雅可比矩阵PPT课件

1、第二章第二章 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学 机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系，目的 是对机器人进行控制、优化设计和仿真。机器人动力学主要 解决动力学正问题和逆问题两类问题：动力学正问题是根 据各关节的驱动力(或力矩)，求解机器人的运动(关节位移、 速度和加速度)，主要用于机器人的仿真；动力学逆问题是已 知机器人关节的位移、速度和加速度，求解所需要的关节力 (或力矩)，是实时控制的需要。 2.1 机器人雅可比矩阵机器人雅可比矩阵 机器人雅可比矩阵(简称雅可比)揭示了操作空间与关节空 间的映射关系。雅可比不仅表示操作空间与关节空间的 速度映射关系，也表示二者之间力的传

2、递关系，为确定 机器人的静态关节力矩以及不同坐标系间速度、加速度 和静力的变换提供了便捷的方法。 2.1.1 机器人雅可比的定义机器人雅可比的定义 在机器人学中，雅可比是一个把关节速度向量 变换为手爪 相对基坐标的广义速度向量v的变换矩阵。 雅可比矩阵关节坐标的表示： 微元运动 线性 dq= dq1，dq2, dqnT 机器人末端在操作空间的位置和方位: X=X(q)， 操作空间的微小运动 :dX=dX，dY，dZ，DX，DY，DZT n自由度机器人速度雅可比 矩阵 直接微分法求解雅可比矩阵： m为要描述的平动或者转动投影分量数(比如绕三个坐标轴转动在xyz上投影 对应m=9，三个)，x1到x

3、m中可能包括平动也可能包括转动，n为关节数，通 常也为自由度数。 斯坦福机械手雅可比矩阵示例： Xp为坐标原点，r1,r2,r3表示为坐标轴的单位向量的方向余弦： 斯坦福机械手位置雅可比矩阵的求解： 斯坦福机械手姿态雅可比矩阵的求解： 斯坦福机械手姿态雅可比矩阵的求解： 2.1.2 机器人速度分析机器人速度分析 利用机器人速度雅可比可对机器人进行速度分析。 对式(2.7)左、右两边各除以dt得 式中：v为机器人末端在操作空间中的广义速度； q dot 为机器人关节在关节空间中的关节速度 J(q)为确定关节空间速度q dot与操作空间速度v之间 关系的雅可比矩阵 刚体广义速度雅可比矩阵的表示：

4、机械手的笛卡儿空间运动速度与关节空间运动速度之间的变换称 之为雅可比矩阵。关节空间向笛卡儿空间速度的传动比。 设x为表示机械手末端位姿的广义位置矢量， q为机械手的关节坐标矢量 00 0 1 limlim lim( )( ) tt t vdd xDx t wt DJ q q tJ q dq D D D D D D 111211 212222 31323 41424 515251 61626 n n n n nn nn JJJq JJJq JJJv JJJw JJJq JJJq 刚体广义速度雅可比矩阵的表示： 平行移动情况下的速度分解： 旋转运动情况下的速度分解： 矢量叉积的矩阵表示： 旋转和平

5、移同时进行： 旋转和平移同时进行： 速度的传递： 速度传递法求解平面速度雅可比矩阵例题1： 速度传递法求解平面速度雅可比矩阵例题1： 矢量积法求解广义速度雅可比矩阵 矢量积法求解广义速度雅可比矩阵 矢量积法求解广义速度雅可比矩阵 x0 y0 z0 i zi ii q z n i p zi是坐标系i的z轴在基坐标系o中的表示。 , 00 ii ii vzz qJ w 00 , ii inin ii ii vzpzp qJ wzz 0, i dz qdt 0 1 lim t vd wt D D 对于移动关节，有： 对于转动关节，有： 是 在在基坐标系o中的表示。 0i n p i n p 基坐标系

6、 斯坦福机械手速度雅可比矩阵的求解 斯坦福机械手广义速度雅可比矩阵的求解 教材例题2.1：逆雅可比矩阵的示例： 例2.1 如图2.2所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正 向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时1=30， 2=60，求相应瞬时的关节速度。 解 由式(2.6)知，二自由度机械手速度雅可比为 因此，逆雅可比为 2.1.3 机器人雅可比讨论机器人雅可比讨论 机器人的奇异形位分为两类： (1) 边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折 回时，使手部处于机器人工作空间的边界上或边界附 近，出现逆雅可比奇异，机器人运动受到物理结构的 约束。这时相应的

