小学数学问答手册四、数的整除性

1、四、数的整除性153.为什么要学习“数的整除性”这部分知识？“数的整除性”在小学数学教学中是一个重要的基础知识。说它重要是因为这部分知识所涉及的基本数学概念不仅多，而且相对集中，如果不能明确、清晰地掌握这些基本数学概念的区别和联系，就会引起混淆，而混淆也必然给以后的数学知识的学习，带来严重的后遗症。例如：约数与倍数、质数与合数、奇数与偶数、公约数与公倍数这些概念在教学中几乎同时出现，但又有相反的内涵，因此，这些概念必须牢固而又明确地建立起来。还必须看到：“数的整除性”是学习分数的前提和准备。在分数的四则运算中，约分和通分是一定要掌握的基础知识，而构成这些基础知识，是离不开“数的整除性”这部分内

2、容的。例如：不掌握求最大公约数的方法，就不可能进行正确、迅速的约分；不掌握求最小公倍数的方法，也无法进行正确、迅速的通分。从这个意义上讲，学习“数的整除性”是进一步学习数学的需要。除此之外，学生在过去的学习中，已经知道整数与整数的和、差、积都是整数，但整数除整数时，商不一定是整数，有时会是小数，到底在什么情况下，整数与整数相除，商仍然是整数呢？这就需要根据“数的整除性”的知识来进行正确的判断了。在未学习“数的整除性”前，学生是很难准确、迅速地判断出下列各式的商是不是整数。874593 6524673284611 9637525743219 794328由于数字较大，一时难于做出正确的判断，一旦

3、掌握了“数的整除性”这部分知识，这些问题就不难解决了。154.整除和除尽有什么不同？整除和除尽是两个既有区别又有联系的概念，也是两个易于混淆的概念。可以通过下面两道题的计算过程，来加以说明。这两道题相同的地方是都没有余数，都可以说成是“除尽”。但这两道题又有不同的地方，（1）题中的被除数、除数和商都是整数，这种情况称作“整除”。按原题可以说成是896能被16整除。（2）题中的被除数、除数虽然是整数，但商不是整数，而是小数。这类情况就只能称作“除尽”，而不能称作“整除”。按原题可以说成36能被8除尽，而不能说成36能被8整除。又如：3.50.5=7 82441.2=20这两个式子虽然都能除尽，商

4、又是整数，但被除数和除数中， 至少有一个数不是整数，因此，这两个式子只能属于“除尽”情况，而不能称作“整除”。由于在小学数学中，“数的整除性”所涉及的数一般都指的是自然数，不包括0，因此，其定义是：“数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a能被b整除。”“整除”与“除尽”是两个不同的概念。“除尽”是指在除法中只要除到某一位时没有余数，不管被除数、除数和商是整数还是小数，都可以说是“除尽”。“整除”是指在除法中只有被除数、除数和商都是整数的情况下，才可以说是“整除”。“整除”是整数范围内的除法，而“除尽”则不限于整数范围，只要求余数为零。“整除”与“除尽”的区别和联系在于“整除”

5、也可以称作“除尽”，但是“除尽”不一定是“整除”。“除尽”中包括了“整除”，“整除”只是“除尽”的一种特殊情况。“除尽”与“整除”的关系可用右边集合图来表示。155.“数的整除性”有哪些性质？“数的整除性”的性质很多，涉及到小学数学内容的有以下几个：（1）如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的和也能被c整除。例如：427=6 567=8（4256）7=1442能被7整除，56也能被7整除，那么42与56的和（98）也能被7整除。反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，而其中一个数不能被c整除，那么a与b的和就一定不能被c整除。例如：369=4 839=92（36+83）9=13236

6、能被9整除，83不能被9整除，那么36与83的和（119）不能被9整除。（2）如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的差也能被C整除。例如：8811=8， 6611=6（88-66）11=288能被11整除，66也能被11整除，那么88与66的差（22）也能被11整除。反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，另一个数不能被c整除，那么a与b的差就一定不能被c整除。例如：9113=7 3013=24（91-30）13=4991能被13整除，30不能被13整除，那么91与30的差（61）不能被13整除。（3）如果两个整数a、b都不能被c整除。那么a与b的和（或差）能或不能被c整除。这是一个

7、不肯定的结论。例如：657=92 337=45（6533）714（65-33）7=4465不能被7整除，33也不能被7整除，由于两个余数的和（25=7），正好等于除数，因此，65与33的和（98）能被7整除；而65与33的差则不能被7整除。又如：8511=78 3811=35（8538）11112（85-38）11=4385不能被11整除，38也不能被11整除，此例中85与38的和（123）或差（47）都不能被11整除。（4）如果整数a能被自然数c整除，那么a的倍数（整数倍）也能被c整除。例如：3913=3（394）13=1239能被13整除，39的4倍（156）也能被13整除。（5）如果a、

