专题椭圆的离心率解法大全

1、,利用定义求椭圆的离心率1,已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍,专题：椭圆的离心率-或e2a则椭圆的离心率 e22,椭圆42J 1的离心率为m解析当焦点在x轴上时,v4m2m 3 ；当焦点在y轴上时，二4Jm16m 3综上m 16或33,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2x4,已知m,n,m+n成等差数列，m, n, mn成等比数列，则椭圆 一m2J 1的离心率为n2n解析由n22m2m nmn2，椭圆-4m2yn1的离心率为1 25, 已知12m nx26, 设椭圆一2a1(m0.n0)则当mn取得最小值时，椭圆2x2m2y2n1的的离心率为丄32(a b 0)的右焦

2、点为Fi,右准线为l勺，若过F且垂直于x轴的弦的长等于点 Fi到I 1的距离，则椭圆的离心率是1。2，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率1,在 Rt ABC 中， A 90 , AB AC 1 ,如果一个椭圆过 AB两点,它的一个焦点为C另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率e J6 J32,如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点()则椭圆的离心率为解析b (-)a c3,以椭圆的右焦点,直线AB1与BF交于D,且BDB190 ,兵12F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于2 21 a c acN两点，椭圆的左焦点为F1,直线MF与圆相切，则椭圆的离心率是 J31变式(

3、1):以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心I MFI = I MO，则椭圆的离心率是2 2X y4,椭圆 尹 + -=1(ab 0)的两焦点为椭圆的离心率e?J3 1Fi、F2，以F1F2为边作正三角形,O并且与椭圆交于M N两点，如果若椭圆恰好平分正三角形的两边，则/3cc+解：| F1F2 | =2c| BF1 | =c | BF2 |22Xy变式(1):椭圆+ L=1(ab 0)的两焦点为 F1、 ab解：连接 PF2 ,贝,OF | = | OF | = | OPI , / F1PF2 =902 2XV变式(2) 椭圆 + -=1(ab 0)的两焦点为F1、 a bPF

4、2 / AB,求椭圆离心率？b2PF1 | =| F2 F1 | =2c | OB I =b | OA | =a a=並e 5将上题中的条件“ PF2 / AB”变换为“ PO /2.2 a =5c变式(3):寸3c=2a - e= F2，点P在椭圆上，使OPF为正三角形，求椭圆离心率?图形如上图，e3-1F2 , AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且 PF丄X轴,PF 2 / AB 晋+=卫| F2 F1 | aAB (O为坐标原点)”2 2Xy相似题：椭圆厂+=1(ab 0) , A是左顶点，F是右焦点，a b解 ：| AO I =a | OF I =c | BF| =a | AB | a

5、2+b2a2+b2+a2 =(a+c) 2 =a2+2ac+c2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以 a2B是短轴的一个顶点，/ ABF=90，求e?2+e-1=0 e= -1 + y5 e= 护(舍去)X2y2-1 + /5变式(1)：椭圆訂 +*丁 =1(ab 0) , e=一, A 是左顶点，点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案: 引申：此类二“号1的椭圆为优美椭圆。性质：(1)/ ABF=90(2) 假设下端点为 B ,则ABFB四点共圆。(3) 焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。2 2 变式(2):椭圆X- 与 1(ab0)的四个顶

6、点为 A、B C、a2 b2V5 1椭圆的离心率e = .2F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求/ ABF?90D若四边形 ABCD勺内切圆恰好过椭圆的焦点，则提示：内切圆的圆心即原点，半径等于C,又等于直角三角形但r CAOB斜边上的高，由面积得：ab r J a2 b2 ,2 24,设椭圆筈与1( a b 0)的左、右焦点分别为 Fp F2 , a b的取值范围。如果椭圆上存在点 P,使 F1PF2 90，求离心率e解：设 P x,y , F1c,0 , F2 c,0法1:利用椭圆范围。由 FiP F2P得x2y2 c2，将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得x22 2 Z 2 a c a