7、机器人形位叫做边界奇异形位。 (2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重合时， 机器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动。这时 相应的机器人形位叫做内部奇异形位。 机器人的奇异点讨论： 斯坦福机械手的运动学奇点： 斯坦福机械手的运动学奇点示例 （讨论theta 5=0的特殊情况） （theta 5=0时两轴线重合） 通过雅可比矩阵求解平面机械手的奇点分析示例： 通过雅可比矩阵对斯坦福机械手的奇点分析说明： 2.2 机器人静力分析机器人静力分析 机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的力和 力矩。机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩，通过连 杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。关

8、节驱动力 和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系是机器人操 作臂力控制的基础。 2.2.1 操作臂力和力矩的平衡操作臂力和力矩的平衡 图2.3所示，杆i通过关节i和i+1分别与杆i1和i+1相连接，建立 两个坐标系i1和i。 定义如下变量： fi1，i及ni1，ii1杆通过关节i作用在i杆上的力和力矩； fi，i+1及ni，i+1 i杆通过关节i+1作用在i+1杆上的力和力矩； fi，i+1及ni，i+1i+1杆通过关节i+1作用在i杆上的反作用力和 反作用力矩； fn，n+1及nn，n+1机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩； fn，n+1及nn，n+1外界环境对机器人最末杆的作用力和力

9、矩； f0，1及n0，1机器人机座对杆1的作用力和力矩； mig连杆i的重量，作用在质心Ci上。 2.2.2 机器人力雅可比矩阵机器人力雅可比矩阵 为了便于表示机器人手部端点的力和力矩(简称为端点广义力广义力F )， 可将 fn，n+1和nn，n+1合并写成一个6维矢量 各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n维矢量的形式，即 n为关节的个数；为关节力矩(或关节力) 矢量，简称广义关节力矩。对于转动关 节，i表示关节驱动力矩；对于移动关 节，i表示关节驱动力。 利用虚功原理推导机器人手部端点力F与关节力矩的关系。 关节虚位移为qi，末端执行器的虚位移为X， 式中：d=dX，dY，dZT、=jX，

10、jY，jZT分别对应于末端执 行器的线虚位移和角虚位移；q为由各关节虚位移qi组成的机器 人关节虚位移矢量。 假设发生上述虚位移时，各关节力矩为i(i=1，2, n)，环境作 用在机器人手部端点上的力和力矩分别为fn，n+1和nn，n+1。 由上述力和力矩所作的虚功可以由下式求出： 或写成 根据虚位移原理，机器人处于平衡状态的充分必要条件是对任意 符合几何约束的虚位移有W=0，并注意到虚位移q和X之间符合 杆件的几何约束条件。利用式X=Jq，将式(2.18)写成 式中：q表示从几何结构上允许位移的关节独立变量。对 任意的q，欲使 W=0成立，必有 式(2.20)表示了在静态平衡状态下，手部端点

11、力F和广义关节 力矩之间的线性映射关系。式(2.20)中JT与手部端点力F和广 义关节力矩之间的力传递有关，称为机器人力雅可比。显然， 机器人力雅可比JT是速度雅可比J的转置矩阵。 对力雅可比矩阵的补充说明： 虚功方程力雅可比分析： 2.2.3 机器人静力计算机器人静力计算 机器人操作臂静力计算可分为两类问题： (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，(即手部端点力 F-F)，利用式(2.20)求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力 矩。 (2) 已知关节驱动力矩，确定机器人手部对外界环境的作用 力或负载的 质量。 第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为 例2.2 图2.5所示为一个二

12、自由度平面关节机械手，已知手部端点 力F=FX，FYT，忽略摩擦，求1=0、2=90时的关节力矩。 力雅可比矩阵在奇点的情况： 练习 1. 分析下图 RRRR 机械手 其正向变换矩阵和转动 雅可比矩阵如下: (a)求解当各个关节坐标为q = 0, 900,900, 0 T的时候，相对于 基坐标系的雅可比矩阵 Jo. (b) 一个作用在坐标系 4 上的力 0, 6, 0, 7, 0, 8T . 在 (a)中所描 述的位置, 计算用于平衡的关节力矩 0 4 222 (90) ( 90)(90) ( 90)(90) ( 90)(90) ( 90)(90)2 (90) ( 90)(90)( ( 90)

