概率统计习题解答-

1、13 x4 x 2，求下列事件的表达式: (1)A B; (2) AB; (3) AB ; A B. 解 A B x 1 3 x ； 4 2 Ab x 0 x 1 或1 x 2 B x 1 1 x - 2 42 (3) 因为A B ，所以AB; x1 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A : (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件 A 两次出现的面相同； 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件 A 一分钟内呼叫次数不超过3次； 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件 A 寿命在2000到2500小时之间。 解(1) ( , ),( ,),(,),(, ) , A

2、 (, ),(, ). 记X为一分钟内接到的呼叫次数，则 X k|k 0,1,2, A X k|k 0,1,2,3 (3) 记X为抽到的灯泡的寿命(单位：小时) ，则 X (0,) ,A X (2000,2500). 2.袋中有10个球，分别编有号码1至10,从中任取1球，设A 取得球的号码是偶数 ,B 取 得球的号码是奇数， C 取得球的号码小于5，冋下列运算表示什么事件： (1) A B ; (2) AB ; (3) AC ; (4) AC ; (5) AC ; (6)B C ; (7) A C. 解(1) A B 是必然事件； (2) AB是不可能事件； (3) AC 取得球的号码是2,

3、 4; (4) AC 取得球的号码是 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9，10; (5) AC 取得球的号码为奇数，且不小于 5 取得球的号码为5, 7, 9; (6) B C B C 取得球的号码是不小于5的偶数 取得球的号码为6, 8, 10; (7) A C AC 取得球的号码是不小于5的偶数=取得球的号码为6, 8, 10 1 3.在区间0,2上任取一数，记A x- x 1 , B 13 x0 x 一或一 42 4.用事件A,B,C A B A x0 x -或-x 2 的运算关系式表示下列事件： (1) A出现，B,C都不出现(记为E1); A,B都出现，C不出现(记为E2); 所

4、有三个事件都出现(记为E3); 三个事件中至少有一个出现(记为 E4); 三个事件都不出现(记为E5); (6)不多于 个事件出现(记为 E6); 不多于两个事件出现(记为 E7); (8) 三个事件中至少有两个出现 (记为 E8 )。 解 (1)E1 ABC ; E2 ABC ; Ea ABC ; e4 ABC; E5 ABC ; E6 ABC ABC ABC ABC ; (7)E7 ABC A B C ； (8)E8 AB AC BC . 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设 A表示事件“第i次 抽到废品”，i 1,2,3，试用A表示下列事件： (1) 第一

5、次、第二次中至少有一次抽到废品； 只有第一次抽到废品； 三次都抽到废品； 至少有一次抽到合格品； A1 A2 A3 ；(3) Al A2 A3 ； (5) A1A2 A3A1 A2 A3A A2 A3 . (2) 只有两次抽到废品 解宀 A2 ； A1 A2 A3 ； 6. 接连进行三次射击，设 Ai =第i次射击命中, i 1,2,3 , B 三次射击恰好命中二次, C 三次射击至少命中二次;试用Ai表示B和C。 解 B A1A2 A3 A1A2A3 a1a2a3 习题二解答 1. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。 50 这是不放回抽取，样本点

6、总数 n，记求概率的事件为 A，则有利于A的样本点数 3 45 k 2 第一次、第二次都取到红球的概率； 第一次取到红球，第二次取到白球的概率; 二次取得的球为红、白各一的概率； 第二次取到红球的概率。 本题是有放回抽取模式，样本点总数 2. 一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后, 再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 (1) (2) (3) 72 记(2)(3)题求概率的事件分别为 解 A,B,C,D . (i )有利于A的样本点数kA 52，故P(A) 有利于B的样本点数kB 2，故 5 7 5 P(B) 7 25 49

7、2 2 10 49 (iii) 有利于C的样本点数kc 故 P(C) 有利于D的样本点数kD 5，故 20 49 5 2 355 497 P(D) 7 3个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1)最 小号码是3的概率；(2)最大号码是3的概率 解本题是无放回模式，样本点总数 (i )最小号码为3,只能从编号为 利样本点数为2 3，所求概率为 6 5 (ii)最大号码为3,只能从1, 2, 所求概率为 . 6 515 4. 一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取 o n 6 5. 3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到

8、3, 1 5. 3号球中取，且有一次取到3,于是有利样本点数为 因而有 2 次, 每次取1只，试求下列事件的概率： (1) 2只都合格； (2) 1只合格，1只不合格； (3) 至少有1只合格。 解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为A, B,C，贝U 注意到C A B，且A与B互斥，因而由概率的可加性知 5.掷两颗骰子，求下列事件的概率： (1)点数之和为7; (2)点数之和不超过5; (3)点数之和为偶数 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为代B,C,样本点总数n 62 (i ) A含样本点(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) (ii )B

