平面几何100题前80题答案

1、中国苏州干特路新骞巷19号202室Tel: 13$ 14SW 533 Enwl:、vemvuguanjhua5ina!l comCDWWGM文戏光华数学工作室veniuguanghua高中联赛难度几何100题及其解答解答人=文武光华数学工作室田开斌d第一馭 如图，F为O0外一為PAx PB分别切00干A、B, PCD为G0条割线CO 交0）于另一点E, AC、EB交于点F,证明：CD平分ZAD匚“证明方法一；如囹，延长ED交CA于K,根据条件知四边形CADB为调和四边形，故 ED、EC、EAx EB构成一组调和线束，逬而知K. C F衣J成一组调和点列。而KD丄CD, 故CD平分ZADF。2i

2、sozfAOC-ZBOCiiffl昉法二二如图，连结 OA、OB、AB. BC,因为ZAFB = ZACE -ZBEC = 仝警竺=圖十5=三笛且m = pB,故点p为ZUbf的外心。于是知 ZPFA = ZPAC = ZPDA,所臥P、隹叭F四点共圆。又PA = PF,故CD平分ZADFo心第二馭 如图，AB为G)O直径，Cx D为O0上两点，且在AB同侧，00在C、D两处 的切线交于点E, BC. AD交于点F, EF交AB于町证明：E、C、hU D四点共圆证明：如團丿延长AC. BD交于点K,则BC丄AK, AD丄肌丿从而知F为ACAB的垂心。 又在圆内接六边形CCADDB中使用帕昕卡定

3、理知K、E. F三点共线从而KM丄AB于税 于是知ZCMF二ZC&F二ZCDE,所以E、C.区D四点、共圆nB第三锁如虱AB为0直径C、D为O0上两点且在AB同侧，。0在C、I两处 的切线交于点巧 帆 妙交于点F, EB交O0于点6证明：ZCEF=2ZAGF。卩证明；如图，根据条件知ZCFD = 警= ZCAB + ZDBA = ZECF + ZEDF,且EC = ED,故点 E 为ed 外心。于宾知ZEFC = ZECF = ZCAB = ZCGE,故E、C、F、G四点共园。所以3ZCGF = ZCEF = 2（90。一 ZECF）= 2（90 一 ZCAB）= 2ZABC = 2ZAGC

4、卩 所以ZAGF =警=詈，即得ZCEF = 2/AGF。*第四题、如團，AB为00直径，P为AB延长线上一点，PC切（DO于C,点C关于期的 对称点为点D, CE丄AD于E, F为CE中点，AF交GO于禺求证：AP为PCK外接圆的切 线。（第三十九届琐0预选题）亠PBD证明，如團，连接PD,根据圆的对称性知，点D在00上，且PD切O0于D。连接CD 交AB于T则CT1AB,且T为CD中点。连结TF TKo “显然TF为ZkCDE的中位线，所以TF/AD,所以TF丄CE,且/TFK = ZDAK = ZTCK, 所次 C、F、T、K 四点共圆。于是知ZKTP=90。一 ZKTC 二 ZKCD

5、二 ZKDP,所以 丁、D、 Px K四点共圆，所以ZTPK=ZTDK = ZPCK,所以AP为外界圆的切线。卩第五酿 如副 四边形ABQD內接于O0,且AC为00直径，D关于AC的对称点为E，C关于BD的对称点为F, AF交ED于G, BE交AC于K,求证:KG丄BG。（ 2014年新加坡数 学奥林匹克公幵暮第二轮试題屮B证明方法一二如團，根据杂件，显热点E在00上？从而BC平分ZDBE.设BD交AC 于肌注肓到ZAB2 90。，所以AB为ZKBM的外角平分线，于是知签二誥二鈴 从而CM CK连结GC,根擔对称性，GB平分ZAGC,所次备二營二役，所以KG为,AGC的外角平 分线，所以KG丄

6、BGoB证明方法二!：如虱 根据条件，显然点E在0上，从而BC平分ZDBE.设BD交AC 于肌注意到ZABC = 90%所以K、M. C. A构成一组调和点列。连结根据对称性, GB平分ZAGC,根据调和性质知KG1.BG。命题得证VB第六馭如图，臥PB分别切0于纸B, K为0上一点，BD丄0K于巧分别交KP、 KA于E、F,证明：E为BF中点。2证明方法一：如團 组调和纸束，故E为BF中点。d证明方法二：如图，延长K0交0于延长TA交KB于S,连结1B交AK于弘在 圆内接六边形AATBBK中使用帕斯卡定理，知S、P. H三点共线。又KA丄TS, TB丄KS,故 点、H为STK垂心。进而知ZS