13、 1)(90) 222 222 (90) ( 90)(90) ( 90)(90) ( 90)(90) ( 90)(90)2 (90) ( 90)(90)( ( 90) 1)(90) 222 22 ( 90)( 22 ccsscsscsccssc sccssscccsccss T sc 2 90)( 90) 1 2 0001 s 0 4 22 02 22 0101 22 00 22 0001 T 将一个矢量变换到某一个参考系，所做的是 旋转变换（没有平移部分）故： 0 4 0 04 4 0 4 22 0 22 010 22 0 22 0 0 6 6 0 00 15 2 70 2 00 8 2 2

14、 R R F R 2. You are given that a certain RPR manipulator has the following transformation matrices, where E is the frame of the end ffector. Derive the basic Jacobian relating joint velocities to the end-effectors linear and angular velocities in frame 0. 3. Consider the planar PR manipulator shown

15、here: (a) Find the origin of frame 3 expressed in terms of frame 0, that is 0P3org. (b) Give the 2 2 Jacobian that relates the joint velocities to the linear velocity of 0P3org. (c) For what joint values is the manipulator at a singularity? What motion is restricted at this singularity? 2.3 机器人动力学方程

16、机器人动力学方程 机器人动力学的研究有牛顿-欧拉(Newton-Euler) 法、拉格 朗日(Langrange)法、高斯(Gauss)法、凯恩(Kane)法及罗伯 逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg) 法等。本节介绍动力学研 究常用的牛顿-欧拉方程和拉格朗日方程。 68 1 m g A B 2 m g M O 3 m g F 1 m g A B 2 m g M O 3 m g 问题问题1：系统在图示位系统在图示位 置平衡，用什么方法求置平衡，用什么方法求 F与与M的关系？的关系？ 问题问题2：系统中系统中OA杆匀杆匀 角速转动，求在图示位角速转动，求在图示位 时，力偶时，力偶M

17、的大小用什的大小用什 么方法？么方法？ 问题的引出问题的引出 动力学普遍方程 的补充： 设：设：质点系中第质点系中第i个质点的质量为个质点的质量为mi;作用在其上的主动力作用在其上的主动力Fi; 约束力约束力FNi. 质点的惯性力为质点的惯性力为FIi 应用达朗贝尔原理：应用达朗贝尔原理： NI ,(1, ) iii inFFF0 NI 1 ()0 n iiii i W FFFr 应用虚位移原理：应用虚位移原理： 若质点系所受的若质点系所受的 约束为理想约束约束为理想约束 N 1 0 n ii i Fr IN 11 ()0 nn iiiii ii FFrFr I 1 ()0 n iii i F

18、Fr 动力学普遍方程动力学普遍方程 其中：其中： Iiii mFa 111 ()()()0 nnn ixiixiiyiiyiiziizi iii Fm axFm ayFm az NI ()0,(1, ) iiii inFFFr iixiyiz iiii iiii FFF mxmymz xyz Fijk Fijk rijk 拉格朗日方程拉格朗日方程 1 d ()0 d n iiiij i jj TT mQ tqq Far (1, )jk 设：具有完整理想约束的非自由质点系有设：具有完整理想约束的非自由质点系有 k 个自由度个自由度 系统的广义坐标为：系统的广义坐标为： 12 , k qqq T

19、为系统的动能，一般情况下动能可表示成：为系统的动能，一般情况下动能可表示成： 11 ( ,) kk TT qq qq j Q为对应于广义坐标 为对应于广义坐标 j q的广义力的广义力 11 1 () n jjkk i QqQqQqW i F 拉格朗日方程几种形式拉格朗日方程几种形式 (1,2, )jk 1、当主动力均为有势力时、当主动力均为有势力时 d d j jj TT Q tqq 1 ( ,) k j j V qq Q q 设：设：LT-V （拉格朗日函数拉格朗日函数 或者称为或者称为动势动势） 2、当主动力部分为有势力时、当主动力部分为有势力时 1 ( ,) k jj j V qq QQ