9、含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) (込)C 含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点。 6.把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人， 试求这三名学生住不同宿舍的概率 解 P(A) 7. (1) 0 记求概率的事件为 A，样本点总数为53，而有利 5 4 312

10、 5325 . 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位, 事件A :“其中恰有一位精通英语 事件B 事件C A的样本点数为5 4 3，所以 求下列事件的概率: (1) 样本点总数为 P(A) P(B) “其中恰有二位精通英语”; “其中有人精通英语” 5 3 2 3 3! 5 4 3 6 10 2 3 2 1 5 3 A B， 3 3! 5 4 3 3 10 且A与B互斥， 33 P(B) 51010 8. 设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y轴 角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线 解记求概率的事件为A，则Sa 为图中阴影部分，而| 1/2， 最后由几何概型的概率计算公

11、式可得 d 5. |1/29 9. (见前面问答题2. 3) 10. 已知 A B，P(A) 0.4， P(B) P(C) P(A) 因而 9 |Sa |5/18 1所围成的三角形内，而落在这三 1/3 x y 的左边的概率。 图2.3 0.6，求 (1)P(A),P(B) ; (2) P(A B) ; (3) P(AB) ; (4) P(BA),P(AB) ; (5)P(AB). 解(1)P(A) 1 P(A) 1 0.40.6, P(B) 1 P(B) 1 0.60.4; (2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B) 0.6 ; P(AB)

12、P(A) 0.4 7 P(BA) P(A B) P() 0, P(AB) P(A B) 1 P(A B) 10.60.4; P(AB) P(B A) 0.6 0.4 0.2. 11.设代B是两个事件， 已知 P(A) 0.5 , P(B) 0.7 , P(A B) 0.8，试求 P(A B)及 P(B A). 解 注 意 到 P(A B) P(A) P(B) P(AB) ,因而 P(AB) P(A) P(B) P(A B) 0.5 0.7 0.8 0.4 .于是， P(A B) P(A AB) P(A) P(AB) 0.5 0.40.1 ; P(B A) P(B AB) P(B) P(AB)

13、0.7 0.40.3. 习题三解答 1. 已知随机事件A的概率P(A) 0.5 ,随机事件B的概率P(B) 0.6 ,条件概率P(B | A) 0.8 , 试求 P(AB)及 P(AB). 解 P(AB) P(A)P(B| A) 0.5 0.80.4 2. 一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次(每次取一个)，求第三次才取得 正品的概率。 解p 10 9 90旦旦. 100 99 9899 981078 3.某人有一笔资金，他投入基金的概率为 0.58，购买股票的概率为0.28, 率为0.19 (1) (2) 解 两项投资都做的概 (1) 4. 已知他已投入基金, 已知他已购买股

14、票, 记A 基金，B P(AB) P(A) P(AB) P(B) 0.5， P(B| A) P(A|B) 给定P(A) 再购买股票的概率是多少？ 再投入基金的概率是多少？ 股票，则 P(A) 0.58, P(B) 0.28, P(AB) 0.19 0.19 0.327. 0.58 吐 0.678 . 0.28 P(B) 0.3，P(AB) 0.15，验证下面四个等式： P(A| B) P(A), P(A| B) P(A), P(B | A) P(B)， P(B | A) P(B). 解 P(A| B) P(AB) 0151 P(A) P(B) 0.32 5. 有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和

15、飞机的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4,若坐火车， 迟到的概率是0.25,若坐船，迟到的概率是0.3,若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟 到。求他最后可能迟到的概率。 4 解 B 迟到 , A 坐火车 ,A2坐船 ,A3坐汽车,A4乘飞机，则BBAi, i 1 且按题意 P(B|AJ 0.25 , P(B | A2) 0.3 , P(B | A3) 0.1 , P(B | A4) 0. 由全概率公式有： 6. 已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率： (1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随

16、机取一球，该球是红球。 解(1)记B 该球是红球 , A 取自甲袋 , A2 取自乙袋，已知P(B|A) 6/10 , P(B|A2)8/14，所以 147 P(B)烏- 2412 7. 某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25% , 35% , 40% ,各车间产品的次品率分别为 5% , 4% , 2% ,求该厂产品的次品率。 解 0.25 0.050.35 0.04 0.4 0.02 8. 发报台分别以概率0.6 , 0.4发出?和,由于通信受到干扰，当发出?时，分别以概 率0.8和0.2收到？和,同样,当发出信号时,分别以0.9和0.1的概率收到和?。

