川大版高数第四册课后答案目前最全的

1、 2. (2) 总-辔=塢貲,实部为暮虚部为务，模为 所以n = 2时，实部为-毎虚部为密、辐角为警 一 1,虚部为0,辐角为(2上+1)开，上=0,1,2, 警 + 2Ar7r, A: = 0, 1, 2, +甲 1-21 1-2 第一章部分习题解答 1. -2i； (2) -I； (3) 1; (4) -4; (5) 设( +纫尸=a +氏,于是 x2 y2 = a, 2xy = b.(1.1) 由此可得(严+沪尸=(工2 一/尸+ 42 = 02 +胪，因而必有工2 +沪=丁品+屏.联合(1.1)中 第一式可解得 x2 寺(a + x/a? + 舁), y2 = 1(a + 血2 + 护

2、). 虽然可無得两个工值，两个2/值,但不能随意组合这些值，必须使其满足(1.1)中第二式.最终得 当 M0时，z 、 r 亠(/a+丁以 + 夕.b l-a+xT V=(V2 + 制2) 对于6 = 0的悄形，当a0时,其值为士迈；当a V0时,其值为土?心 ,辐角为 arctan 寺 + 2亦，k = 0, 土 1、土2、. 71 =2,3,4可知，三种悄况下模都是1.进一 n = 2; n = 3; n = 4. + 2M, k = 0土 1,2,；n = 3 时，实部为 ；n =4时，实部为-芬虚部为-乎，辐角为 (3) 利用笫1题(5)的结果有 _ ，开_ 开/4+2fi7r l 另

3、外，因为1 + 3 = 宓卞、所以v/T+7 = 2, n = 0?l.所以冗=0时，实部为Q呼、 虚部为模为02,辐角为哥+ 2血，fc = 0,l,2,.-;n=l时,实部为一虚部 为-沿严,模为他,辐角为普+ 2亦，上=0,1,土2,. (4) 因 皿+分=2请，故(俯+0-3 = 2-谬=一所以(v + i)-3的实部为0,虚部为一吉，模 为吉，辐角为一今+ 2上叭上=0,1,2,. (5) 实部为虚部为一乎，模为1,辐角为一号+ 2亦，上=0,1,2,. 3. 因刁=占,也=2e一碣，故乍2 = 2/寻=2(cos令+龙血令)，学=詔苔=寺(cos磊+让in钮. 2 =4 sin2

4、0. 4. 由z+1 = 2cos0得，(z + 2)=以+2+g = 4cos2 0.等式两边同时减去4得 所以z- = 土勿sin0.由此得z = ei9.所以 + 0干加 =2 cosmO. 2_1g 一试2tt 由2 = _亍 =才丁 知axgz = 警 1+闪2| +ef3 6. E ?3-i = 2e 请，故 z =(虫 _ 2)6 = 26eiir = 26er.2jt_ (1 + 皿)-1。= 2f 丁 = 2-10esT = 2-(_l + y/3t). (3) (4) 由z4 = a4 = o4eiK得4个根为 =1 + 2i. = aet2nt1)gr 5 n = 0,1

5、,2,3. Zq =字 a(l +),zi =务a(1 + i),2 =乎 a(i 。，衍=乎 a(l i). 三0,即f(z)三0;若u2+v2 = r2#0,则上面的方程组只有零解, 即站=% = 0.再次利用C-R方程得屿=% = 0.因此乞和u在区域D上为常数，所以 为常数. 若Ref在D上是一常数，则由C-R方程可知 = J = 0因此u在区域D上也为常数,所 以f(z)为常数P 5. 可利用求导公式fz) = - +辿进行计算. (1) ex(xcosy y hh = 0, Uyy = 2a. 容易看出只有工=o时，即在虚轴匕+ “的=0成;立.但虚轴不是一个区域，而调和函数必须在

6、一 个区域内满足拉普拉斯方程亠, =()所以U = XJ/2不是调和函数. 0.设U = 2jy.v=x2-y2.计算可得 = 2y, vy = -2y.因此CR方程只可能在=0时，即在实轴上 成立.但实轴不是一个区域.因此2功+龙(尹-沪)在复平面上无解析点，即它不是一个解析函数. ii题中的f(r)应更正为丽.否则，取f=z,则/(-)= 3，但z是解析函数,而-不是無析函数(见 教材19页上的例1和例2).进一步，f(z)解析的区域D应当关于实轴对祢，否则丽可能无定义. 现在来证明更1E后的命题. 证法一 设 f(z) = u(x,y)则 /(T) = u(x,-y) - iv(x,-y