20、 q d d jjj TTV tqqq d() 0 d jj TTV tqq d 0 d jj LL tqq d d j jj LL Q tqq 2 1222 2 222 ()cossin( ) 1 (2 )cossin0 3 mmxm Lm LkxF t mLm Lxm gL 拉格朗日方程为拉格朗日方程为2 2阶阶k k维常微分方程组维常微分方程组 x 1 m g 2 m g A B 0 l ( ) tF k x 1 () k x i QxQW i F ( ) x QF t 0Q d d j jj LL Q tqq 222 1222 12 ()cos 23 LTVmm xm xLm L 2

21、2 1 (1 cos ) 2 m gLkx 73 动力学的基本方法动力学的基本方法 牛顿定律牛顿定律 动量定理动量定理 动量矩定理动量矩定理 动能定理动能定理 达朗贝尔原理达朗贝尔原理/动静法动静法 虚位移原理虚位移原理 动力学普遍方程和拉格朗日方程动力学普遍方程和拉格朗日方程 d d j jj LL Q tqq (1, )jk Manipulator rigid-body dynamics 机械手关节空间动力学方程：机械手关节空间动力学方程： The equations may be derived via a number of techniques, including Lagrangi

22、an (energy based), Newton-Euler, dAlembert2, 12 or Kanes13 method. The earliest reported work was by Uicker14 and Kahn15 using the Lagrangian approach. Due to the enormous computational cost of this approach it was not possible to compute manipulator torque for real-time control. To achieve real-tim

23、e performance many approaches were suggested .The most common approximation was to ignore the velocity-dependent term C, since accurate positioning and high speed motion are exclusive in typical robot applications. 如图所示RP形机械手，杆件均质，尺寸、质量、质心、如图示 忽略关节处的质量。 对其进行动力学分析。 （一）计算mass matrix 1）计算雅可比矩阵 22 ; ()

24、xxxyxz A xyyyyz xzyzzz xx v xy v III IIII III Iyzdv Ixy dv 2）计算构件惯性张量矩阵(inertia tensor) 2）计算构件惯性张量矩阵(inertia tensor) 以质心为 原点的 矩形连杆 惯性张量 计算公式： 得到mass matrix的结果： (二)科氏力和离心力矩阵： 分解为科氏力部分和离心力部分： (三)计算重力项矩阵(G) (四)得到结果 拉格朗日算子L定义为系统的动能K与势能P的差 L=KP(3.1) 系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表 示，并不一定要使用笛卡尔坐标。 动力学方程通常表述为 其

25、中，qi是表示动能和势能的坐标值，是速度，而Fi是对应的力或 力矩，Fi是力还是力矩，这取决于qi是直线坐标还是角度坐标。这 些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。 ii i q L q L dt d F 3.2) i q 拉格朗日拉格朗日(Langrange)法在机器人动力学中应用法在机器人动力学中应用 为了说明问题，我们看一个具 体例子，假定有如图3.1所示的两连 杆的机械手，两个连杆的质量分别 为m1、m2，由连杆的端部质量代表， 两个连杆的长度分别为d1、d2，机 械手直接悬挂在加速度为g的重力场 中，广义坐标为1和2。 m2 d1 d2 m1 x y 2 1 图3.1

26、两连杆的机械手 动能的一般表达式为，质量m1的动能可直接写出 势能与质量的垂直高度有关，高度用y坐标表示，于是势能可直接写出 对于质量m2，由图3.1，我们先写出直角坐标位置表达式，然后求微 分，以便得到速度 2 1 2 Kmv 1111 ()pm gd Cos (3.4) 22 1111 1 2 Km d (3.3) 211212 ()()xd Sind Sin (3.5) 211212 ()()yd Cosd Cos (3.6) 速度的直角坐标分量为 速度平方的值为 211121212 ()()()yd Sind Sin (3.8) 211121212 ()()()xd C osd C o

27、s (3.7) 22222222 21111122 (2)Vdd 2 12112112 2()()()d d SinSin 22222222 1111122122112 (2)2()()ddd d Cos 2 12112112 2()()()d d CosCos (3.9) 从而动能为 2222222 2211221122 11 (2) 22 Km dm d 2 2122112 ()()m d d C o s (3.10) 质量的高度由式(3.6)表示，从而势能就是 22112212 ()()pm gd Cosm gd Cos (3.11) 拉格朗日算子L=KP可根据式(3.3)、(3.4)、

