专题八立体几何第二十二讲空间几何体的三视图表面积和体积答案

1、专题八立体几何初步第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积答案部分1. C【解析】解法一将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示,D易知，BC / AD , BC=1, AD=AB = PA = 2 , AB 丄 AD , PA 丄平面 ABCD ,故iPAD，也PAB为直角三角形， PA丄平面ABCD , BCu平面ABCD ,PA丄BC，又BC丄AB,且PAPI AB= A,； BC丄平面PAB，又PB u平面PAB . BC 丄 PB , PBC为直角三角形，容易求得 PC=3,CD=J5 ,PD=2J2 ,P - ABCD，如图，由图可故

2、A PCD不是直角三角形，故选 C.解法二 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3,故选C.2，底面周长2. B【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接MN，则MS=2 , SN=4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为JmS2 + SN2 二血 +42 =25 .故选 B.MN图图3. A【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A .4. B【解析】设等边三角形 ABC的边长为x，则ix2 sin60 =9/3，得x = 6

3、.6设卫ABC的外接圆半径为r，则2r =了，解得r = 243，所以球心到AABC所sin 60在平面的距离d = J42 -（273）2 = 2 ,则点D到平面ABC的最大距离a = d + 4 = 6 ,1 1所以三棱锥D ABC体积的最大值Vmax = S幽BC X 6 = X 93 6 = 18/3 .故选B .335. D【解析】如图以AAi为底面矩形一边的四边形有 AACiC、AABiB、AADQ、AAEiE4个，每一个面都有 4个顶点，所以阳马的个数为16个.故选D .D1B1Ci!IAi；Dj,6. C【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体

4、的体积V =1咒（1+2）2咒2=6 .故选C.7. B【解析】由题意可知，该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，则表面所有梯形之和为2咒(2 +4)x2 =12 .选B .3,高& B【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为为4的圆柱，其体积Vi =兀咒324 =36兀，上半部分是一个底面半径为 3，高为6的圆柱的一半,1其体积V2 =5咒（兀x 32x6）=27兀，故该组合体的体积 V =V, +V2 =36兀+ 27兀=63兀.故选B.解法二该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为-（兀 x32）x14=63江选 B .29. B【

5、解析】圆柱的轴截面如图，AC =1 , AB =丄，所以圆柱底面半径 r = BC = V32 2那么圆柱的体积是V52h*（）T=,故选B.10. A【解析】该几何体是由一个高为3的圆锥的一半，和高为 3的三棱锥组成（如图）选A.2X JI X12 X11. B【解析】借助正方体可知粗线部分为该几何体是四棱锥,高为1,1 1J 2其体积V1 =X12X1 =.设半球的半径为 R，则2R=V2，即R = 3321 4 兀42 3 42所以半球的体积 V2 =丄咒（丫2）3 =丝兀2 3261 42故该几何体的体积 V =V1+V2 = +兀.故选C.3 613. A【解析】由三视图可得此几何体

6、为一个球切割掉1-后剩下的几何体,8二28兀，所以3设球的半径为r，故7 X 4兀r3837 3表面积 S = x4兀r2 + jir2 =17兀，选 A.8 414. C【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r，周长为C ,圆锥母线长为丨，圆柱高为h .由图得r =2，c=2n=4n，由勾股定理得：I =J22 +(2丿3)=4，9I毎=n +ch+ cl =4n+16n+ 8n = 28 n,故选 C.215. B【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9,前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6,故面积都为18,左右两

7、个侧面是矩形，边长为3/5和3，故面积都为9J5，则该几何体的表面积为2(9+18+9 J5 )=54 + 18 J5 .16. C【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合,31232体积 v=2 +j2 r，故选 C.17. D【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为1所以该几何体的表面积是?X2兀x1x(1+2 ) + 2咒2 = 3江+4，故选D.18. A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体,11 11v=兀 x12x2 + X(-XX1X2)X1= + 选 A2323，19. D【解析】如图，设正方形的棱长为 1，则截取部分为三棱锥 A-

8、A1B1D1，其体积为1 ,65 1又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为-，故所求比值为 -6 520. B【解析】 在长、宽、高分别为 2、1、1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥P- ABC，表面积为 丄X1X2X2 +亟x(72)2X2 =2 +73 .2 421. A【解析】由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方x 2 h体底面对角线长为 2x，高为h，则由三角形相似可得，上，所以h = 2-2X ,1 2（0,1），长方体体积V长方体=ex)2h=2x2(2-2x) 2(x + x2-2x)31627当且仅当x=2 -2x，2 1 2即r时取等号，V