7、AP = ZTKA = ZASP,从帀知P为SH中点。注意到SH/BD, 故E为FF中点。卩第七题.如图，A ABC中，CA=CB, D为AB中点，EF过点D,且使得ABC与EFC 有共同的內心，证明：DE-DF= DA2o a证明二如图丿设AABC与AEFC共同的内心为I, AABC的C考心为点J,则C、D、 I J构成一组调和点列，从而点J也为的C傍心。取叮中点为K,则KI =KJ = KA = KB = KE = KF,故抓 E、I、F、J 六点共圆，所以DE OF = DA DB 二 DAS 2第八题.如图，ZkABC中，AD平分ZBAC交BC于D, DE丄AB于E, DF丄AC于F,

8、 CE、 BF交于点K，证明：AK丄Pa=如凰延长AH交BC于G,根据赛瓦定理知沽詈.芝=仁豈=冷=謀 故akIbCo卩第九瓠 如图P为00夕卜一点，PA. PB分别切00于A、B, C为O0上一点过C作 O0切线分别交PA、PB于E、F, 0C交AB于L, LP交EF于D,证明：D为EF中氣（1991年四川竞套题）d证明：JDS?过点L作0C的垂线分别交PA、PE于M、町注意到0A丄PM、0B丄PN,根 据西犒松定理逆定理知0、N. P、N四点共圆。又0P苹分厶眄故0M = 0N,进耐 LM = LNo 而 MN/ EF,故 D 为 EF 中点。第十題、如图，点P为00外一点，PA、PB分别

9、切0于A、B, C为0上一点，CB 丄AB于D,过C作00的切线分别交PA、PB于E、F,证明：CD平分/EDF。a证明方法一；如图，延长FE交BA于K,过K作00叨线KT切O0于注意到点K 在P关于0的极线上，故点P也在点K关于O0的极线匕从而知P、C、T共线。于是知 K、C. E、F构成一组调和点列。而CD丄AB,故CD平分ZEDF ds/ki眄 所以ZEDM = ZFDN,所以ZEDC = ZFDCo GD文武光华数学工作室weniuguanghua高中联赛难度几何100题及其解答解答人=文武光华数学工作室田开斌d第十一S.如图AB为00直径丿PA切Go于釘P3为条詐知P0交BD于E,

10、证明：AC丄AE。卩证明方法一，如图作PK切O0于K,则PE丄AK EK丄AK,所咲KB/PE。又注意到 四边形CADK为调和四边形，故BK、BA、BC. BD构成一笙调和线束，从而0为EF中点，进 而知四边形AEFF为平行四边形。于是知AE/BC,从而知AE丄AC。证明方法二如團，连结BC交PE于叭作0K丄CD =匚则K为CD中点。注意到0.K、A、P 四点共圆故ZAKD=ZFOB。又ZADK = ZFBO,故ADKsAFBO。注意点 0 为AB中点，故ADCsArba,从而知ZFAB=ZACD = ABD,故AF/fBD,于是知四边 形AEBF为平行四边形,所以AE/BC；即知肛丄AC八证

11、明方法三，如團，延长AE交00于K,在圆內接六边形AABDCK中使用帕斯卡走理, 注童到氏0、E共线，故C. 0. K共线，所以AE丄AC。2B第十二鬆 如虱AB为半圆0直径，C、D为半圆上两点，过B作半圆0的切线交CD 于P,直线P0分别交直线CA.皿于E、F,求证：0E = 0F. (2007年第四届东南地区数 学奥林匹克试题卩证明方法一：如翱过P作PG切半圆0于G,连接G& GB、GCx GD、BC、BDo易知 0P1BG, AG丄BG，所叹AG OP。又四边形CBDG是调和四边形，所次AC. AD、AG、AB构成 一组调和线束。又因为AG/ 0P,所臥0E = OF。dAPB证明方法二