17、求(1)收到信号?的概率；(2)当收到?时，发出?的概率。 记 B 收到信号? , A 发出信号? P(B) P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) p(A|B) P(A)P(B| A) 0.6 0.8 竖 P(B)0.5213 . 解 (1) 9. 设某工厂有A,B,C三个车间,生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25% , 35% , 40% ,各个车间成品中次品的百分比分别为5% , 4% , 2% ,如从该厂产品中抽取一件，得到的是 次品,求它依次是车间A,B,C生产的概率。 解 为方便计，记事件A,B,C为A, B,C车间生产的产品,事件D 次品,因此 10. 设A

18、与B独立,且P(A) p, P(B) q ,求下列事件的概率：P(A B) , P(A 解 P(A B) P(A) P(B) P(A)P(B) p 11. 已知 A,B 独立,且 P(AB) 1/9, P(AB) 解因P(AB) P(AB),由独立性有 从而 P(A) P(A)P(B) P(B) P(A)P(B)导致 q pq P(AB),求 P(A),P(B). P(A) P(B) 再由 P(AB) 1/9 ,有 1/9 P(A)P(B) (1P(A)(1P(B)(1P(A)2 所以 1 P(A) 1/3。最后得到 P(B) P(A) 2/3. 12. 甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射

19、击一次,命中率分别为1/3 , 标被命中的概率。 解 记B 命中目标 , A, 甲命中 , A2 乙命中 , A3 丙命中,则 B) , P(A B). 1/2 , 2/3 ,求目 3 Ai ,因 i 1 而 13.设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为 个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。 解记A 通达, Ai 元件 i 通达, i 1,2,3,4,5,6 则 A A1A2 A3A4 A5A6 ,所以 P(A) P(AA2)P(A3A4) P(A5A6) p ,求这 14. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2 ,机器发生故障时全天停止工

20、作，若一周五 个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。 5 解 p(0.2)3(0.8)2 0.0512. 3 15. 灯泡耐用时间在 一个坏了的概率。 3 解 p(0.2)3 3 1000小时以上的概率为0.2 ,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有 30.8 (0.2)20.008 0.096 2 0.104. 若已知A至少出现一次的概率等于19/27, 16. 设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等， 求事件A在每次试验中出现的概率 P(A). 解 记A A在第i次试验中出现 , i 1,2,3. pP(A) 依假设 1933 石 P A 1 P

21、SA2A3) 1 (1 P)3 27i 1 所以， 8 (1 p)3，此即 p 1/3. 27 17. 加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假 设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。 解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记A 第i道 工序为次品，i 1,2,3.则次品率 18. 三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25, 0.35, 0.4.求此密码被译出 的概率。 解 记A 译出密码， A 第i人译出，i 1,2,3.贝U 19.将一枚均匀硬币连续独立抛掷 10次，恰有5次出现正面的概率

22、是多少？有 4次至6次出 现正面的概率是多少? (1) 10 1 10 63 5 2 256 6 10 1 10 k k 4 2 解 20.某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻 T ,各电梯正在运行的概率均为 0.75, 求： (1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率; (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。 055 解 (1) 1 (1 0.75)41 (0.25)4 256 4 (0.75)2(0.25)2 6 3 2 2 127 4 4128 (3) 4 (0.75)43- 81 4 256 习题四解答 1.下列给出的数列，哪些是

23、随机变量的分布律，并说明理由 (1) p i, i 15 0,1,234,5; (2) p 5 i 2 ； n 4 o i 6 ,i 0,1,2,3 ; (3) p 1 . i,i 2,3,4,5; 4 (4) p i 1 i ,i 1,2,3,4,5 o 25 解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证pi是否满足下列二个条件: 其一条件为Pi 0,i 1,2,，其二条件为pi 1 o i 依据上面的说明可得(1)中的数列为随机变量的分布律；(2)中的数列不是随机变量的分布 594 律，因为P3 -0 ; (3)中的数列为随机变量的分布律；(4)中的数列不是随机变量的 6 6

24、 分布律，这是因为:Pi 20 1 2试确定常数c,使P X i 二，i 0,1,2,3,4成为某个随机变量 2i X的分布律，并求：P X 2 ； 1 5 PX 。 2 2 解 要使成为某个随机变量的分布律，必须有4 51，由此解得c 2ii o 2i 16 31 ； (2)P X 2 P X 0 P X 1 P X 2 /C、1 5 16 1 1 12 (3)P - X P X 1 P X 2 。 2 2 31 2 4 31 3. 一口袋中有 6个球，在这6个球上分别标有-3, -3，1, 1，1，2这样的数字。从这袋中任 X的分布律与分布函数。 解 X可能取的值为-3, 1, 2,且P

25、X 1 3-, P X 1 3 X -312 概率 取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字 X的分布函数 1 1 2，PX 21，即X的分布律为 r 0X 3 1 FxPXx=-3 x 1 3 1x 2 4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1, 2, 3, 4, 5,从中随机地取3个，以X表示取出的3 个球中最大号码，写出卜的分布律和分布函数。 解 依题意X可能取到的值为3, 4, 5,事件X 3表示随机取出的3个球的最大号码为3, 则另两个球的只能为1号，2号，即PX 3 4表示随机取出的3个球的最大 号码为4, 因此另外2个球可在1、2、 号球中任选，此时 3 1 -;