9、卄31316故材料利用率为旦8，选 A.22. B【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为2 2 2 2兀r +2兀r +4r +2兀r =20兀 +16，所以 r =2 .23. B【解析】如图,设辅助正方体的棱长为 4,三视图对应的多面体为三棱锥A - BCD，最长的棱为AD = J(4血)2 +22 =6，选 B .24. C【解析】原毛坯的体积 V =（兀咒32）6 =54兀，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积V+V2 =（兀咒22）咒4 + （兀天32）咒2 = 34兀,故所求比值为1 乂V 2725. A【解析】如图，将边长为 2的正方体截

10、去两个角, S汕6十1仆2严皿一21%26.A【解析】圆柱的正视图是矩形，.选A .27.D【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积S2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积,S3是三棱柱的一个底面的面积,S =S1 -S正方形+ S2 +2S3 +S斜面，其中S1是长方体的表面积,2可求得S =138(cm )，选D.28.C【解析】由题意可知 AD丄BC，由面面垂直的性质定理可得 AD丄平面DB1C1 ,又 AD = 2 sin 60 = ，所以 VA_B DC = AD S庄 DC = x 5/x x3 = 1 ,1 13132故选C.29.A【解析】圆柱的底面半径为

11、1,母线长为1, Sffi = 2花咒1咒1=2花.30.B【解析】直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1I的丄圆柱，所以该几何体431.的体积为23 -2 X兀X12 X2X1 =8-兀.4C【解析】由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1,其侧面积 S =2;rrh =2兀.32.B【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成.从上往下看,外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形.33.A【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个1 2长为4宽为2高为2长方体，故其体积为一兀x22x4 +4 X2X2

12、 =16 + 8花，故选A.234.A【解析】还原后的直观图是一个长宽高依次为10, 6 , 5的长方体上面是半径为 3高为2的半个圆柱.35.C【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为36.37.38.212r-22V =兀咒3 x5+-兀 x3 x75 -3 =57 兀32 1 2B【解析】由三视图可知该几何体的体积：V =兀咒1.2 + 咒兀x12x2 = 3 .2D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故侧视图可以为D .C【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图，所以该四棱柱的表面积S =2x1 咒(2 +4)4+4

13、x4 +2咒 4 枠 J1 +164 =48 +8/17 .39 .40.D【解析】选项 A正确， SD丄平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC丄SD.因为ABCD为正方形，所以 AC丄BD，而BD与SD相交，所以AC丄平面SBD，所以AC丄SB ;选项B正确，因为AB厂CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以 ABD平面SCD ;选项 C正确，设 AC与BD的交点为0 , 连结SO,则SA与平面SBD所成的角NASO , SC与平面SBD所成的角N CSO,易知这两个角相等；选项 D错误，AB与SC所成的角等于N SCD，而DC与SA所成的角等于NSAB，易知这两个角不

14、相等.C【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面41. B【解析】该几何体上半部是底面边长为4cm，高为 2cm，的正四棱柱，其体积为长方体的 4 个侧面积之和.S =2(10x8 + 10x2 + 8x2) +2(68+8咒2) = 360.34x4x2 =32(cm )；下半部分是上、下底面边长分别为4cm, 8cm，高为2cm的正四1224224 320棱台，其体积为-x(16+4x8+64)x2=，故其总体积为32 +=3 333142. 12【解析】连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的1中点，所以EH / AC

15、, EH =AC，因为F , G分别为BJ , BC的中点,21所以 FG / AC , FG = AC ,所以 EH / FG , EH = FG ,所以四边形 EHGF 为2平行四边形，又 EG = HF , EH =HG，所以四边形 EHGF为正方形，又点 M到平面EHGF的距离为-，所以四棱锥 M -EFGH的体积为丄咒(c-=丄2 3221243. 4【解析】正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正3八面体的所有棱长都是返，则该正八面体的体积为3“问2x2W.44. 4 J15【解析】如图连接 OE交AC于G ,由题意OE丄AC ,设等边三角形 ABC的3

16、J3边长为 x ( 0x0, h(x)单调递增;当 x(4s/3,5)时，h(x)v0，h(x)单调递减,所以x=4V3是h(x)取得最大值h(4j3) =(4j3)4所以Vmax =竽丽乎UM4晁.45.9n【解析】设正方体边长为 a，由6a2 =18，得a2 =3 ,2冗.2外接球直径为2R=/3a=3 , v=- 7R3=- n召 93 3846.2 +2【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半n 1248.2【解析】根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m，高为1m的平行四边形，四49.50.51.1 3棱锥的高为3m，故其体积为32沖3=2(

