培优专题5代数式的化简和求值-

1、培优专题5代数式的化简和求值用数值代替代数式里的字母，按照代数式里指明的运算计算出的结果，就叫代数式的 值，经常利用代数式的值进行比较、推断代数式所反映的规律.在求代数式的值时，我们经常先将代数式化简，再代入数值计算，从而到达简化计算 的目的在化简代数式时常用到去括号法则、合并同类项法则、绝对值的意义及分类讨论 的思想等.例1 已知x-3，化简丨3+丨2-| 1+x | | 分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可以从里到外一层一层地去绝对值符 号.解：x-31+x0 , 3+x0原式=:| 3+| 2+ (1+x )|=:| 3+| 3+x | |=:| 3-(3+x) |=-x=-x .练

2、习1223 21 .化简：3x y-2xy -2 (xy- x y) +xy+3xy22 .当x-2时，化简匚丄凶2 x3 .化简：|3x+1 | + | 2x-155432例 2 设(2x-1 ) =a 5x+a4x+a 3 x+a2 x+aix+ao,求：(1) ai+a2+a 3+a4+a5+a6 的值； (2) ao-a i+a2-a3+a4-a5 的值； (3) ao+a2+a4 的值.分析可以取x的特殊值.解：(1 )当x=1时，等式左边=(2 X1-1 ) =1 ,等式右边 =a5+a4+a3+a 2+a1+a,ao+a 1+a2+a3+a4+a5=1 .(2 )当 x=-1 时

3、，5等式左边=2 X(-1 ) -1 =-243 ,等式右边=-a 5+a 4-a 3+a2-a 1+a 0-ao-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5=-243 .(3 +得，2ao+2a2+2a2=-242 .-ao+a 2+a 4=-121 .练习2331. 当x=2时，代数式ax -bx+1的值等于-17，那么当x=-1时，代数式12ax-3bx -5的值等于987654322 .某同学求代数式 1ox +9x +8x +7x +6x +5x +4x +3x +2x+1，当 x=-1 时的值时，该生由于将式子中某一项前的“ + ”号误看成“一”号，算得代数式的值为 7,那么这位同 学

4、看错了几次项前的符号？7533 .已知 y=ax +bx +cx +dx+e，其中 a、b、c、d、e 为常数，当 x=2 时，y=23 ;当 x=-2时，y=-35 ;那么e的值为().A. -6B. 6C. -12D. 12若一x -，求 x+y+z 的值.a b b c c a分析对于连等我们常设它们的比值为k,或用其中一个表示数的字母把其它的数表示出来.设亠a b即 x=ka-kb ,=k，则:ax=k (a-b ) , y=k (b-c ) , z=k (c-a )y=kb-kc,z=kc-kax+y+z=O练习31.已知2 .已知a=3b ,c=5a ,c的值.b c3 .已知1

5、1-=2 ,x y求3x 5xy 3y的值.x 3xy yb c c a a b例 4 若 a+b+c=0，且=0 ,a b cbc b c ca c a ab a b ”的值.求jc 分析先代入使2 2 2 2c aa ba+b+c=O、= 0 成立的 a、b、c 的特殊值，如 a=b=1 , c=-2可求得所求代数式的值为o,给出求值方向.下面我们来说明所求代数式的值为0.解：由：a+b+c=0，两边同乘以abc，得：2 2 2a bc+ab c+abc =0b c c a a b由=0 ,两边同乘以abc,得：abcbc (b-c ) +ac (c-a ) +ab (a-b ) =0 ,

6、2 2 2即 a (b-c ) +b (c-a ) +c (a-b ) =0 .2 2 2 + 得：a (bc+b-c ) +b (ac+c-a ) +c (ab+a-b ) =02 2 2两边同除以abc得：bc b c ca caab a b 门2 2 2 2 b cc aa2b2原式的值为0.练习41 .已知(x-3 ) 2+ |n-2| =0 ,求代数式n1n-13x + x -331n-1(x + x -3 )的值3(B-A ) .2 2 2 22 .已知 A=3x -9xy+y , B=3x -9xy-y，化简：2A-3B-A+2ax 33 如果无论x取什么值，代数式（分母不为零）