7、 b2 ab22/2 2 a (c a )2 。e由椭圆的性质知0X2 a2，得以e 呼,1)。附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围(与法1类似)法2:判别式法。由椭圆定义知 |PFj |PF2| 2a |PFj2 |PF2I2 2|PFjPF2I24a，又因为FiPF90可得 |PFi |2 |PF2|2|FiF2 |2 4c2，则 |P Fi| PF2| 2(a22、 OU 2c ) 2b ,PFi，PF2是方程2 2z 2az 2b 0的两个根，则4a28(a2c2)e22 c2 ae 2解法3：正弦定理设记 PFi F2PF2 Fi，由正弦定理有|PFi | |PF2|IF1F2

8、I|P Fi| | PF2|sin sinsin 90sin sin|FiF2|又因为| Ph | PF2 |2a,|FiF2| 2c,且90sin1sin所以解法5：4a22得c.a解法6：则返 sin( -)1 , 124利用基本不等式由椭圆定义，有22|PFi| |PF2|2|PFi| PF2|巧用图形的几何特性由 F1PF290，知点P在以|Fi F2|2a |PFi| |PF2|平方后得2 22(| PFi| |PF2| )2c为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P,故有c2 2X y 变式(1):圆0 +bL=1(ab 0)的两焦点为 F1点，且/ PFiF2 =5

9、 / PF2F1 ,求椭圆的离心率 e分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。“宀T甲I F1F2II F1PI解：由正弦疋理：.=.匚匚Dsin F iPHsin F 1F2P(-C, 0 )、PF2根据和比性质:22|FiF2|8c2b c2 b2a2c2F2(c,0) , P是以I FiF2 I为直径的圆与椭圆的一个交sin PFF2I F1F2 Isin F 1PF!I FiP I + I PF2 IsinF 1F2P+si n PF 1F2变形得:sin F 1PF2/ PFiF2 =75/ PF2F1 =15e=sin90 sin75 +sin15点评：在焦点三角形中，使用第一

10、定义和正弦定理可知I F1F2 II PF I + I F1P I sin F 1F2P +sin PF 1F2 =更3sin F 1PF22c =e 2ae=sin F 1F2 P +sin PF 1F22 2x y变式(2):椭圆L + 土L=1(ab 0)的两焦点为F1 (-c , 0)、F2 (c,0) , P是椭圆上一点，且/ a b椭圆离心率e的取值范围？分析：上题公式直接应用。F1PF2 =60 ，求解：设/ FiF2P=a，则/F2F1 P=120 - asin F 1PF2sin 60e= =sin F 1F2P +sin PF 1F2sin a +sin(120 - a )

11、1 1 2sin( a +30 ) X 21二产 e1变式：2过椭圆务a2令 1(a b0)的左焦点Fi作x轴的垂线交椭圆于点P , F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率e的值解析：因为b2P( c,)，再由aF1PF260o有空2a,从而得e -aa 3变式：若A,B为椭圆2 x2 a2白1(ab 0)的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使 AQB1200,求此椭圆离心率的最小值。1变式(5):8、椭圆2x2a0上一点A关于原点的对称点为B, F为其右焦点，若AF BF，设ABF，且再4 ,则椭圆的离心率的取值范围为解析：设F为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形AFBF为平行四边

12、形且为矩形,AB 2c,AF 2csin , BF2ccos , 2csin2ccos 2a ,所以sincossin,-得亜12426,如图，在平面直角坐标系2x xoy 中, A1, A2,B1,B2为椭圆二a2yb21(ab 0)的四个顶点,F为其右焦点，直线A,B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段椭圆的离心率为直线A1B2的方程为 -1，直线B1F的方程为- 过a b1，两式联立得T的坐标a c2ac b(a c)所以中点M的坐标为Yb(a c)，因为点 a c 2(a c)M在椭圆上,代人方程得 4c2 (a c)24 a0,1 所以 e 2j7 5e210e2