17、也.8兀【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为3端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积2 1 2 8V=1 x；ix2+2x x1 x；ix1=_；i3312【解析】由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为1，高为2的圆柱，两则6咒f席咒，二23，解得z，底面正六边形的中心到其边的距离为75,故侧面等腰三角形底边上的高为贰2，该六棱锥的侧面积为三“2,2 .2逅【解析】由题意可知直观图如图所示，结合三视图有PA丄平面 ABC , PA=2 ,径为 1,所以 V =2x1x1 +2咒二咒1 =2 + -.4 23【解析】设球的半径为 r，则vl_ZL2LV22AB

18、 =BC =72 , CA = 2，所以 PB = JpA2 + AB2242.PC = JPA2 +AC2 =22 ,三棱锥最长棱的棱长为C352.I【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r1,r2，母线长分别是1(2.2兀 r14 = 2兀 r2l2,S9r3则由巴=，可得 丄=又两个圆柱的侧面积相等，即S24r22则d =I253.【解析】设正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为直径，即J3a =2r，即球半径ra .若球的体积为茅即3時a）354. 1: 24【解析】三棱锥 F -ADE与三棱锥A ABC的相似比为1： 2,故体积之比为1： 8 .又因三棱锥 Ai - ABC与三棱柱

19、 ABjC.-ABC的体积之比为1: 3.所以，三棱锥 F - ADE与三棱柱 ABjG - ABC的体积之比为1： 24.111111另：=評站=孑訐人亡6=諾2，所以心2=刃55. 38【解析】由三视图知，此几何体为一个长为4,宽为3，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为 2 X （4天3+4天1+3咒1 ）+2兀-2兀=38.56. 92【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱几何体的表面积是S =2咒(2 +5)x4+(2+5 + 4 +“ +(5-2)2)x4 = 92 .57.亦【解析】V PA % =3 3 1 2 2 sin6，答案应填73 .13

20、58.-【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的，得316兀r24兀R2=，所以，贝y16R 2R3R1小圆锥的高为 R，大圆锥的高为，所以比值为122359.【解析】（1）证明：PD丄平面ABCD,PDUPCD, 平面PCD丄平面ABCD ,平面 PCDfl 平面 ABCD =CD，MDU 平面 ABCD，MD 丄 CD , MD丄平面PCD ,CF U 平面 P CD,二 CF 丄 MD,又 CF 丄 MF ,MD,MF 匸平面 MDF ,MDMF =M , CF 丄平面 MDF .(n) ； CF 丄平面MDF/CF 丄 DF ,又易知 NpCD = 60 aN CDF = 30,从而 c

21、f = 2cd=2,7 EF/ DC,/.DE CF,即 DE1=12， depM4MD = JmE2 -DE2 =JPE2 -DE211 73 767238216VM _CDE =- SDE MD =360.【解析】(I)由已知得 AABC三ADBC，因此AC = DC，又G为AD的中点,CG丄AD ；同理BG丄AD ；因此AD丄平面BCG,又EF / AD,； EF丄平面BCG .C(n)在平面 ABC内，做A0丄CB，交CB的延长线于0，由平面ABC丄平面BCD ,知A0丄平面BCD，又G为AD的中点，因此G到平面BCD的距离h是A0的一半,在 M0B 中，A0 =AB sin60亠/3

22、，所以 Vdcg 二Vgcd = g伽bg % h 弓 61.【解析】(I)连结ACi，交AC于点0,连结DO,则0为ACi的中点，因为D为AB的中点，所以 0D / BC1，又因为0DU平面A1CD ,平面A1CD ,所以BC, /平面ACD ；(n)由题意知 CD丄平面ABB1A .再由 AAACCBZ , AB=2G得NACB =90, CD =72 , ad =5/6 , DE =73 , AE=3 .,2 丄22,故 AiD +DE =AiE ，即 DE 丄 AD1 1所以 Vc _a1DE= X X 宾 X 晅X 返=1 .3 262.【解析】(I)证明：连接 AC,交于BD于0点，连接 P0.因为底面 ABCD是菱形，所以AC 丄 BD,BO =DO ,由 PB =PD 知，P0 丄