12、：如囲作用切00于G,则B、G关于P0对称，且P、Bx Ox G四旦共圆。 所lZGPO = ZGBA= ZGDA,于是知D、P、叭G四点共圆。逬而知ZFBP = ZFGP = ZFDP = ZCDA= ZCBA,故ZFBC = ZPBA = 90 = Z5CB,所以 FB/EA。而 0为 AB 中 点故0为EF中点。d第十三题、如團，AABC中，D、E分别为AB. AC上一点，且DE”BC, BECD交于点F, BDF的外接圆Q0,与ACEF的外接圜3交于点G,求订：ZBAF = ZCAGo d证明：如图，延长AF交BC于H,因为DEBC，所以H：为DC中点，延长AH到。使 得AH=HI,连

13、接EC. CI；则四边形ABIC是平行四边形八连接 GC、GE、GD、GB. FG,因为ZACG 二 ZBFG 二 ZBDG，所以 h 叭 G. C 四点共 圆。于是知ZDGC = 180。-ZBAC = ZABI。同理可知人B. G、E四点共圆。所以AB _ ABAC =7b所以ZDBG= ZCEG, ZBDG= ZECG,所ABDGAECG,所以器=器CG CEDGCs/Ubi,所CJXZBAF = ZGDC= ZCAGo 命题得证。门注：点G即为完全四边形ADFEBC的岳克点 Q第十四题.如图，G）0. OP交于A、B两点，BO. PR延长线交于点C, CD. CE分别切00、0P于D.

14、 E,连接DE交AB于F,求证，F为DE中点。（深圳黎彗俊老师题）心c证明：如團，延长AP交OP于G,连接EG、0、OP半彳盼别为匚、r2o因为2二竺竺巴=吧三竺=竺竺2 = = 1,所以CDOSCEPJ于是知竺=牝 i 丿 CP sin Z：COP sinBOP sin AOP AP r/ 八CE r2DA CA干 gnPAB = DADBskiZADBJ IE7Usbab _ ea eb.肮“ zneb =lo所以F为DE中点。卩DA 05 sinNADBBE AE sinAEBCD CA sin NAOP CD sin NAOP 门 i = *逬而易知CDBSHEGSACAE,于是知器二

15、害二爭 由兰二籌 知CDASACBE,从而第十五題.如副 半径不相等的两圆OK 0F交于g. B两点，过A的直线CD分别交 00、GP于C. D, CF延长线交0P于F, DB延长线交00于E,过A作CD垂线交EF中垂 线于G,求证；AG2 = EG2+AC-ADo （2013年C血第违推广）卩D6证明：如图，连接 AB、CEs DF GF。因ZCAE = ZCBE = ZFBD = ZFAD,ZACE= ZABD=ZAFD,所以ACEsAaFD,所以AC AD = AE AF,又由于00、OP 半径不相等，所以AEHAF。“又因为 ZEAG = 90 - ZCAE = 90- ZCBE =

16、90 - ZFBD = 90 -ZFAD = ZFAG , GE = GF,所以A、E、G、F四点共圆。易知 GEKs/Xgae,所以EG? = GK AG。又易知 AEKS/UGF所以AK AG 二 AE AF 二 AC ADo 于是知EG： + AC AD 二 GK AG + AK AG = AG2命题得证。*算十六題、如團，A ABC內接于06 D为BC中轧AD交00于E,过E作EF/BQ,交 OOf F；过C 作 CG丄AC,交 AE 于 G,求证：ZAGC = ZFGCo 口证明：如囤连接BE、CFx DF,过C作CK/BE交AE于K。因为BD = CD,所臥四边 形BECK为平行四

17、边形。于是知CK = BE= CF, ZKCD = ZEBC = ZFCB,所以KCDA FCD,所以 KFlBCo 于杲知ZCFK = 9(F-ZFCD = 9(r-ZEBC = 9(r-ZEAC = ZCGK, 所以G、叭C. K四点共圆。而CK = CF;所以ZAGC = ZFGC。Q算十七範如图，ABC內切圆01切BC于D,过I作IE/AD交BC于E,过E作Ol 切线，分别交期、AC于F、G,求:证：E为FG中点。口证明；如囲 连结DH交IE于M,则M为DH中点。连结AH,延长HI交AH于N,因为 W/AD,所以N为AH中点。在退化的圆外切四边形EFAG中使用牛顿定理，即知E为FG中