7、都得到同样的值，那么bx 4b?应满足什么条件？例5 已知三个正数 a、b、c满足abc=1 ,求ab a 1 bc b 1 ac c 1的值.分析 本题若直接通分，计算较复杂，考虑到abc=1，可将原式第二个分式的分子、分母同乘以a,第三个分式的分子、分母同乘以ab,达到通分的目的.解：原式=aab aab+ 1 abc ababca2bc abc aba+ab1aba1 1ab a a 1 abaab1 =1.aba1练习51 .若 a、b为正数，且ab=1，求丘代的值.2 .已知a+丄=1 ,b1b+ =1 ,c求c+ 1的值.a3 .若b、c、ad是四个正数，且 abcd=1 ,bab

8、c ab a 1 bcd bc b 1 cda cd c 1 dab da d 1的值.原式=1 .13 .当x 时，原式=-5x3用零点区间讨论法：由 3x+ 仁0、2x-1=0得零点,x=-数轴分为三部分，即x ，这样就可以分类讨论化简原式了.2?可把答案：练习121. xy +xy .2 2 2 2 2 2 2 2 2原式=3x y-2xy -2xy+3x y+xy+3xy =3x y-2xy +2xy-3x y-xy+3xy =xy +xy .2. 1| + | 1-x 丨丨(因为 1-x0 )=| 1+1-x |=| 2-x | (因为 2-x0 )=2-x当1 1时，原式=5x .

9、3(3x+1)-( 2x-1)=-5x ;1 1当-一 x时，原式=(3x+1 ) - (2x-1 ) =x+2 ;321当 x一时，原式=(3x+1 ) + (2x-1 ) =5x .2练习21. 22 .当 x=2 时，8a-2b+ 仁-17 ，即 4a-b=-9 ;当 x=-1 时，-12a+3b-5=-3(4a-b ) -5=-3 x(-9 ) -5=22 .2. 5.设看错的是x的n次项前的符号，那么他计算的代数式实际是98n .、.一10x +9x + +2x+1-2(n+1 ) x，由题意得:98n10 x(-1 ) +9 x(-1 ) + -+2 x(-1 ) +1-2 (n+

10、1 )( -1 ) =7 , 即(n+1 )( -1 ) n=-6 .n=5 .7533. A .当 x=2 时，2 a+2 b+2 c+2d+e=23753当 x=-2 时，-2 a-2 b-2 c-2d+e=-35 + 得 2e=-12 , e=-6 .选 A.练习31丄或-1 设亠亠=k，则:2 y z x z x y+得：x+y+z=2k(x+y+z ),( x+y+z )(2k-1 ) =0 .xx时，1“ x1当 x+y+z=0 时，=-1 ,当2k-仁0k=,即一y zx2y z219代入原式，原式 3bb 15b19b 2.-.c=5a=15b，把 a=3b , c=15b11

11、3bb 15b11b113.-.由一-=2，知 y-x=2xy，故原式(yx)5xy6xy5xy 115x y(yx)3xy2xy3xy5x=k (y+z )；y=k (x+z )；z=k (x+y ).1911练习41. 3 由题意知x=3 , n=2 .n 1n-131n-1n 323原式=3x + x -x - x +3=3x -x +3=3 X3 -3 +3=3 .3 322. 2y .原式=2A-3B-A+2B-2A=2A-3B-A-2B+2A=2A-3B+A+2B-2A=A-B2 2 / 2 2、=3x -9xy+y - (3x -9xy-y ) =2y4a=3b .因不论x取什么值，代数式ax 4的值都相同，ax 3所以我们可以取x=0,得：严bx3即不论x取什么值，该代数式的值都为再取x=1 ,得bxax 334故 4a=3b .练习5.1. 1 .由 ab=1得,1a=,b1 b+= + =1 .b 1 b 1 b 1片1b 12. 1 .由题意知a=1-=，b b1 1 1 =1-b ，c= =- c1b b 11