7、) =(p(x,y)于(z)在区 域D内解析 u(x,y),v(x,y)在。内可微且 一(勺 y) =y), uy(x, y) = -vx(x, y).(2.3) 由于 p(x. y) = u(x, -y),讽眄 y) = -v(x, -y),并且 塞=%(z，-0)，窮=-吟(叭一y)，薯=-%(z, -y),窮=%(H, -s/) 从这些等式中不难推出(2.3)等价J：髦=鈴黔=貉.因此f(T)与7M的解析性等价. 证法二令g(z) =丽,则 lim能)-皿)=向至二亜=血(心-仙)=怙严)-仙), Z ZqZ ZqXxo T To /W*WO W Wq ) 其中3 = -,wo =莎由此

8、可知g(z)在2。的可微性与f(z)在詬的可微性是等价的.所以在关F实 轴对祢的区域内/(T)与7W的解析性等价. 12. 原题的条件表述不准确，应更改为设w = f(z)是区域D内的解析函数，并且在区域D内ff(z)丰0. 下面我们在更止后的条件下进行论证.由在区域D内关J： z的导数处处不为举和教材124页 上的定理6.1可知，V是关J： z的单叶解析函数4 (定义见教材123页).因此3 = f(z)有反函数 z =下面我们证明z = fw)在区域G = f(z)z G DP也是解析的.设zoeD,则fw) 在点wo = f(zo)可导.事实上， lim厂诞)-厂(哎=lim 。=lim

9、十匕=亠. WT90W Wqz-zo f(z) f(zo) zZO /(-)尸(引) ZZQ 因为Z = f-w)在区域G内解析，所以C-R方程 dx dy dx dy丄 成立.证毕. 13. 该题中双曲lE弦函数的定义印刷有误，应更止为sh =； 利用第7题的结论进行证明. 17. 沿负实轴割破z平面意味肴幅角0的变化范围限制在-兀V 0 V 7T.这时三个单值分支分别对应图 2.1中的I, H,皿区.由w(i) = -i可知，应取第三分支W3 =畔.又由=e-T.0 = -f.所以 w3(t) = ei3f = e译=4- 0- 18. (1) ez = 1 4- i/3 = 2e*, z

10、 Ln(l 4- i/3) = In 2 4- i(j 4- 2Z;)7r, = 0, 1, 2, (2) z=e = i. 19. Hl z = re.z 1 = pe 得，p = yj(r cos 0 l)2 + r2 sin2 0 /l + r2 2r cos0.所以 Reln(s 1) = lnp = ln(l 4- r2 2rcos0). 4单叶解析西数的导数不霁于零.这一结论的证明耍用到儒歇定理,趙岀了教学范围.所以尽管本题的条件町简述为“设 w足关于2的单叶解析函数”，我们却加上了导数不为不的假设. 5非常数的解析由数把区域映射为区域.这一结论的证明也趙出了教学范咏 图21 20

11、由对数函敬、一般無函数和描数函数的定义有 Ln(l + i) = In +i(?r/4 + 2fc?r), fc = O, 1, 2,. (1 + 讣=严 M =eb %十“+2 加)=广伍 “+2far)C08(ln g + 血血迈)肚=0, 1, 土 2, y = eLn3 二欣皿呵=eiin3e-2 = e-2cos(ln3) + i血血3), fc = 0?土1, 土2,. 护二尹亦=广何2+2,丹在收敛圆周上处处发散因为在单位圆周上 (3) 和(5)见教材75页例4. 2. 4 A仇rrf片 崗八、业分 也I虫I砧呵上成立 知，展式在整个复平面上成立. (2)因为“ 注意该级数只有奇