28、(3.10)和(3.11)求 得 2222222 1211221122 11 ()(2) 22 Lmmdm d 2 2122112 ()()m d d C o s 12112212 ()()()mmgd Cosm gd Cos (3.12) 为了求得动力学方程，我们现在根据式(6.2)对拉格朗日算子进行微分 222222 1211221222 1 () L mmdm dm d 2122121222 2()()m d d C osm d d C os （3.13） （3.14） 22 1212221221 1 ()2() dL mmdm dm d d C os dt 2 2221222 ()m

29、dm d d Cos 2 21221221222 2()()m d d Sinm d d Sin 12112212 1 ()()() L mmgd Sinm gd Sin （3.15） 根据式(3.2)，把式(3.14)与(3.15)相减就得到关节1的力矩 22 11212221221 ()2()Tmmdm dm d d C os 2 2221222 ()m dm d d Cos 2 21221221222 2()()m d d Sinm d d Sin 12112212 ()()()mmgd Sinm gd Sin （3.16） 22 22122221221 2 () L m dm dm d

30、 d C os (3.17) 22 22122221221 2 () dL m dm dm d d C os dt 212212 ()m d d Sin (3.18) 2 21221122212 2 ()() L m d d Sinm gd Sin (3.19) 用拉格朗日算子对 求偏微分，进而得到关节2的力矩方程 22 和 于是关节2的力矩为 22 22221221222 ()Tm dm d d C o sm d 2 21221 ()m d d S in 2212 () y m gd Sin x D D （3.20） 将式(3.16)和(3.20）重写为如下形式 （3.21） 22 1111

31、1221111122211212121211 TDDDDDDD 22 21212222111222221212221212 TDDDDDDD （3.22） 在方程（6.21）和（6.22）中各项系数D的含义如下： Dii关节i的等效惯量（Effectiveinertia）， 关节i的加速度使关节i产生的力矩 Dij关节i与关节j之间的耦合惯量（Couplinginertia） 关节i或关节j的加速度分别使关节j或i产生的力矩和 Dijj由关节j的速度产生的作用在关节i上的向心力系数 （Centripetalforce） Dijk作用在关节i上的复合向心力（哥氏力Coriolisforce）的组

32、合项 系数，这是关节j和关节k的速度产生的结 果 Di作用在关节i上的重力（Gravity） iii D ijiijj DD 2 ijjj D ijkjkijkkj DD 把方程(3.16)、(3.20)与(3.21)、(3.22)比较，我们就得到各项系数的值： 等效惯量 D11=(m1+m2)d12+m2d22+2m2d1d2cos(2)(3.23) D22=m2d22(3.24) 耦合惯量 D12=m2d22+m2d1d2cos(2)(3.25) 向心加速度系数 D111=0(3.26) D122=- m2d1d2sin(2)(3.27) D211=m2d1d2sin(2)(3.28) D

33、222=0(3.29) 哥氏加速度系数 D112=D121=-m2d1d2sin(2)(3.30) D212=D221=0(3.31) 重力项为 D1=(m1+m2)gd1Sin(1)+m2gd2Sin(1+2)(3.32) D2=m2gd2Sin(1+2)(3.33) 下面给两连杆机械手赋予具体数值，并且对于静止状态（） 和在无重力环境中的机械手求解方程(6.21)和(6.22)。求解在下列两种条件下 进行:关节2处于锁定状态（）；关节2处于自由状态( T2=0 )。在第 一种条件下,方程(6.21)和(6.22)简化为 在第二种条件下，T2=0，我们可以由方程(6.22)解出，再把它代入

34、方程(6.21)，得到T1 2 0 21 212 22 0TDD 1 2 21 2 2 D D 于是 代入方程(6.21)有 2 1 2 11 11 2 2 D TD D (3.36) 11 11 TD 21 21 TD (3.35) (3.34) 12 0 2 现在，取定d1=d2=1，m1=2，而对于三个不同的m2值，分别求出各 个系数：m2=1，表示机械手无负载情况；m2=4，表示有负载；m2=100， 表示位于外太空(无重力环境)的机械手的负载。在外太空，没有重力负载，允 许非常大的工作负载。根据求得的系数以及方程(3.34)和(3.35)，分别对应关节 2的四种不同的锁定状态IL和自