26、同理可得 510 3 5.在相同条件下独立地进行 X的分布律。 解依题意X服从参数 x 3 x 5 5次射击，每次射击时击中目标的概率为 0.6,求击中目标的次数 n 5, p 0.6的二项分布，因此，其分布律 P X k Qo.6ko.45k,k0,1,5 , k 具体计算后可得 X 012345 概率 6.从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽 到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。 （1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2）每次取出的产品都不放回这批产品中； （3）每次取出一件产品后总是

27、放回一件正品。 解 （1）设事件A，i 1,2,表示第i次抽到的产品为正品，依题意，A, , An,相互独立，且 10 ,i 1,2, 13 即X服从参数p 1的几何分布。 13 （2）由于每次取出的产品不再放回，因此， X可能取到的值为1，2，3，4, X的分布律为 X I 1234 概率 （3）X可能取到的值为1，2, 3, 4， 所求X的分布律为 X 1234 概率 由于三种抽样方式不同，导致 X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。 7. 设随机变量XB6,p，已知P X 1 P X 5，求p与P X 2的值。 6 解 由于 X B 6, p，因此 P X 6 pk 1 p 6 k

28、,k 0,1,6。 k 由此可算得P X 1 6p 1 p 5,P X 5 6p5 1 p, 1 即6p 1 p 5 6p5 1 p,解得 p -； 2 2 6 2 6 此时，PX 26 1丄 口丄更。 2222!264 8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求 X的分布函数 解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为 彳，因此X服从n 4,p *的二项分布，即 F x 0, 1 池， _5 16 11 耗， 15 16， 1， 由此可得X的分布函数 x 0 0 x 1 1 x 2 2x3 3x4 x 4 4的泊松分布，问在月 9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，

29、每月销售量 X服从参数 初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要? 解 设至少要进n件物品，由题意n应满足 n 1 4k 4 k 0 k! P X n 1e 40.99 查泊松分布表可求得n 9 o 10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该 段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。 解 设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从n 1000, p 0.0001的二项分布，即 X B 1000,0.0001，由于n较大，p较小，因此也可以近似地认为 X服从 np 1000 0.00010.1的 泊松分布，即

30、X P 0.1，所求概率为 11. 某试验的成功概率为0.75,失败概率为0.25,若以X表示试验者获得首次成功所进行的试 验次数，写出X的分布律。 解 设事件Ai表示第i次试验成功，则P Ai0.75，且A, ,An,相互独立。随机变量X取k意 味着前k 1次试验未成功，但第k次试验成功，因此有 所求的分布律为 X 1 2 概率 0.75 12.设随机变量X的密度函数为 1 1 . -1 e I 2 2 x 2x， 0， 试求：（1）常数 A ； 解（1）f x成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为 f x dx 1，因此有0 2 xdx 1，解得A （2）分布函数 x 0dx

31、广 0 =1 0dx V 0 0dx 设随机变量X 的分布函数 0 x A 其他， （2）X的分布函数。 1，其中A 1舍去，即取A 1o x 02xdx ；2xdx ：0dx 13. (3) X 解 解得A 的密度函数为f x x Ae |x| 0 x 1 1 x ，求：（1）系数 A ；（2）P 0 X 1 ； （1）系数A必须满足 1 2 ； Ae IXdx 1，由于 e x为偶函数，所以 (2) P 0 (3)F x 101 e Ixdx 0 2 f x dx 广X 1 -e 2 0 1 -e I 2 x 1 r-exdx 2 0 1 尹血 1 x dx dx 1 1 02e dx x

32、1x| 02e dx x 1 e xdx 0 2 广1 x _e 2 1 x e 2 14.证明：函数 为某个随机变量 x2 X 2c e 2c c 0 的密度函数。 （c为正的常数） 证由于f x 0，且 f x dx 2 x2 27x 0 e 2cd 02c x2 e X 因此f x满足密度函数的二个条件，由此可得 15.求出与密度函数 对应的分布函数F x的表达式 当x 0时，F x x 2时， 2时，F f x为某个随机变量的密度函数。 O xx f x dx 0.5e x0 x f x dx 0.5e dx 2x 00.25dx2 当x 综合有 16.设随机变量X在1,6上服从均匀分