13、x7,椭圆 a的取值范围？分析： MF MF =0 以F1F2为直径作圆，M在圆 解： c2c 2 0eb 0)的两焦点为 F1(-c ,b0)、F2 (c,0)，满足mfMF =0的点M总在椭圆内部,如图所示,画图可知点M的轨迹是以Jb,故7O上，与椭圆没有交点。FiF2为直径的圆，则它在椭圆内部c bc2.2 2 2 b a c,Q02x8,椭圆一2a2+ yb=1(ab 0)的两焦点为F1恰过F2点，求e的取值范围？分析：思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直, 思路2:根据图形中的边长之间的不等关系，求0)、F2 (c,0)，P为右准线2aL: x=上一点，F1 P的垂直平分线c

14、解法一：F1 (-c , 0) F 2 (c,0) P(2a,y 0 ) M(c找e2a-c c2a、b、c的不等关系。.2 既(药少) 矗=-(2-02a(-+c) (则 PR =-(2a严,y0 )2PF1 -MF =0( 一+c,cyo)b22y 022才=0a2-3c w 02b2 yo h 22 a 则 2c -c c2 a 一 c2a=2c I PE I一-ccJ3 则专w eb 0），过左焦点椭圆的离心率e的值解：设I BF1 I =m 贝,AF2 I =2a-am |，设ADFi2c,则EA J3c, ED c，由椭圆定义,-43 11且倾斜角为60的直线交椭圆与 AB两点，若

15、IFiA| =2 I BFi I ,求在 AFF2 及 BF1F2 中,练习题：由余弦定理得:I =2a-m-c =m(2a-c)2 2、BFa2 a2(a 2-c 2)=m(2a+c)2ac 1两式相除：=22e=32詁1(ab 0）上有一点Fi, F2是椭圆的两个焦点,MFMF22b2，求椭圆的离心率.解析：由椭圆的定义，可得 MFMF22a 又 MFMF222b ,所以MFMF2是方程2x 2ax2 22b 0的两根，由 （2a）24 2b20,可得a2b2,2 2 2即a 2(c a )所以所以椭圆离心率的取值范围是% ,1）232,在 ABC 中，A 90, tanB .若以 A,4

16、ABB为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率解析AB 4k, AC 3k, BC 5k,eAC BC3,已知F1,F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点，若 为 _.解析爲1三角形三边的比是1:J3:2丄2PF1 F2 :PF2F1 :F1PF21:2:3,贝毗椭圆的离心率4,在平面直角坐标系中，椭圆2 2x y,T 721( a ba b0）的焦距为2 a 2，以O为圆心，a为半径的圆，过点,0c作圆的两切线互相垂直,2解析王 J2ac则离心率-晅25,在ABC 中,300,|AB| 2, S ABC 託.若以 AB为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率【解题思路】由条件知三角形可解，然后用

17、定义即可求出离心率1Sabc ?|AB| AC |si nA 吴|AC| 2J3|BC|J|AB|2 |AC |2 2| AB| |AC|cosA 2|AB| AC| |BC| 243 226，已知椭圆ya2 b221(a b则该椭圆的离心率的取值范围为解析PFi即 |pf2|0）的左、右焦点分别为PF2在pF1F2中，由正弦定理得sinpF1F2cPF2，由椭圆的定义知a2，由解法三知cc a2II2 a27,已知椭圆M :笃a2十1(a的最大值的取值范围是22c ,3c解析:设P Xo,yo2Xo2yopo3c2F1c,0 , F2 c,0，若椭圆上存在一点 P使sin PRF2asin PF2F1 cPFisin PF2F1，则由已知，得a PF21PF212a，0）的左、右焦点分别为Fi c,0 , F2，其中cULUr ULUU，则 PF1gPF2caPF2椭圆的离心率c一，即 aPF1 CPF2，PF1e72 1,1 ouur uuuuc,0 , P为椭圆M上任意一点，且PF1gPF2Ja2 b2，则该椭圆