠定了基础.感谢本课题组的兄弟姐妹提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所以帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.学生签名：史丹日期：附录：外文翻译in wang zuoliangs translation practices, he translated many poems, especially

24、the poems written by robert burns. his translation of burns “a red, red rose” brought him fame as a verse translator. at the same time, he published about ten papers on the translation of poems. some argue that poems cannot be translated. frost stresses that poetry might get lost in translation. acc

25、ording to wang, verse translation is possible and necessary, for “the poet-translator brings over some exciting work from another culture and in doing so is also writing his own best work, thereby adding something to his culture. in this transmission and exchange, a richer, more colorful world emerg

26、es. ”(wang, 1991:112). then how can we translate poems? according to wangs understanding, the translation of poems is related to three aspects: a poems meaning, poetic art and language. （1）a poems meaning “socio-cultural differences are formidable enough, but the matter is made much more complex whe

27、n one realizes that meaning does not consist in the meaning of words only, but also in syntactical structures, speech rhythms, levels of style.” (wang, 1991:93).（2）poetic art according to wang, “blys point about the marvelous translation being made possible in the united states only after whitman, p

28、ound and williams carlos williams composed poetry in speech rhythms shows what may be gained when there is a genuine revolution in poetic art.” (wang, 1991:93).（3）language “sometimes language stays static and sometimes language stays active. when language is active, it is beneficial to translation” “this would require this kind of intimate understanding, on the part of the translator, of its genius, its idiosyncrasies, its past and present, what it can do and what it