12、数次项，是缺项级数，不能用系数的比値判别法判断收敛半径利用lim 囚= OO,可知nlim 7(2卄1)人+1)； = 0所以展式在整个复平面上成立(也可从证明罟血是 整函数的角度讨论) (4) 方法一: c4 =1 _ / sin 2zdz = 1-E 击知 fQ (2?严讼 一 1 十(1 尸(2z严+2 _ 1 十(l)”(2z严 為 (2心2)! 洛(2伸 因为COS2Z是整函数，所以展式在整个复平面上成立. (5) 方法一： 方法二：由(sWzy = 2sinzcosz = sin2z =刀厲f 可知】, 因为sir?足整函数，所以展式在整个复平面上成立. 方法三：廿实上， 和(5)

13、可合在起讨论.由 sin2 z + cos2 z = 2- 2o( 1尸(2z)2e (2n)! n=O cos z sin z = cos Iz = cos =丄 + 丄 f(WT = 1 + 2 F(-1)”严 S)! _ 1(-l)n(2s)2n n= 1 22 2(2n)!2 厶 .211(1尸(2可2 (2n)! 22 厶 (2n)! n=O 7 (6) 3(1) (2) 占=(住)仝卽喀4逸N lim gd = lim q = 0.收敛半径为 moon*oo 该级数为缺项级数，系数Cfc为 oo. 0, 如果 A: = n!,n = 0,l,2,. 否则. lim fc*oo y/

14、ck = 1- 4. 所以收敛半径为1. 该级数为缺项级数，系数6为 n = 0, 2.4, n =3, 5， 于是 所以收敛半径为1/4. Cn = n!/nn. -尸是 (n + 1)! nn lim 6 + = lim m8 Cnn一8 (n + l)n+1 Til (TTi7) =e 所以收敛半径为 “ n=0n=O 当 1 V|2| V8 时, OO OO =(吉+荀丈吉= + 2亡肩 n=0 n+3* n=0 + 1 00 /1n = 2v-. n=ln=0 (3) 利用级数的柯西乘积公式有 ”800008OO Ar 号时)= EE- = e 所以 2(以 + 1) oo =z n

15、= 1 n+1 z fc=o kn COS (n 4-1 Ac)! 对工科学生而言，写出前面几项即可，例如 心+ 1) 亡(_1)5 = +1一存_ n=0 3吕11吕 / n=0n=0 8 +力祜 n=0 - 1 . 1 =sin 1 cosk cos 1 sin z 1z 1 1 F (-1 尸 CQS11 (2n)! (z - l)2n + 召(2n+ 1)! (z - l)2n+1 nir4 . n7r 48 cos 1 sin4 21.寸21 (2 _ l)n 十厶 7n=0 亡血(l+p 1 n=0 sin - = sin (1 尹(-l)nsinl =L n=0 工、sin 1

16、cos =X n=0 n! n! (一 1)廿 展开区域应修改为1 V |z| V3 1 一丹 J =楊+磊 +最以+磊2 +磊 212 (尹 一 l)(z 3) 1 一丹十 73 1 T/133233 =_眉(7 + = + = + 戸 + (5) 因为 =1袞后一卯 莎KT_昭一丿何厂 所以 00 (-l)n d _ _lv- (” d _ y =盲严 (2i + z-i)2 dz 2i + z 龙 2i (2i)n dz )(2i)n+1* _ _ _11 (z2 + I)2 (z i)2(z +1)2 (z i)2 (2i + z i)2 (z -)2 (-ir+1 n=l n(z -

17、叨-】 (2 卯+i =(-i)n+i n=l n(z - i)n3 (2i)n+1 oo =E(-X)n n=Q + 1)(2 -严 (20X2 0 + *揽即止(黑-讥+ 2+i 1 十 11 亍(z+y z + i2(z + l)” 2幺 2n n=0fi=On=0 =丄+丄=I +1 2(1-2) Z 1-Z2 + 1-12 - (+1) 1 - 2n-x (2 +1 尸 1 (z + 1)(1 -(z + 1) OO i时，z=O为m 1阶极点.z = oo为本性奇点. (6) 2=2上我,*=0.1,2,.为一阶极点，2 = 2为非孤立奇点. (7) X=kK-k = 0,土 1,