33、布，求方程 解 0.5exdx0.25dx dx 0.5ex x 0 0.25dx 0.5 0.25x 0dx 0.5 0.5 1 2 t2 Xt 0有实根的概率。 方程t2 X的密度函数为 1 5, 0,其他. Xt 10有实根的充分必要条件为X 2 4 0， 2 P X 4 P X2 或 X2 P X 2 即X2 因此所求得概率为 614 02- dx 255 17. 设某药品的有效期X以天计，其概率密度为 20000 3 ） 100 X 0, 求：（1）X的分布函数； 其他. 至少有200天有效期的概率。 0,x 0； 解(1) F x x dx = x _J0000 0 x 0, 10

34、0 3dx， 0. 0； (2) P X 2001 P X 10000 2 , 1 x 100 2001 F 2001 0. 10000 2 200 100 2 18.设随机变量X的分布函数为 求X的密度函数，并计算P X 1和P X 解 由分布函数F x与密度函数f x I 所求概率 P X 1 F 111 1 e 11 2e PX21PX21F21 2。 的关系，可得在f 1 ； x的一切连续点处有f x F x，因此 2 2 I 112 e 2 3e 2。 19.设随机变量X的分布函数为F x （3）随机变量X的密度函数。 解： A Barctanx,x，求常数 A, B ； P X l

35、im A x lim A x (1)要使 Barcta nx Barcta nx 计算后得 解得 另外, (2) (3) F x成为随机变量X -B 2 B 2 1 2 1 可验证当 P X X的密度函数 2,B 1 1 1 x2 的分布函数，必须满足lim F x 0, lim F x 1，即 xx 2larctanx也满足分布函数其余的几条性质。 1 1 20.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从 -的指数分布，其密度函数 5 1舟 X 0 5e ,，某顾客在窗口等待服务，若超过 10min，他就离开。 0其他 设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率； 设某顾客一

36、个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。 解（1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间， 依题意X服从 (1) (2) 的指数分布, 且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为 152 P X 1010 e 5dx e 2 ； 10 5 （2）设丫表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则丫服从n 概率为 21. P X 解 5, p (1) 的二项分布，所求 2.2 ；（ 2） (1) P X 2.2 2.20.9861 ； (2) P X 1.76 1 P X 1.7611 .76 1 0.96080.0392 ； (3) P X 0.

37、78 0.7810.78 1 0.7823 0.2177 ； (4) P X 1.55 P 1.55 X 1.55 1.55 1.55 1.55 ；( 5)P X 2.5 P X 1 1.551 2.512 设X服从 0,1 ,借助于标准正态分布的分布函数表计算: 176；（3）P X 0.78 ；（4）P X 查正态分布表可得 P X 2.5 1.5521.5512 0.93941 2.51 0.8788 22.设 P X 1.5 服从 ；（3）PX 222.5210.99380.0124。 1,16，借助于标准正态分布的分布函数表计算： 2.8 ；（ 4） P X 4 ；（ 5） P 5

38、X 2 ；（ 6） 2.44 ；（ 2） X 1。 2 时，Pa ，借助于该性质，再查标准正态分布 XY123 函数表可求得 (1) 2.44 (2) 1.5 2.44 1 4 1.5 0.86 0.8051 ； (3) 2.8 (4) (5) (6) 4 4 1.25 1 4 10.125 2.8 1 4 1 0.125 0.1250.5498 ； 0.451 0.4510.67360.3264 ； 1 2 4 0.75 1 1.25 4 0.750.8944 1 0.75 0.7734 0.6678 ； 口 0.75 4 10.77340.8413 0.25 23. 某厂生产的滚珠直径服从

39、正态分布 的合格率 解 24. 门，求： 解 0.75 1 0.9321 ； 2 1 0 1 44 0.8253。 0.7724 0.5987 2.05,0.01，合格品的规格规定为2 0.2，求该厂滚珠 O 所求得概率为 某人上班所需的时间X30,100 （1）某天迟到的概率；（2） 周 （单位: （以 1）由题意知某人路上所花时间超过 40 30 P X 40111 10 min）已知上班时间为8： 30,他每天7： 50出 5天计）最多迟到一次的概率。 40分钟，他就迟到了，因此所求概率为 10.84130.1587 ； （2） 次的概率为 记丫为5天中某人迟到的次数，则丫服从n 5,

40、p 0.1587的二项分布，5天中最多迟到一 5055 0.15870.84130.1587 1 1 习题五解答 4 0.8413 0.8192。 1.二维随机变量 X,Y只能取下列数组中的值: 0,0, 1,1 , 1 叫，2，且取这些组值的概率 1,2,2,3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋 X、Y分别记第一、二次取到的 依次为，右寻，求这二维随机变量的分布律。 解由题意可得X,Y的联合分布律为 XY 0 1 -1 0 0 0 0 2 0 0 P X Y P X 1,Y 1 P X 2,Y2 P X 3,Y3 易算得D的面积为S11扌；，所以X，丫的密度函数 3箱子中装有10件产品