35、由状态If，计算关节1的惯量如下表所示（表中 IL表示锁定状态，If表示自由状态）。 表6.1 m1 = 2 , m2= 1 , d1 = 1 , d2 = 1 D11 D12 D22 IL If Cos2 0 1 6 2 1 6 2 90 0 4 1 1 4 3 180-1 2 0 1 2 2 270 0 4 1 1 4 3 2 表3.2 m1 = 2 , m2=4 , d1 = 1 , d2 = 1 D11 D12 D22 IL If Cos2 0 1 18 8 4 18 2 90 0 10 4 4 10 6 180-1 2 0 4 2 2 270 0 10 4 4 10 6 表3.3 m

36、1 = 2 , m2=100 , d1 = 1 , d2 = 1 D11 D12 D22 IL If Cos2 0 1 402 200 100 402 2 90 0 202 100 100 202 102 180-1 2 0 100 2 2 270 0 202 100 100 202 102 2 2 上面三个表格中，靠右两列表明关节1的等效惯量。表3.1说明， 对于无负载的机械手来说，2 从 0变为 180，在锁定状态情况 下，等效惯量IL的变化为 3:1。同时，在20时，锁定状态（ IL ） 和自由状态（ If ）等效惯量的变化也为 3:1。 从表6.2可以看出，对于加载机械手，2从 0变为

37、 180，在 锁定状态情况下，等效惯量IL的变化为 9:1。而自由状态等效惯量If 的变化为 3:1。 对于表3.3所示的负载为100的外太空机械手，在不同状态下惯量 的变化竟为 201:1。这些关联的变化情况对于机械手的控制问题将有 重要的影响。 机械手动力学方程机械手动力学方程 (TheManipulatorDynamicsEquation) 推导机械手的动力学方程可按下述五个步骤进行 l 首先计算机械手任意连杆上任意一点的速度； l 再计算它的动能K； l 然后推导势能P； l 形成拉格朗日算子L=KP； l 对拉格朗日算子进行微分得到动力学方程。 i q ii i q L q L dt

38、 d F 2.3.1 欧拉方程欧拉方程 欧拉方程又称为牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器人 机构的动力学方程是指：研究构件质心的运动使用牛顿方程， 研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程。欧拉方程表征了 力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。 质量为m、质心在C点的刚体，作用在其质心的力F的大小 与质心加速度aC的关系为： F=maC 欲使刚体得到角速度为、角加速度为的转动，则作 用在刚体上力矩M的大小为 M= CI+CI 式中：M、均为三维矢量；CI为刚体相对于原点通过质 心C并与刚体固结的刚体坐标系的惯性张量。式(2.22)即为 欧拉方程。 在三维空间运动的任一刚体，其惯性张量CI可用质量

39、惯性矩 IXX、IYY、IZZ和惯性积IXY、IYZ、IZX为元素的33阶矩阵或 44阶齐次坐标矩阵来表示。通常将描述惯性张量的参考坐 标系固定在刚体上，以方便刚体运动的分析。这种坐标系称 为刚体坐标系(简称体坐标系)。 2.3.2 拉格朗日方程拉格朗日方程 在机器人的动力学研究中，主要应用拉格朗日方程 建立起机器人的动力学方程。这类方程可直接表示为系统 控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程 也可建立比较方便而有效的动力学方程。 对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总动 能Ek与总势能Ep之差，即 L=EkEp(2.23) 由拉格朗日函数L所描述的系统动力学状态的拉格朗日方

40、程(简 称LE方程，K和P可以用任何方便的坐标系来表示)为 式中：L为拉格朗日函数(又称拉格朗日算子)；n为连杆数目；qi 为系统选定的广义坐标，单位为m或rad，具体选m还是rad由qi为 直线坐标还是转角坐标来决定； 为广义速度(广义坐标qi对时间的 一阶导数)，单位为m/s或rad/s，具体选m/s还是rad/s由 是线速度 还是角速度来决定；Fi为作用在第i个坐标上的广义力或力矩，单 位为N或Nm，具体选N还是Nm由qi是直线坐标还是转角坐标来 决定。 () i ii dLL F dtqq i=1,n (2.24) 考虑式(2.24)中不显含 ，上式可写成 i q KKP i iii