18、2,为一阶极点，乙=g为非孤立奇点. (8) 2=(2* + 1)衣,思=0,1,2,为一阶极点,z=8为非孤立奇点. (_3：+2)2阳足多值函数，支点为1.2,oo,任-逹接这三个支点的连续曲线为支割线.对毎一 个单值解析分支，支割线上的点为非孤立奇点. (10) z =(血+*)打,上=0, 土 1,2, 为一阶极点，2 = oo为非孤立奇点. (11) 利用lE弦函数的恭勒展式，求出 鈕吉 在z = l处的洛朗展式.注意到有无穷多负幕次项，于是 由定义可知2 = 1为本性奇点.2 = 8为可去奇点. (12) 当沿实轴从左侧和右侧趋于1时,e宀分别趋J： oc和0,而J 一 1趋J：

19、e - 1.所以z = 1为 本性奇点.z = 2kivi,k = 0, 土 1, 土2, 为一阶极点，z = X)为非孤立奇点. 14. 当mn时,a是/ +(/的max(m,几)阶极点；当m = n时,a是不髙J： m阶的极点或可去奇点. (2) a是/的m + n阶极点. (3) 当tn n时,a是丄的m-陀阶极点；当m=侃时，a是丄的可去奇点；当mn时，a是Z的 399 n - m阶零点 15. 当2 = a为f(z)的解析点或极点时，f(z)在点z = a的空心邻域内的罗朗展式无主要部分或主要 部分只有有限项，但卩(打在点2 = a的空心邻域内的罗朗展式的主耍部分有无穷多项，J：足讽

20、幻土 人打,以打/，孵在点2 = “的空心邻域内的罗期展式的主要部分有无穷多项.所以2 = a m 为偶数 2k 时，Resf(z) = 2=0z=0ZK + 1)! (2) 记 ek =,m- 1. Res f(z)= 先=- m14 m1m1 . k 了 c - 4 陳如一若()嗚尸=律苕(申)=_;: (3) Res f(z)= 一 ,ResfG) = v 7 ea 八 f(0 - a)m，z八 f (0_a)m (4) Res/() = e. (5) 由 cos()z = cos (z + 可得 cos2 在 z = 27r, Ar = 0, 土 1,士2, 的泰勒展式 (一i)n(z

21、 一 2耘j加 (2 2 (Z 2AT7T)2 2 2kir + z 2k7r 是 1 _ C08Z = C _ 2化尸_ C _ 2行)(二_汰次尸 丄心“24十720十 _(Z - r)2 (Z _ 2切4 12360 z 1 COS Z (z 2k7T)2 电(z 2A：7r)2 (z 2fc7T)4 212+ 360 + 1 仏兀2 (z - 2亦尸+ z 一 2血 240 4A：7r,2fc7r z 2kn (z - 2fc7T)2 + Z-2k7T + T + 6 所以Res f(z) = 2,上=0,士1.,2 z=2fcx 由 sin(n) z = sin(2 + 号)可得 s

22、in z 在 z = 2fc7r, k = 0, 土 1, 土2,的泰勒展戒 .W7T 总皿/“ xn 占(一1尸(Z - 2亦严+1 S1D2 =_ (Z 一 2fc7T)n = X ， ra=On=0 n= 0 (2w + 1)! sin3 s (z 一 2血)3 11 z - 2/ttt)3 r (Z - 2fc?r)2 16- + 上式推导的最后一步虽可使用得级数的乘法和除法计算得到，但使用下面的公式会更方便. 一 s c(a 1) 2a(a 1) -(a n 4- 1) “ (1 +Z)a = 1+02 +_ Z2 + +丹 +卜| V L 当。为复数时，这个公式给出的足主值支的条勒

23、展式.号一方面，J - 1在z = 亦七= 01.2的泰勒展式为 (z 2Ar7r)2 (z 2fc?r)3 一2“+( 2 + 6 + 是 111 L (z - 2A:tt)2 z - 2Ar7r)2 + 2(z 一 2血)+ _!卜 +2+ 112I (z 2賦)2 + 2(z 一 2血)+ + 所以蕊丿2 因为 2fcjr ,A: = 0, 1?2, . n-0 n.丿 “0 5/ 所以曲心=亡顾f n=O vz (8) 因为 眉(T)生需)Q展), 8(1)卄1 宀十丄 所以啓fO =名!(.+ 1)!2加+】“ ,=(舉处 ) = J；：；芻=(-g + S心 0 1，2,. (10