41、，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取 2次，定义随 机变量X、丫如下： X= J 0， 若第一次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 分别就下面两种情况求出二维随机变量 y= r 0，若第二次取出正品； “ 1，若第二次取出次品。 V 7 X,Y的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样 解（1）在放回抽样时，X可能取的值为0,1，丫可能取的值也为0,1，且 或写成 XY 0 1 0 1 （2）在无放回情形下，X、丫可能取的值也为0或1,但取相应值的概率与有放回情形下不一 样，具体为 或写成 XY 0 1 0 1 4.对于第1题中的二维随机变量 X,Y的分布，写出关于X及关于丫

42、的边缘分布律。 解把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为 X -1 0 2 概率 按列相加得丫的边缘分布律为 Y 0 1 概率 5.对于第3题中的二维随机变量 X,Y的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关 于X及关于丫的边缘分布律。 解在有放回情况下X的边缘分布律为 X 0 1 丫的边缘分布律为 概率 丫 0 1 在无放回情况下X的边缘分布律为 概率 X 0 1 丫的边缘分布律为 概率 丫 0 1 概率 6.求在D上服从均匀分布的随机变量 X,Y的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直 线y 2x 1围成的三角形区域。 解区域D见图5.2。 1 f x,y X,Y 4,

43、 的分布函数 1或y 2 1 2 F x, y y x 0dy L 2 F x, y 1 2 1 dx 0时, 0,0 1 4dx x 0, y 2x 1 0 4dy x,y 其他 F x, y 2x 4xy 2x 4x2 2y 4x 2 0,0 y 1 时，F x,y 0, y 1 时，F x, y ：dy 2x 1dx0 2 综合有 7.对于第6题中的二维随机变量 解X的边缘密度函数为 厂 2x 1 =0 4dy, =V I 0, 丫的边缘密度函数为 0 =f L_14dx, I 0, 1 x 2 其他 0 y 其他 0 y 14dx 1 4dy X,Y 8.在第3题的两种情况下， 解在有

44、放回情况下， X 0,Y0 X 1,Y0 在无放 X 0,Y0 9.在第6题中, 解f 1 4 2y y2 ； 的分布，写出关于 4 2x 1 , 0, 21 0, X及关于Y的边缘密度函数。 1 x 0 2 其他 0 其他 X与丫是否独立，为什么？ 16 = 0,Y0，而 P X 0 P Y 25 P X 0 P Y 1 , 1 由于p x 0 ；容易验证 0 ,P X 1,Y1 ,由于P X 0,Y 1 X 1 P Y 28 0,Y0 45 ,由独立性定义知 X与丫相互独立。 4 5 0 P Y X与丫是否独立，为什么？ 114 4，而 fx -2, fY 3-，易见 0，所以X与Y不相互

45、独立。 fx fY ，所以X与丫不 相互独立。 10.设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律: -2-100.5 X 概率 写出表示X,Y的分布律的表格。 解由于X与丫相互独立，因此 例如 P X 2,Y0.5 P X 2 P Y Y -0.513 概率 1 1 0.5 42 其余的联合概率可同样算得，具体结果为 XY -0.513 -2 -1 0 0.5 11.设X与丫是相互独立的随机变量，X服从 布，求X,Y的联合密度函数及P X y。 解.由均匀分布的定义知 由指数分布的定义知 因为X与丫独立，易得X,Y的联合密度函数 概率 P X Y f x, y dxdy， G 其中区域Gx,y |

46、x y见图5.3，经计算有 P X Y0）.2dx025e 5ydy 12.设二维随机变量 求：（1）系数 k ；（2） P 0 解（1） k必须满足 （2）P 0 X 1,0 Y 2 0,0.2上的均匀分布 0.2 图5.3 /服从参数为5的指数分 ；251 e 5x dx e 1。 X,Y的联合密度函数为 X 1,0 Y 2 ；( 3)证明 X f x, y dxdy 1，即 0dy 012e 3x 4y dx 1 0 dy 0 3 1 e 与丫相互独立。 3x4ydx 1，经计算得k 12 ； ke 8 . （3）关于X的边缘密度函数 3e 3x 0, x 0 其他 同理可求得丫的边缘密

47、度函数为 易见 f x, y fx x 彳丫 y , 13.已知二维随机变量 X,Y （1）求常数k ；（2）分别求关于X及关于丫的边缘密度函数；（3） 解（1） k 满足 fx,ydxdy 1， （2） X的边缘密度函数 x , y 的联合密度函数为 ，因此X与丫相互独立。 即 0 dx 0 xk 1 x ydy 1解得k X与Y是否独立? 24 ； 丫的边缘密度函数为 =12y1 I0， 1 1 f -, 2 4 1 1 24 24 12x2 0, 0 x 1 其他 0 y 1 其他 而 fx x 12 討丫 y 12 1 2空，易见 41616 1 ，4 14.设随机变量X与丫的联合分布