18、点。dC第十AS.如團，OP、OQ交于直、B两為 它们的汁公切线CD分别切OP、0Q于S D。E为BA延长线上一点，EC交0P于F, ED交Q于G，AH平分ZFAG交FG于H，求证； ZFCH二ZGDH& (深圳黎誉俊老师题八证明：因为E在00、0F根轴上，所以F、Cv D、G四点共圆。卩如虱 设点0为OP. OQ的外位似中心，则P. OQ次点0为反演中心互为反形。延 长0F交OQ于G空则0A2 = 0C.0D = 0F 0Gv所以叭C. D. 四点共圆。于是点与 点G重合为一点。以。为圆心，以皿为半径作0交CD于K,则O0为K关于C. D的阿 波罗尼斷圆，由于AH平分/FAG,所叹点H为O0

19、与FG的交点从而00也为点H关于F. G的阿浪罗尼斯圆。于是*ZFCH- ZGDH = (ZFCA -ZHCA)-(ZGDA -ZHDA)“=(ZFCA - ZGDA)- (ZHCA - ZHDA)a=(180&- ZFBA)- (180 - ZGBA)-(ZHCA - ZHKA)-(ZHDA+ ZHKA)+2ZHKA=(ZGBA- ZFBA) 一 (ZKAC- ZKHC)- (ZKAD - ZKHD)十 2ZHKA卩=(ZGBH + ZHBA)一 (ZFBH - ZHBA) 一 2ZHKA = 2ZHBA 一 2ZHKA = 0 所以ZFCH = ZGDH。卩第十九題、如團，。0为厶ABC外

20、接圆，I、E分别为AaBD的内心和一个旁心，/BAC的 外角平分线交瓦延长线于D, IF丄DE于巧交O0于G,求:证：G为IF中点。（潘成华老师 题）d证明方i=连接EE. EC并延长，分别交直线AC于K、J,则易知K、J也是ZXABC的 旁心，且2XABC为/幻的垂足三角形，I为ZkEEJ的垂心？从而00为的九点圆。设 0分别交KJIE于L、町则知L、M分别为咼和IE的中点。又易知K、B. C、J四点共 圆，且圆心为L,于是知LI丄DE,所叹L. Is Gs F四点共线。于是知ZMGL = ZMAL = 90；从而MG/DE,又M为IE中点所以G为IF中点。*证明方法二二如朗连接AE交。0于

21、J,则知A、I.八E共线，目J为IE中点。又 因为ZIBE = ZICE=ZIFE,所以臥E. F、C、I五点共圆，且圆心为J。延长DA交00 于 H, RiJiQDF DE = DC DB = DA - DH,所以 H、A、E、F 四点共圆，于是知ZHFE = ZHAE = 90,所以 H、I. G、F 四点共线。又ZHGJ = ZHAJ = 90。，所以 JGEF,所以 G 为IF中点。卩H第二十題、如副在锐角ZkABC中，ZBZC, F是EC的中鼠BE. CD是高。G、11分 别杲FD、FE的中点，若过且平行于氏的直线交GH于求证：AI = FIo卩iiH昉法一=如虱显然B、c、E、D四

22、点共圆，且园心为点Fo过点A作AF的垂线, 交CF于恥交DE于N,根据姗蝶定理知AM = AN,从而 AFMAARI,所以ZAFM = ZAFNo a设GH交刊于匚因为GHDE,所以I为FN中点，所以AI = F】，所臥ZIAF = ZPFA= ZMFA,所以AIFBC。于是知与重合为一点。所以AI二FI。*MF中匡）苏卅干苻銘新春巷19号202 $Tel: 138 1489 5J99 Email: vinugiHnglrui2gnuil com 刎丽文武光华数学工作室 weniuguanghua高中联赛难度几何100题及其解答解答人：文武光华数学工作室田开斌P第二十一题、如團，D是ZkABC

23、边玄上一点，使得ZDAC = ZABD, 00过点B、D分 别交纵AD于点E.F,直线BF交DE于点G是AG中点求证：5丄购。（2009年国 家集训队选抜考试试题“证明方法一2如虱连结EF并延长交BC于点J,延长AG交BD于点。交EF于H, 连结小GJ,则知直线GJ为点A关于00的极线，于是知JG丄AO。d又ZDAC = ZABD = ZDFJ,所以HjAC,于杲知當二芝。*又在完全四边形BDFEJA中知（AGHI）是一组调和点列。又N是曲中点，所以 IG-IA=IH.IM,即得=罟=舊 于是知CM/JG,所以CM丄AO。d证明方法二二如虱 因为A. G为一对共矩点，故乩关于O0的幕为MA?，