41、EEEd F dtqqq (2.25) 应用式(2.25)时应注意： (1)系统的势能Ep仅是广义坐标qi的函数，而动能Ek是qi、 及时间t的函数，因此拉格朗日函数可以写成 L=L(qi， ，t) 。 (2)若 是线位移，则 是线速度，对应的广义力Fi就是力 ；若qi是角位移，则 是角速度，对应的广义力Fi是力矩。 i q i q i q 本章结束本章结束 4-34-3、拉格朗日方程的首次积分、拉格朗日方程的首次积分 一、质点系动能的结构一、质点系动能的结构 1 1 2 n iii i Tm vv 210 TTTT 1 (, ) iik qq trr 111 1 2 nkk ijl ijl

42、jl mqq qtqt iiii rrrr 1 d d k ii il l l q tqt i rrr v ( , ) trr 当当( ) t ( )rr 当当0 R r A B x y z 0( sin ) (cos ) R hR rij k 0 1 1 2 n ii i i Tm tt rr 对于定常约束的质点系有对于定常约束的质点系有： 210 ,0TTTT 2 111 1 2 nkk ii ijl ijl jl Tmq q qq rr 1 11 nk ii ij ij j Tmq qt rr 1 (,) iik qqrr 0 i t r v r v 已知非定常约束已知非定常约束vat

43、则系统的自由度为则系统的自由度为k=1 系统的广义坐标：系统的广义坐标：q 系统的动能为：系统的动能为： 2 a 1 2 Tmv aer vvv r vq q e vat 22 err 1 (cos )( sin ) 2 Tm vvv 22 1 ()2cos) 2 Tm atatqq 2 2 1 2 0 1 2 cos 1 () 2 Tmq Tmatq Tm at 115 设：系统主动力为有势力设：系统主动力为有势力 循环坐标：循环坐标：拉格朗日函数拉格朗日函数L中不显含的广义坐标中不显含的广义坐标 ,(1,) i qlr 拉格朗日函数表示成：拉格朗日函数表示成： 11 ( , ) krk L

44、 qq qq t 二、循环积分二、循环积分 则则： i (const.) ,(1, ) i ii LT pir qq 该式称为该式称为循环积分循环积分 称为对应于广义坐标称为对应于广义坐标qj的的广义动量广义动量 j p 证明：当主动力为有势力时，系统的证明：当主动力为有势力时，系统的Lagrange方程为方程为 d 0 d ii LL tqq (1, )ik 若若Lagrange函数函数L中不显含广义坐标中不显含广义坐标 ,(1,) i qirk 0 i L q d 0 d ii LL tqq d 0 d i L tq i ii LT p qq 116 三、能量积分三、能量积分 如果保守系统

45、拉格朗日函数中不显含时间如果保守系统拉格朗日函数中不显含时间t， 11 ( ,) kk LL qq qq 则：则： 20 const.TTV 该式称为该式称为Lagrange方程的方程的广义能量积分广义能量积分 n次齐函数的欧拉定理：次齐函数的欧拉定理： 设设y=f(x1,x2,xn)是是x1,x2,xn 的的n次齐次函数，则：次齐次函数，则： 1 k i i i f xnf x 2 const.TVTV 对于具有定常约束的保守系统有：对于具有定常约束的保守系统有： 设：系统主动力为有势力设：系统主动力为有势力 d d L t 1 k jj j jj LL qq qq d 0 d jj LL

46、tqq d d jj LL tqq 1 d d k jj j jj LL qq tqq 1 d d k jj j jj TT qq tqq 1 d d k j j j T q tq 1 d 0 d k j j j T qL tq 1 k j j j T qLC q 20 TTVC 222 1222 2 12 ()cos 23 (1 cos ) Tmm xm xLm L Vm gL 例：例：给出系统拉格朗日方给出系统拉格朗日方 程的首次积分。程的首次积分。 x g 1 m g 2 m A B 2ABL 解：解：系统的主动力为有势力系统的主动力为有势力 系统的动能和势能分别为系统的动能和势能分别为 ( , , )LTVL x 拉格朗日函数中不显含广义坐标拉格朗日函数中不显含广义坐标x和时间和时间t 122 ()cos x T mmxm Lp x 系统的水平动量守恒系统的水平动量守恒 TVE系统的机械能守恒系统的机械能守恒 118 例：例：图示机构在铅垂面内运动，均质