48、律为 ，因此X与丫不相互独立。 XY 0 1 0 1 2 且 P Y 1|X 3 0-，（ 1）求常数a,b的值；（2） 5 当 a,b 取( 1) 中的值时，X与丫是否独立？为什 么？ 23 a,b必须满足Pj j 1i 1 件概率定义及已知的条件得 由此解得b ，结合a b 17可得到a 2525 解（1） 31 a 252525 217 1，可推出a b 17，另外由条 14 25 14 即 b 25 3 25 （2）当a 14,b 时，可求得P X 0,P Y 017，易见 25252525 因此，X与Y不独立。 15. 对于第2题中的二维随机变量 X,Y的分布，求当Y 2时X的条件分

49、布律。 1 解易知p2 PY 2，因此Y 2时X的条件分布律为 X Y=2 1 2 3 概 既率 1 16. 对于第6题中的二维随机变量 X,Y的分布，求当X x, - x 0时Y的条件密度函数 2 解 X的边缘密度函数为（由第7题所求得） x 0时Y的条件密度函数为 0 y 2x 1 其他 习题六解答 由条件密度函数的定义知当Xx,1 2 1 = 2x 1， 0， 1.设X的分布律为 X -2-0.5024 概率 求出：以下随机变量的分布律。（1）X 2 ；（2） X 1 ；（3）X2 解由X的分布律可列出下表 概率 -2 -0.5 0 2 4 0 1.5 2 4 6 3 1.5 1 -1

50、-3 4 0.25 0 4 16 由此表可定出 -3 -1 1 3 概率 0246 概率 （1）X 2的分布律为 （2）X 1的分布律为 （3）X 2的分布律为 0 4 16 概率 o 1 1 7 2 一 。 8624 其中 P X24 P X 2 P X 2.设随机变量X服从参数1的泊松分布，记随机变量Y 布律。 解 由于X服从参数1的泊松分布，因此 0,若X 1,若X 1; 1, 试求随机变量丫的分 e -0! 而 P Y 0 P X 1 P X 0 P X 1 P Y 1 P X 11 P X 即丫的分布律为 11 2e 1 Y 0 1 概率 o 3.设X的密度函数为f x 2x, 0,

51、 0 x 1； 廿汕求以下随机变量的密度函数：（1）2X;（2） X 1 ； 其他， （3） X2。 解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果 y g x为单调可导函数，则也可利用性质求得。 （1）解法一：设 0 2X , 则Y的分布函数 y ?2xdx 0 y 1 = 0 2 1 y 1 I 02xdx 2 y 2x，x y h y ，而 h y - 2 2 0 1 1 彳 2 2 2 I 0, 其 他 _y 5 0 y 2 y 2 其他 L 0 o 1 解法二: 则 1, y 则x 2 y 4 y 2 (2)设 Y X 1 y h y ,h 2 y

52、1 0 o 其他 1，Y的密度函数 1 y 1 （3）设Y X2，由于X只取0,1中的值，所以y h y . y,h y匸-1 -，因此Y的密度函数为 2 Jy x2也为单调函数，其反函数 =p 1，0 Tv 1 “0,其他 4.对圆片直径进行测量，测量值X服从5,6上的均匀分布， 1 求圆面积丫的概率密度。 解 圆面积Y - X2，由于X均匀取5,6中的值，所以X的密度函数 4 且y丄x2为单调增加函数x 5,6 4 ,其反函数 4y 2h Y的密度函数为 1 5.设随机变量X服从正态分布 25 4 其他. 0,1，试求随机变量的函数YX2的密度函数fY y 1 X x TTe 性质求出fY

53、 y。须先求丫的分布函数Fy - -y y P y X yyfXxdx y 2 厂1 -e =Y 芒y I 0, 6.设随机变量X服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数 Y x 0; 其他. 1 -，因此所求的丫的密度函数为 y 解 X 0,1，所以f fx x dx ，此时y x2不为单调函数不能直接利用 x e 0, y ex的反函数h y In y,h y 1 2 , y 0, 7.设X服从 0,1 ,证明X a服从 证明 由于X 0,1 ,所以fx 为单增函 数，其反 fY y 即证明了 X 2 a, 8.设随机变量 X在区间 1,2 试求随机变量函数 y。 1 羊 e dx. 0；