24、于是知M02 - MA2 = R2 = CO2 -CD -CB = CO2 - CA2 ,从而 CM丄A0,命题得证！ N分别为BE. CD中点，则/MFN = ZAo “FE引理的证明：如團，作AABC外接圆00,分别延长更、CF交。于J,延长:TD. IE交于点K,根振帕斷卡定理知K在O0上。延长KF交O0于连接TB交皿于P,延长 TC交DE于Q。根据蝴蝶定理知；FP = FE, FD = FQ。根据中位线定理知/ BP, NF/CE, 所以ZMFN = ZBTC = ZBACo 須下面惜助引理证明原命题。亠如團，连接肝.MF ML、NLo根据弓理DZMFN = ZAo又因为皿切丿NLCF

25、,所 以ZMLN = ZA。所以ZMFN = ZMLNo所以只L、队N四点共圆。Q第二十矚*如團，A ABC內切圆I切BC于D, AE丄BC于E, F为AE中為DF交O I于G,作ZiBCG的外接圆0求证:Ox G)I相切于点G。亠证明方法一；如團连接妙交于J,延长D：交H于忌因为DKAE,且DG平 分AE,所以DK. DG、DJx DC是一组调和线束，所決四边形DKJG杲一个调和四边形。过J 作切线交PC于町则氐D、C. B是一组调和点列，且K、G、M三点共线，所次DG丄 GM,所以GD平分ZBGC.延快GD交O0于叭则N为弧BC中点所以ON ID,所以0、I. G三点共线，所決(沁 OI相

26、切于点G *F证明方法二：如图作厶磁的A号切圆O丁，设5切BC于T, rqijCT = BDe延长AD 交OJ于L,根据位似关系知1L为OJ直径。注意到J为LT中点F为AE中点且LT AE,所以八D、F. G四点共线。“作IS丄GD于S，则S为GD中点。因为Z1SJ二ZIBJ=,ICJ，所以：、S、B. J C五 点共圆。取DJ中点为町贝UBDCD=SDJD = FDMD,所以G. B. VI、C四点共圆。作 顺丄BC于N贝iN为呵中点，进而知N为皮中点，于是知MB二MC,故釧平分ZBGC, 从而知0、Ol相切于点G。亠第二十五題、如图，A ABC內接于0,内切圆0分别切AB, AC于J、K,

27、 A0交00 于D,连接D延长CA到F,使得AF = BJ,过F作DI的垂纟胶BA延长纟知G,求证： AG = CK。卩证明：如图，延长DI交00于P,交FG延长线于E,则FE丄DE。连接IJ、IK. JK. PJ* PKx PBx PC, Pb 则 AP丄IP。H?dZAJI = ZAK1 = ZAPI = 90,所決 A、J、1 K、 P 五点共圆。所以ZJPK= ZJAK = ZBPC,于是知ZJPB = ZKPCo 又ZPBJ = ZPCK,所 次町BoAPKC,所以佥二g。2又因为ZFEI 二 ZFKI 二 90,所以 F、E、K、I 四点共圆，所ZPJK = ZPIK = ZAFG

28、,又ZJPK = ZJAK = ZFAG,所以 PJKAAFG?所以器=短所以誥二器所 以AG = CK。屮第二十六题.如囲 0）为AK外接風AD平分ZBAC交0于D, 0E/BD交AB于E, OF/ CD交AC于F, H为厶展垂心歹HG/AD交PC于G,朿证：BE = GE=GF = CF。d证明；如图，延长AH交O）于门则AJ丄BC,且易知H. J关于BC对称。延长JTG交 00于K。因为ZGJH = ZGHJ= ZDAJ,所以KDAJ,所以KD丄BC,即DK为00直径，K 为弧BAC中点，KB=KC。2连接KE、KF.因为DB丄KB，0E/ BD,所以0E丄KB,即直线0E为BK中垂线。

29、逬而知 ZKEB = 180-2ZKBE = 180-2ZGJH = 2（90-ZGJH）= 2ZJGC = 2ZKGB,所臥E 为厶斷外心。同理可知F为KGC外心。又根据正弦定理知ZXKBG和AKCG外接圆半径相 等，所以BE = GE=GF = CFo Q第二十七 如朗 四边形ABIC中，AB二AC, AAED外接圆交AC于F, AACD 外接圆交怔于E, BF、狂交于点G,求证：誥=齐（田开斌题JB；C证明如图，连接筋、ED. FD、G叽因为点D为。与（DO：的交点，所以点D为主 全四边形AEGFBC的密克点，所以B、D. G、E四点共圆，C. D. J F四点共圆。所以 Zbdg= Z