24、) ia l 丄厂 -znzj! (m 1)! (m+l)!(m1)! 理S f(z)= 3(1) 因为 丄1 +兰+ ：2十6 1 1 =歹+ +， 所以 i = 27ri Res r = 0. J|x|=1 z sinzz=o zsinz 积分路径c是以Z = l+i为心半径为辺的圆周，被积函数的极点1,1位于c内. =2F 固+(Z- i尸( + 1) 1 =27TI +（2 -1）2（十）心 =2加（一* + 扌）=一*赵 解法一：因为 Res f(z)= 产_1(2 2)!(加-加+1 必“】(z- b)” z=a _ (一)1)!2( _) (1 xn 1(2 c2n+l 7而FF

25、(i 护一】 1 dz1 (z - a)n 所以 (z a)n( b)n dz =27ri Res f(z) + Res =0. z=b 解法二：在1 V |打V +oo内，由公式（5.1）有 /W= (一 a)” _ b) = (X - 7) (J 7) =圭(1+ / + ) (1 + ), 71= 1,2, 由此可知负-如项L的系数为0,即R-/W = 0,所以 （4）因为 厂齐吋=_2肝险弘）=0. 眩于（Z）= 2+云 z=t - 2?； e-2i 2T 所以 解法一：令Z =则 (5)利用第2题(5)中的结果有 z、1+z 3 = 丁二本 1 + 2fc7T + Z 2k7T 2

26、2 + Z 2k7r 2 (z 2 上 7T)2 + z 2A?7T 2 + 4A:tt (Z 2 7ri, a 0时,f(z)= 在该点的留数为 (珅+以)2 所以 由此可得，当a V0时有 综介两种悄形可得 6 在上半龙平面只有一个二阶极点2 = aiy它 d J 陰人)=石丁丽 1 z=ai 硏 o占宇心=2衣幺=冷 匚=坛 厂 T2 Aoo （止+以尸 (3)/(?)= , 2 , : 2 小在上半z平面有两个一阶极点z=iz=3i. (2*+ 1)z + y； 磐f()= (z + ( + 9)x=.=储， 加=(十总+i)l广忐 所以 Zoo (R+l)(h + 9)血=如(页 +

27、 就)= zeimz覧丄 Qfc (4)本题中的条件 1可放宽为 0. /(2)= -有四个一阶极点叫=葩亠4 0,1,2, 3.X + COST 為3亠1). -一 在上半z平面的极点只有两个z =ao = ae和z = ax =ae = -g-遥，所以 5*8111 mi f (5)推导过程见教材112页上的例11. 广00血 血 Loo TT = (6)我们先推导一个一般的结果.考虑由分式给出的函数子匕)=需，其中F(z)和Q(z)在勺Moo 都解析.若巾是Q9)的一阶寒点，则当尸(切)# 0时，中为f(z)的一阶极点；当尸(切)=0时, 兀为/(z)的可去奇点.不论哪种悄形，都有 (5

28、.2) D ft P(2o) 2=2。 设/=U则的奇点为 ,r 一 1,厂十 1,2r- 1. 这些夺点要么是/(习的-阶极点，要么足/(习的可去奇点.f(z)在这些点处的留数可用刚推导 出的公式(52)统一计算.注意z = 1既是分子的一阶零点也是分母的一阶零点，所以是f(z) 的可去奇点，应当做解析点处理.因此f(z)在实轴上无奇点.f(z)在上半z平面上的奇点(一 阶极点或可去奇点)为Zk = e上=1,2,”一 1.所以 (2q+l)i_g(2p+】)令 _e(2p+i)平 = Et fc=o % 1 (2+l)xi1 c(2p+l)iri - 2r f_ 1 _ e(2p+L)4

29、7TI T 7vi 7T =2? 7T _1i 1 - e(2g+1)i _ e(2p+i) e-畔*e27ri ex (爭)- sin (誓)+ cos (笔严兀)二sin (畔町 cot cot 6(1)取实K 0 r /?,我们有 fR尹一严 , I 2ti(r24-l)2dr = fR eT 2i Jr x(z2 + l)2 dx + （工2 +丄尸必 设 3 =）2, Cr：z = Rei6（0 0 tt,R 充分大），Cr :z = re（0 0)时有 e=e 1.因此zf(z) = 0 在 Cr 上一致成立, / 0的悄形取实数0 VV “n一 于是所求傅氏解为：七/I /2(l