54、 的密度函数fY y 1; 其他. a, 2，其中a, 1 e 2 为两个常数且 2 x 2 ，记Y 则当 0时, 1 丄，因此 Y的密度 函数为 上服从均匀分布，随机变量 1,若 X 0,若X 1,若 X 0； 0； 0. 解 X R 1,2，则 f x 厂 3, 0, 而 P Y 1 P X 0 0 Idx 1 . 1 3 3 P Y 0 P X 0 0; 21 2 P Y 1 P X 0 -dx _ 。 0 3 3 丫的分布律。 1 因此所求分布律为 1 x 2; 其他. Y -1 0 1 概率 0 9.设二维随机变量 X,Y 的分布律 求以下随机变量的分布律: XY 1 2 3 1 2

55、 0 0 3 0 丫 ；（ 2) X 丫 ； (3) D X 2X ; (4) XY。 解 概率 0 0 0 2 3 4 3 4 5 4 5 6 0 -1 -2 1 0 -1 2 1 0 1 2 3 2 4 6 3 6 9 从而得到 (1) 2 3 4 5 概率 (2) | - 2 -1 0 1 2 概率 J (3) 从联合分布律可求得X的边缘分布律为 X 1 2 3 概率 由此得2X的分布律为 X 2 4 6 概率 (4) 1236 概率 11 10 .设随机变量X、Y相互独立， X B 1,丄，YB 1,-, 44 (1) 记随机变量Z X 丫，求Z的分布律； (2) 记随机变量U 2X，

56、求U的分布律。 从而证实：即使X、Y服从同样的分布，X 丫与2X的分布并不一定相同，直观地解释这一 结论。 解(1) 1 由于X B 1, 4 ，丫B 11 1,，且X与Y独立，由分布可加性知X 丫B 2,- ，即 44 ,k 0,1,2,经计算有 0 1 2 概率 2 k (2)由于 因此 0 1 概率 0 2 概率 丫与2X的分布并不相同。直观的解释是的X 丫与2X的取值并不相同，这是因为X 与丫并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同 11 .设二维随机变量x,y的联合分布律为 易见X XY 1 2 3 1 0 0 2 0 3 O (1) 求U max X,Y的分布律； (2) 求

57、V min X,Y的分布律。 解(1)随机变量U可能取到的值为1 P U 1 P max X ,Y 1 P X 1,Y P U 2 P max X ,Y 2 P X 1,Y 2 1 1 ； 0 9 93； P U 3 P max X ,Y 3 P X 1,Y3 P X 2,Y P X 3,Y3 2 2 1 5, 0 0 1 9 9 9 9 1 1； 9 2 P X 2,Y 1 P X 2,Y2 综合有 3 P X 3,Y1 P X 3,Y2 ,2,3中的一个，且 (2) P V 随机变量V可能取到的值为1 ,2,3中的一个，且 X,Y 1,Y1 2 9 1 P min P X -0 9 1 2

58、-,PV 3 1 P X 1,Y2 P X 1,Y3 P X 2,Y1 5 ； 9 ； 1 -,综合有 9 P X 3,Y 可求得 1 2 3 概率 1 2 3 概率 .设二维随机变量 2,y 2 所 X,Y服从在D上的均匀分布，其中D为直线x 0,y 围成的区域，求X 丫的分布函数及密度函数。 解 X ,Y的联合密度函数为 1 f(x,y) 4， 0 x 2,0 y 2;设z x Y，则Z的分布函数 0,其他. 其中区域Dzx, y ： x y z , 当z Fz 2时，积分区域见图6.2，此时 z Fz z Dz 1 4 - 4 0dxdy 0 Dz 0时，积分区域见Dz图 1 dxdy

59、4 f x, y dxdy Dz 区域Dz的面积 I? 其中D 当0 z 是区域 2时，积分区域D Dz限在0 Fz z Dz - 4 - 4 f x, y dxdy x 2,0 见图6.4, -dxdy 4 Dz 区域D 的面积 其中 当z Fz z 1 2 8 Dz是区域Dz限在0 2时，积分区域Dz见图6.5,此时 f x, y dxdy 1。 Dz 2,0 y 综合有 Z的密度函数 13.设X,Y的密度函数为f x, y 量X Y的密度函数。 解设Z X Y,则Z的分布函数 ，用函数f 6.3,此时 图6.3 2 -2 图6.4 2中 y 2 表达随机变 -2 6.5 y 此时 y 2

60、仃 z x 中的那部分。 的那部分。 f x, y dxdy y z FZ z P Z z P X Y z x u x y，得到 z f x,u x du dx，交换积分变量 dx f x, y dxdy。 对积分变量y作变换 于是 Fz z x,u的次序得 从而，Z的密度函数为fZ z f x,z x dx， 把X与丫的地位对换，同样可得到Z的密度函数的另一种形式fZ z f z 习题七解答 y, y dy。 1.设X的分布律为, -1 0 求(1) EX , (2) E( X 1) , (3) E(X2) , (4) DX 解 由随机变量X的分布律，得 X -1 0 1 2 -X+1 2