30、cea = Zcda, Zcdg = Zbfa= ZbdAo 于是知在Abdg 和Aadc 中丿有 ZGBD= ZCAD, ZBDG = ZADC?所以 BDS2UDC。同理可知ACD妙ADR。于是知第二十八题.如團。为厶ABC外心D为ZkABC内一点歹使得/DAB = ZDBC,ZDAC二ZDCB, E为AD中点过E作EF丄AD交CB延长线于F，连接FA、FD、F0,求证:ZAFD = 2Z0FC。2008年美国数学奥林匹克试题）卩解答：如图，作AABC外接H0O,延长AD交EC于交0于G,连接BG. CG、0A、 OHq因为ZGBC = GAC = ZDCB,所以.BG/CD。同理可知CG

31、ED,所咲四边形DFO：为平 行四边形。所以H为BC、DG的中点。3又 AF2= EF2+ EA2 = FH2-EH2 + EA2 = FH2 - (EH + EA)(EH - EA) =FH2-A H GH = FH2-BH2 = FB-FC,所以FA切GK于A,所以OA丄FA,所以0、A、F、H四旦共圆, 所J.ZFOH = ZFAE,所y.ZOFH=ZAFE,所以ZAFD = 2Z0FCo 刎第二十九题、如團，。0的内接四边形ABC巧AB、DC交于点E, AD、BC交于点F, EFC的外接圆OP交0于G, AG交EF于H, HC交0）于求证：Al. GC、FE三点共线。Q证明：如團，延长

32、AH交OP于K,连接EK、际、BG、DG、EG、FG *因为ZGBF = ZGDE, ZGFB= /GED,所以GBFsAGDE,所以GDRsAgeF。于 是知ZGAD= ZGBD二ZGFE二，GKE,所以AF”EK同理可知AEFK,所叹四边形 AEKF是平行四边形。所以H为EF和AK中点。又知CH |H = GH KH = GH AH = CH IH, 所叹H为叮中点，所以四边形IETF是平行四边形，所以ZEIF = ZEJF = ZEKF = ZEAF, 所以、I. E、F四点共圆。根据豢日主理知乩 飢、应三点共线。QK第三十题、如團，ZiABC中，D为BC中為0为外心，H为垂$ E、F分

33、别为AB、AC 上一点，使得AE二AF,且D、Hs E三点共线，AEF外心，求证：OF /HDo d证明方法二，如凰 作ZkABC外接圆00,延长A0交00于K则四边形BHCK为平行 四边形，故K、D H共线。延长BH交AC于M,延长CH交AB于町则B、C、队N四点共 圆，且圆心为D。过H作DH的垂线分另咬AB、AC于叽 则根据蝴蝶定理知HU二HV。延 长AP交HD于T,则AT平分ZBAC,且TU = TV，故T、U.A、V四点共圆。根据西姆松定 理，知点T在AU* AV上的垂足与点H共线，进而知DE丄口 DF丄AV,故乩E、T、F四点 共圆，且直径为AT,于罡知P为AT中点。注這到0为岖中点

34、，故0P / KT,从而0K/DHo心U中国苏州干药路新存巷19号202荃Tels 138 1489 5399 Emaal: wwiMigtun败ngmail eom 祕文武光华数学工作室 涨? weniuguanghua高中联赛难度几何100题及其解答卩解答人文武光华数学工作室田开斌4第三十一題、如塾 四边形ABCD内接于E为四勿形内一点，使得ZEAB = ZECD, ZEBA = ZEDC,过点E的直线FG平分ZBEC,交O0于F、G两鼠 求证: EF = EG。（ 2006年第57届浪兰数学奥林匹克试题）门证明：如虱 连接AC、BD交于点K,延长AB、DC交于点丁。根掳条件知 EABco