8、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）。例如：有84、21、7三个数8424=4 217=38471284能被21整除，21又能被7整除，那么84就一定能被7整除。反之，如果a、b、c这三个数中，a与b或b与c之间只要出现一个不能整除的情况，a就一定不能被c整除。例如：有121、11、5三个数12111=11 115=211215=241121能被11整除，但11不能被5整除，那么121就一定不能被5整除。156.“倍”与“倍数”有什么区别？“倍”与“倍数”虽然只有一字之差，却是两个不同的数学概念，只有真正明确它们各自的内涵和使用范围，才不会在

9、理解和应用上造成混淆。“倍”指的是数量之间的关系，它建立在乘法概念的基础上，在实际教学中，是从“个”和“份”逐步抽象出来的数学概念。例如：白布8米，花布的长度有4个8米；或者说把白布8米看作1份，花布的长度是4份。这里所说的“个”与“份”，换成数学语言就是花布的长度是8米的4“倍”，花布的米数是84=32（米）。由此可见，“倍”的出现是从生活中的“个”与“份”逐步抽象出来的，是建立在乘法概念的基础上的。“倍数”指的是数与数之间的联系，它建立在“数的整除性”这个大概念的基础上，是在明确“整除”的前提下，与“约数”同时建立的。例如：28是7的倍数，因为28能被7整除。287=4，28是7的4倍，如

10、果用乘法表示这三个数的数量关系，则74=28，7的4倍是28。由此可见，前者的“倍数”是严格限制在“整除”的范围内，而后者的“倍”只体现在乘法的概念当中，这是两者的明确区别。在小学数学教材中，“倍数”的运用还有另一种情况，即在比例教学时，当阐述正、反比例关系所提到的“扩大或缩小相同的倍数”，这里所提到的“倍数”，是一般除法中的概念，而不是“整除”范围内的概念。比例中所出现的倍数，所表示的是两个最相比而得到的数，这个数不一定是整数，也可能是小数。在研究“数的整除性”中的倍数，是不允许出现小数的。157.约数可以等于因数吗？在“数的整除性”中，约数和因数是两个重要的概念。在小学数学“教”与“学”中

11、，接触因数是在整数乘法时，被乘数与乘数对于积来说，都是因数。约数是在“数的整除性”中出现的，它与倍数是在“整除”概念的前提下，同时建立起来的概念。按照教材中对约数所下的定义：“如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。”假设把商定为c，其算式为：ab=c 反之 bc=a仅从算式来观察，似乎约数与因数已经等同了，实际上并非如此。约数与因数是一个问题在不同范畴内的两种不同提法，两者之间既有联系，也有区别，从上面乘、除法关系的算式中可以看到它们之间的联系，但它们之间的区别则是主要的。以632为例，6能够被3整除，也能被2整除，因此，对6来说，3和2都是它的约数。如果换成乘法算式：32

12、=6，对于乘积（6）来说， 3和2都是它的因数。由此可见，只有在“整除”的范畴内，才能谈得上约数，而在乘法中，因数早已经存在了。事实上，6除了能被3和2整除外，还能够被1和6整除，也就是说，6共有1、2、3、6四个约数。至于32=6，3和2固然是6的因数；但16=6，1和6也是6的因数，这是两个不同的乘法算式，因此，绝不能说成6有1、2、3、6四个因数，否则，1236=36，其乘积就不是6，而是36了。约数与因数的另一个区别，还在于各自的应用范围上。约数的应用范围是有限的，它只存在于“数的整除性”这部分知识当中，为学习“公约数”和“最大公约数”做好基础知识上的准备。因数的应用范围则比较广泛，无

13、论整数、小数、分数、百分数，以及到中学后所接触到的负数，只要出现了乘法，就存在着因数的概念。例如：在小数中2.40.8=1.92，2.4与0.8都是1.92的因数。在负数中（-5）7=35，-5和7都是-35的因数。凡此种种，都充分说明：约数与因数是两个不同的概念，是不能等同的。158.质数一定是奇数吗？偶数一定是合数 吗？质数与奇数，偶数与合数涉及到两组不同的数学概念。质数与合数是相互依存的，奇数与偶数也是相互依存的。因此，质数不一定是奇数，偶数也不一定是合数。这是因为：一个数只有1和它本身两个约数的，这样的数叫做质数（也叫做素数）。而不能被2整除的数叫做奇数。这两个概念的内涵不同，一般来说

14、，是质数的也都是奇数，如：3、13、29、37。这些数既是质数，也都是奇数。但有一个数是例外的，这就是“2”。2的约数只有1和它本身，因此，它是质数；但2能被2整除，不符合奇数的定义，所以，2不是奇数。按照数学的严密性语言来说：“除2以外的质数都是奇数”，这样的判断才是正确的。还必须看到，“除2以外的质数都是奇数”这个结论虽然正确无误，但反过来说“除2以外，奇数都是质数”则是错误的，如：27、35、143这些数，虽然都是奇数，但这些数除了1和它本身这两个约数外，还有其他约数，如：27还有3和9，35还有5和7，143还有11和13，都不符合质数的定义，因此，这些数都不是质数。偶数也不一定是合数