30、 + X)(-lX0) (1 - X)(0 X 1),试求其傅氏解。 9=0. 卩(x)= 2 将前题之初始条件改为： 解：所求问题为一维波动方程的混合问題： cn=i (JA(1 + G Sin 供 + 力(1 G sill 強百 =普(J： sin 爭 g + J： sin 爭f + j： g siii 爭f)=詈 sin 号 3今有一弦. 为 /. u(x.t) = y -fsin警cos呼Yin nI 英两端兀=和* = 1为所周定.作自由摇动，它的初位移为0。初速度 (XW2“,其中c为常数.Qapl.试求其傅氏解。 解：所求问题为一维波动方程的混合问题： Dn =禽了山呼f = (

31、cos 于-cos 呼) B、 u(x. r) = v -(cos平 _ cos 学Q) sin 哼sin 呼 a 4今有一弦，其两端向定在兀=0和X = I两处，在开始一瞬间，它的形状是一条以 过 x = 2点的铅垂线为对称抛物线，其顶点的纵坐标为h假定没有初速度，试用付氏方法 求弦的振动情况： ,* 小 (o, 0),(.h)及a.o) (一 1 一士g) 解*设其拋物线方程为(x-G =-2p(y-5),将点2代入得: a = p = ,b = h 2 8h,故方程为 y = h4h (0 x 0) 5求解混合问逆 u(x. 0) = sin 竽叫(x 0) = sin于(0 x 0)

32、6一求解混合冋题 r(r 0)=忌平go) = r(7-x),(0 V x V 7) 解：所求问题为一维波动方程的混合问题： u (x, t)=W(q cos-2L + Z)n sin咛9 sin n=l Cw=f fZ sin 苧 sin 呼 d： = (0? y 丰 3) w /Jo z z 5 l.a = 3) D=岛层(1)血站=拱.;为2数) 0 .为偶数) 30 uQx.t) = v互严sin 号为奇数且n 工 3) 0=1 (cos4- 8a siii sill (w = 3) 第八章热传导方程的付氏解 1. 一根长为/的枢轴它的初温为常数0,其两端的温哎保持为0,试求在枢轴上温

33、度 的分布情况。 解：所求问题为热传丫方程混合问题，其付氏解为: 8 = - y n=l 其中：a峠认血竽 = n/rx sin ； (-cos / n/r tl7T na7r)t g)=三如尸 故：w=l njr (.Y, 0)= 5.有一两端无界的枢轴，其初始温度为 z/(x.Z) = fX ear Sncos(/x) J/ 度分布为兀“ l(|x|l),试求在枢轴丄的温 ut =a廿xx (/0) (AO)=0(X)(vxvs) 解：所求问题为热传导方程初值问题， 其付氏解为.心)=仁小*)“ (“) cos(“r) + B(“)sin(“x) _ 2J。e-(/Wfl)* ” 么(“)

34、cos(/x) + B(/) sm(/x)求解狄利克宙问题 知常数C 4 例 v a. 0. （-7T &兰；T） ,其中a., a为已 ?心&)=申+ 7 其付氏解为：亠 W-1 Z（占”cos ”0 + Bnsin n6）rn An 其中： =sill er 117V 2“ Bn =寺 Q /（）sin 和（pdp =务广 =0 .（厂.&）=孕+ 爲（sinnacos”。” 3.求解狄利克雷问題 Ncos&（-x s &兰x）其中a为已知常数。 8 ”（尸.&）=誓4- zQz7COS7?（9 4-5wsilln6rn 解：其付氏解为：-】 其中: 当u=i时, =A 禺才有值丛=专Fe

35、os如g + 专 sin 炉 cos 仏=严斗，f（9）CO91 强（P _ J_ J2jt cos cos ?7（pd5(x) KttO -i4 = 5(w) 13、试证明* + V c - 0 证明：1匚於)乔帀化(x) (arctailf) “ =arc tail 丄 f _ p(a tailu )du A =奴 0)=%丫) 第十章波动方程的达氏解 2. 验证(I)=送(X + ) + ( )%满足波动方程岭=品 . (、f 、丫 、2/屮(x + C)+2(x_/)m 证明j x.t) = tg(x + at) + (x-ary- . cosO + m) 4. “沖士时2 而coJ(