35、AECD, 进而知EACs/kEHb 于是知ZEAK=ZEBK, ZECK = ZEDK,所以 A. B. K. E 四点共 圆，C、D、E. K四点共圆，根抿荡日走理知E. K、T共线又因为A、B、K、E四点共圆，C、D、E、K四点共圆，所以NKEB = ZKAB =ZKDC = ZKEC,所以K在直线FG上，也即F、E. K、G.T五点共线。*注意到T、K为00的一对共现点*故T、K. G、F为一组调相点列。血TGTP=TB TA=TKTE，根据调和的性质知，E为FG中点。丿第三十二如图，在ZkABC中，AD、BE. CF是三条高线，点P为ZkABC内部一点P 关于BC、CA、AB的对称点

36、分别为L、爪No线段AP中点为6求证：D. E、F、G四点共 圆的充要条件为A、L、区N四点共圆。卩证明：先证明充分性即A、L、M、N四点共圆，则0、E、F、G四点共圆。Q取 BC、CAx AB 中点分别为 Ux Vx 叭连结 GV、GW、UV、Wo 则 D、E、F、U、V、W六 点共圆，者恠ZUBC的九点圆匕于是要证D、E、F、G四点共圆，只霍证明U、V、W、G 四点共圆，即只需证明ZWGV+ZWUV=180。而根据中位线定理知VG/CP, 所以ZWGV=ZBPC,又显然ZWUG = ZBAC,所以只需证明ZBPC+ZBAC= 180%也 即只需证明ZBAC = ZPBC + ZPCBo卩因

37、为Ms N分别为P关于CA、AB的对称，点，所CAZNAM= 2ZBACo又因为A、L、卅、 N 四点共圆，所ZNLM=180- ZNAM = 180-2ZBAo 连结 PL交 BC 于 X,连结 PM 交CA于Y,连结PM交AB于Z,则X、Y、2分别为PL、PM、PN中点，所以XZLN, XY/ LM,于罡知/ZXY= ZNLM = 180ft- 2/BACo 又易知 PX丄BC 于 X, PY丄CA 于 Y, FZ丄AB 于所以P、Z、B、X四点共圆，P、Y、C、淇四点共圆。所以ZPBC + ZPCB = (ZABC 一 ZABP) + (ZACB - ZACP)=(ZABC + ZACB

38、)一(ZPXZ + ZPXY)= (180- ZBAC) - ZZXY = (180 -ZBAC) -(180- 2ZBAC)= ZBAC,充分性得证。卩显然上述推论过程是可逆的，即罡等价推论，必要性显然。“7 ocmdvsgdv 自扶400注20003:宀|比 皿Kq x s uoo F丘頁乘杰弄&o “00爾展“斤十III漱证明：如图，连接CO、D02Z因为岳=誥，所以PCOjSZkPDO?。于是知 醫二誇二誥，所以点P在0OAW阿波罗巨斯圆上c作加。-啲阿坡罗尼斯圆00 交旨线SO：于E、F两，点，则知EP平分ZOiPOso又弧肚劭班丿所以EP平分ZAPB,所 Z0xPA=ZO2PG.因

39、为黑=器，且ZPAO】与ZPGOz均为钝角，根据正弦走理知厶 OjPAAPG；所以PCAAPD弭ZiPED。Q第三十四题.如團，P是口朋6对角线BD上一点，湄足ZPCB = ZACD, AABL的外接圆与对角线AC交于点E,求证：ZAED=ZPEB. （2012年塞尔维亚数学奥林匹克试题）心证明方法一二根据条件知ZPBC = ZBDA = ZBEA, ZBCP = ZDCA = ZEAB,所以 APBCABEA,所叹囂二益二器 又知毗=ZDAt,所叹PBEs/XDAE,所汉 ZAED = ZPEBo命题得证。划证明方法二匸如飢 延长DE交区于F，连结PF。匡为ZFDP = ZEAB = ZAC

40、D =ZFCP,所叹D. P、F、C四点共圆。于是知/?陀=乂卩。0 =厶 = 2人。=/巨， 所以P、E、Fx B四点共圆。所以ZPEB = Z?FB=ZBDC = ZABD= ZAEDo命題得证。卩B第三十五題、如图，A ABC內接于Os E为BC中点，F为弧BC中点，I为 ABC內心, N为BI中点小为EF中点，MN交BC于点D,证明：DN平分,ADB。（ 2006年中国国冢队 培训题）亠llfflfl：如虱连接 AF丿则 I在 AF 上。iBFs MK ME、MAc 因为ZFIB 二 ZBAI + ZABI = ZCAI + ZCBI = ZFBC + ZCBI = Z?BI,所以FB

