由递推公式求通项的9种方法经典总结,推荐文档

1、精析由递推公式求通项的 9种方法 1. an +1= an+ f(n)型 把原递推公式转化为 an+1 a n = f(n),再利用累加法(逐差相 力口法)求解，即 an = ai+ (a2 ai) + (a3 a2)+ + (an an i) = ai + f(1)+ f(2)+ f(3) + + f(n 1). 1 1 、 例 1 已知数列 an满足 a1=T，an+ 1 = an +-，求 an. 2n + n 1 1 1 1 解 由条件，知 an+1 an =二=-一，贝U (a2 a” + (a3 a2) + (a4 a3) n2+ n n n+ 1 n n + 1 1 1 1 1

2、1 1 _1 + + (an an 1) =1 -2+ 2一 3+ 3一 4+ n一 厂 n， 1 所以 an a1 = 1 11131 因为 a1 =夕 所以 an = 2+ 1 = 2 2. an+1 = f(n)an型 把原递推公式转化为 归=f(n),再利用累乘法(逐商相乘法) an 求解，即由a2= f(1),空=f(2)= f(n 1)，累乘可得色= a1a2an1a1 f(1)f (2)f(n 1). 2n 例2 已知数列 an满足a1 = 3, an+1 =门+ an,求an. an+1 = an, an+1 an n + 1 6 anan1 an= an1 an2 翌 a1

3、=1 x1 x2= .即卩 an=右. a1 n n 12 3 3 n3n 3. an+1= pan+q(其中 p, q 均为常数，pq(p 1)工 0)型 对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式 改写为an+1 +1 = p(an+1)，比较系数可知t= p1，可令an+ 1 + t =bn+ 1换元即可转化为等比数列来解决. 例 3 已知数列an中，ai= 1, an+1= 2an+ 3，求 an. 解 设递推公式 an+1 = 2an+ 3 可以转化为 an+1 t= 2(an t)，即 an+1= 2an t，贝U t = 一 3. 故递推公式为 an+1 + 3= 2(

4、an+ 3). bn+1 an+ 1+ 3 c 令 bn= an+ 3，贝V b1 = a1 + 3= 4，且 = 2. bnan + 3 所以bn是以b1= 4为首项，2为公比的等比数列. 所以 bn= 4 X 2n1 = 2n+ 1,即卩 an = 2n +1 3. 4. an+1= pan+ qn(其中 p, q 均为常数，pq(p 1)工 0)型 (1) 一般地，要先在递推公式两边同除以 qn + S得霁=p* + q,引入辅助数列bn其中bn=幕，得bn+1 = p bn + 再用待定 系数法解决； (2) 也可以在原递推公式两边同除以pn+s得訂=pn+1p n,引入辅助数列b n

5、其中bn = p ,得bn+1 bn =n ,再利用叠 pp p 加法(逐差相加法)求解. 511+、 例 4 已知数列 an中，a1= 6， an+ 1 = ?an + 2 n 1，求 an. 1 1 2 解法一一 :在 an+1 = an+ 2 n+1 两边乘以 2n+1，得 2n+1 an+1 = 3(2n an) + 1. 2 令 bn= 2n an，贝U bn+ 1= bn + 1 , 2 根据待定系数法，得 bn+1 3= 3(bn 3). 54 所以数列bn 3是以b1 3= 2X6 3= 为首项， 2 以3为公比的等比数列. 4 2 2 所以 bn 3 = 3n1，即卩 bn=

6、 3 2 3 n. 曰an =霁3 1 n 2訂. 疋， 、一 1 1 法：在 an+ 1 = ?an+ n+ 1两边乘以3n + 1，得 3n+ 咕“+1 = 3nan+ 2 n+1 令 bn= 3n an,则 bn+ 1= bn + 3 n+ 1 2 所以 bn bn1 = n,bn-1 bn -2 = 3 2, 所以 bn= 1 + 2 + 2 + . + 3 n 1 + 3n 2 3 1 . 1 _ n + 1 1 1 2 3 1 2 3 即 bn= 2 2 n +1 2. 5. an+1= pan+ an + b(pz 1, p工0, az0)型 这种类型一般利用待定系数法构造等比数

7、列，即令 x(n + 1) + y= p(a n+ xn + y)，与已知递推式比较，解出 而转化为an + xn + y是公比为p的等比数列. 例 5 设数列 an满足 a1 = 4, an= 3an-1+ 2n 1(n 2)，求 an. 解 设递推公式可以转化为 an+ An + B= 3an-1 + A(n 1) + B, 2A = 2, 化简后与原递推式比较，得 2B 3A = 1, an +1 + x, y,从 b2 b1= 2 2 将以上各式叠加, 3 得 bn b1= 2 2+ + 又 b1= 3a1 = 3X 6= 5 = 1 + A = 1, 解得 B = 1. 令 bn=

8、an+ n + 1.(*) 贝V bn= 3bnt，又 bi = 6,故 bn= 6 3n 1 = 2 3n, 代入(*)式，得 an= 2 3n n 1. 6. an+1= pan(p0, an0)型 an+1 = pan + q 型 这种类型一般是等式两边取对数后转化为 数列，再利用待定系数法求解. 1 例6已知数列 an中，a1= 1, an+1=a2(a0)，求数列an的通项公式. a 1 2 解对an+1= a2的两边取对数, a 1 得 lg an+ 1 = 2lg an+ lg -. a 1 令 bn= lg an,贝U bn + 1 = 2bn+ lg . a 11、1 由此得

9、 bn+ 1+ lg； = 2 bn+ lg：，记 Cn= bn+ lg；，贝U Cn +1 = 2cn, 所以数列Cn是以C1= b1+ lg= 1为首项，2为公比的等比数列. 所以 Cn= 2n- 1 所以 bn= Cn lg1 = 2n 1 lg1 lg1 aa a 1 a 丄 2n 1 = Iga1 2n, a 即 lg an= lga2n,所以 an= 2n =lg Aan 7. an+1. Ban + C(A, B, C为常数)型 对于此类递推数列， 可通过两边同时取倒数的方法得出关系 例7已知数列 an的首项 a1 = 5, an+1 = 2an+ 1，n = 1,2,3,，求an的通项公式. 小3an1 解Tan + 1 =,. 2an+ 1an+ 1 1 an+1 -1 = 3矿1 又1-1 a1 2 3, 3 7 1 2 1 石1是以3为首项，1为公比的等比数列, 1 2 1 2 an 1 3 3n-1一3n， an = 3n 3n+ 2 8.an1 an f(n)型 an n, n为奇数 n 1, n为偶数 1,且n 由原递推关系改写成 an 2an f(n 1) f(n),然后再按奇偶分 类讨论即可 例8.已知数列an中，a1 1, an 1an 2n.求 an 解析：an 1 an 2n. an 2 an 1 2n 2， 故 an 2 an 2 即