36、x + m) 4 代入等式成立。R卩为所证。 4试求 出方程兀口 一2切+尹匕=0 的 通解为 “(XJ)= gxy)InX +肖(卩)，其中卩和0为充分光滑的任意函数。 解：叫=叫冬+=，企十f.(1) U=(亠)+ (us)77x=y (q b +(6)疔y (y 虫 +u 办 + (yu“ 醫 + %)+ b (x 弓伽)+ Q叫 + x(yu + 知) =2xyu + lx1 yu + x2urjrj 一 2x2y2u 一 2x2yu + 2xyu + xu = 0 Rp+ 2xvii. + xun = 0 m” + 2尸作 + = 故ti(x.y) = p(xylnx + (xy)为

37、方程的通解。 - = x2 + siii y. yo x. v =o u(0. y) = siiiy 5.试用行波法求解定解问题: “(x. 0 ) = x o 解：将方程的两边对y积分得：4=hMy + jinWy+(x) = *y g + g】(x) g(x) = Jq(x)dx 再对X积分得“() =宁-“ + g(X)+ /(刃 和/(y)由定解条件确定。则有g(0) + /(y) = siny 所以 /(y) = siny_g(0) _x + g(x) + /(0) = x 所以 第-一章格林公式 Au = 0 p a u (a.p) = A cos )- ”0)/ +q2 _2aQ

38、cos(卩一卩。) 本题中/) = Acos0,于是 、1 节 力 cos%(a。) u(p.(p) = ； 7皿 将上 17T * a +q 2a/?cos( %) s = p_ 试中的分子与分母同除以并记 a ,得 “(pp) = 土&竺迢网 2tt J。1 2&cos( 网) cos% =(z + z_1) = - 另三=严，则 wo 2、7 2z , cos _ *0 ) = J-)+ 只一刊)=lZz1 + 一并代入上试中积分，于是得： 1 +厂 sez2 - (l + /)z + eeQ 7Jcos0(a2-p2)-1 =J /2dcos 卩。)如 =五叫 z 1内有奇点石= ei

39、p .n z = 一.詔0 令分母为零，得到被积函数的奇点，,故在 习=,且均是单极点，故有留数定理有： gf(*) + T(0) =托、COS0 一1上/、r I =Z2-T/V resf(zk ) = n i 2i台八VL w(p.o?) = pcosa? 的格林函数，并由此求解狄 %+5 = F(0j) = /(y)(0yoo) m(x,0) = 0 5求区域：0 xoo.0y0) 1.求函数x的Fornier变换。 解：Qj Fourier变换的定义有： F) = F sin ax taxBOXp(tQ)x 二三严心匚一推 2/x C eos (n ) X o dx 0 J 8 sin

40、 (c + e) x jr o 心 l_eev0,于是有 0.q0 严 sin(a + e)x ax = 孕.evO 员 7T F 得 3)若 0. c ty V 0. d + q 0,故有: p)-JX_ 7T 严 5in(a + e)x兀 ax = X 2 . 怙龙2 sin ax sin ax F =0 F =0 于是 _ x _ 9 同理如果0VO,贝1 .X- O l-x2,|x|l R A 1的FoTb变换o /(*) = 2求函数 解：/(X)在Hxdx = -(sin ecosey) ill FouHer变换公式有 ut = arii co x 0 w(x.0) = cosx

41、解：对定解问题各项以X为变就施行Fourier变换，并记 F“(x.r) =u(x.t) eiCifxdx = fi(gf) F cosx = J： cos xiC3xdx = q(co) du + aariico.t) = 0 则定解问题化为I(Q.0)= (O),它的解为 方(e.r) = 0(e)eY Q f cosx*F_1 庄心 它的逆变换得： “(x.r) = F_1 q)co)ea T 4卜三jy 宀0=皿遇圖。=出戶 aqo* qCOS X / x t、12 w(x.r) =I e 4丹 cos(x 了”歹=| e %” cos = ea , cosx lay7Tt JyayjTTt jQ2 1.求下列函数的Laplace变换 (1) 解： 第十四章Laplace变换 eaT. 由Laplace变换的定义有 ea, = J；eateptdt =.