41、= PI。于是知 瑚丄BI。又易知 FE丄BC,所以B、仏E、F四点共圆o 0进而知ZEMF = ZCBF = ZIAC = ZIAB, ZEFM = ZEBI = ZIBA,所以EMFsA IABo 于是知 EMNoAm, AFWABAMo 于杲知/DMA = 360- ZFMB - ZFMN 一 ZBMA = 360 - 90 - ZFMN - ZFNM = 90 + (180 - ZFMN 一 ZFNM)= 90 4 ZMFN = 90。+ ZMBE = 90。+三兰，又BM平分所以点H为皿D內心，所以皿 平分厶呱3第三十六題.如團00为厶ABC的外接圆AF平分4AC交00于F, !%

42、ABC的垂 心，CE丄AB于E, BD1AC于D, ZiADE的外接圆交00于Go GF交BC于求证：IH平分 ZBHCo 4JBC证明：如图，连结 GB、GC. GE。因为ZGBE = Z：GCD, ZGEB = 180-ZAEG = 180B-ZADG = ZGDC,所AgebAgdc,所以诈=舒=嚣。又F为弧03中点，所以 GI平分ZBGC,所以器二暑，所以誥=器所以IH平分ZBHC。卩注；设 CE 交肿于 P,由以上结论易ZCHI = |ZBHC = |(180fr-ZBAC)=90- ZBACo 又知ZCPF = ZFAC + ZACE = |ZBAC+(90- ZBAC)= 90。

43、一諾BAC,所 以ZCHI=ZCPF；可得 IH/AFo 2第三十七題、如图，AABC中，ADx EE、CF是ZkABC的三条高线，H为ZUBC的垂心, 0为厶曲的外心，ED交AB于町FD交AC于叭求证；0曰丄冊。(2001高中数学联赛二 试试題)亠2 ONMTH0S:化亘 THOESydffis+sXQ 口o 斗任遂SHCD黒。IkM 好：SE叵 Hf t OQW- = 3 wgw Aw2sfesx峡目hQ占4尺固6。画僚次 鸟半 Ji 虫s國哑 X 超只mbc虫痕舟frOHg s -5工7凉 SE 十出第 s + amvExubmqs 云二壮S-WQ 只 H06 HUJVON:腿-wo 毂

44、嘉出太叵0条割线，过C作CF/PB, 交AB于E，交BD于匚求证：E为CF中点。（2010年第六届北方数学奥林匹克邀请奏试 题）2p-o证明方法一：如图，设PD、AC交于点K,作0J丄CD于J,则J为CD中点，连接町。 因为上OAP=ZOBP= ZOJP,所以厶P、Bx 丁、。五点共圆，所以ZIAE = ZDPB = ZJCE,所以 A、C、E、J 四点共圆，所CJE = ZCAB = ZCDB,所以 EJ/BD,所以 E 为CF中点。卩iiffi昉法二：如風 设PD、AC交于点K,连接EC、CA、CA CB CA PC PE PC o IBD BD AD PA PD PD 根1S梅捏劳斯定理

45、知：蛊嚳罟=ln芽器罟=lnFE=EC,所We为CF中点。卩证明方法三：如團，因为四边形趴D、抓C是调和四边形，所以叭BA、BC、BD是 一组调和线束&因为CF/PB,所以E为CF中氣字第四I二题.如圉H为AK垂心，D为氏中点，过H作EF丄DH分别交AB.肚于氐 F,求证：H为EF中点。（2010年摩尔多瓦数学舆林匹克试题）亠EDF证明：如图，作AABC的外接圆Go,延长AO交Oo干6连接朋、CH、BGX CG、EG.FGo因为BG丄AB、CH丄AB,所以BGCH。同理BH/ CG,所以四边形BGCH是平行四边形， 所以D为GH中点又因为B、G、H. E四点共圆，即为BGH的外接圆，GE是直径；G、叭C. H四点共圆即为ACHG的外接圆，GF是直径而ABGIACHG,所以GE=GP,所臥H为EF中点。“第叶三题.如图丿锐角AABC中，AB = |ZPDO,所以 E 为PDO 内心，所以 0E 平分 ZAOD。又ZDBF 二 ZDAE 二 ZDPF；所汉 D、P、B、F 四点共圆，又 PF 平分ZDPB,所以DF 二