15、，因为“能被2整除的数叫做偶数”，而合数的定义是：“除了1和本身，还有别的约数的，这样的数叫做合数。”这里“2”又是一个重要区分点，2是偶数，但不是合数，准确的说法是：“除2以外的偶数都是合数。”与质数和奇数不能反叙述一样，如果说成“除2以外的合数都是偶数”也是错误的。例如：45、87、187这些数都是合数，但都不是偶数。159.最小的偶数是几？偶数概念的出现是在“数的整除性”这部分知识里，在小学数学教材中“数的整除性”一般是限制在自然数范围之内的，由于0不是自然数，因此没有涉及到最小偶数是几的问题，但在“教”与“学”中，却常常遇到这个问题，并且说法不一。按照“能被2整除的数叫做偶数”的定义，

16、以及一个数个位上是0、2、4、6、8的数就一定能被2整除的规律，0能够被2整除，0也应该看作是偶数。至于在“教”与“学”中所提出的“最小的偶数是几”的问题，必须限定一个范围，一般来讲，要区分三种情况：（1）如果限定在自然数的范围内，由于已将0排除，最小的偶数是2；（2）如果扩大自然数的范围，把0包括在内，最小的偶数是0。（3）如果限定在整数范围内，这个“整数”概念包括负整数，由于没有最小的负整数，因此，在整数的范围内，也没有最小的偶数。160.“12是倍数，4是约数”这种说法对不对？研究“倍数”与“约数”的概念，都是在整除的前提下进行的，因此，它们当中的每一个概念都不是单独存在的，而是互相依存

17、的。可以说：没有倍数就没有约数，没有约数也就没有倍数。按照“如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数”的定义，通过下面的例子，就可以回答上面提出的问题了。例如：153=515能被3整除，15是3的倍数，3是15的约数。248=324能被8整除，24是8的倍数，8是24的约数。由此可见，124=3，12在能被4整除的情况下，只能说成12是4的倍数，4是12的约数。表述倍数与约数时，必须完整地说明：谁是谁的倍数，谁是谁的约数。如果笼统地说：“谁是倍数，谁是约数”则是孤立的肯定，而失去倍数与约数本身的意义。所以“12是倍数，4是约数”这种说法是不对的。161.为什么判断一个数能不能被

18、2或5整除，只要看这个数的个位数？判断一个数能不能被2或5整除，在“数的整除性”这个范畴内是一个重要基础知识。教材中是通过自然数乘以2和乘以5的形式，对乘积个位上数的特征的观察，从而得出如下的结论：“个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。”和“个位上是0或者5的数，都能被5整除。”有关这个结论的算理，可以通过下面数例加以说明。例如：（1）364=300604（2）876=800706（3）4528=4000500208任何一个数都可以写成上面的形式，从中可看到：一个数千位、百位、十位上的数字，都表示整千、整百、整十的数，而整千、整百、整十的数都能被2整除（或者说都是2的倍数），这是整除

19、的性质所决定的，那么这个数能不能被2整除的关键，就看个位上的数了。因此，只要个位上是0、2、4、6、8的数，这个数就一定能被2整除。个位上是0的数，必然是10的倍数，10能够被2整除，10的倍数也一定能被2整除。所以个位上是0的数，也一定能被2整除了。又如：（1）485=400805（2）3765=3000700605（3）5970=5000900十700同理，千位、百位、十位上的数字，所表示的是整千、整百、整十的数，这些数均能被5整除（或者说都是5的倍数），关键是个位上的数，如果个位上的数能被5整除，这个数必然能被5整除。个位上是5的数，当然能被5整除，个位上是0的数，必然是10的倍数，10

20、能被5整除，10的倍数也必然能被5整除。因此，看一个数能不能被5整除，只要看这个数个位上是0或者5，就能正确、迅速地做出判断。个位上是0的数，是10的倍数，10能被2整除，也能被5整除。因此，个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除。162.为什么看一个数能不能被3或9整除，就要看这个数各数位上数字的和能不能被3或9整除？一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。这个规律可通过下面例子得到证明。例如：判断3576，2549能不能被3整除。3576：35+76=21（21是3的倍数）3576能被3整除。2549：2549=20（20不是3的倍数）2549不能被3整除。检验：

21、25493=8492又如：判4212、5282能不能被9整除。4212：4+2+1+2=9（9是9的倍数）4212能被9整除。5282：5+2+8+2=17（17不是9的倍数）5282不能被9整除。这个规律主要依据是：（1）凡各位数字是9的数，一定能被3和9整除。如：93=3 99=1993=33 999=119993=333 9999=11199993=3333 99999=1111 （2）凡是10的倍数都可以用下列形式表示：10=9+1100=99+11000=999+110000=9999+180=810=8（9+1）700=7100=7（99+1）5000=51000=5（999+1）

22、40000=410000=4（9999+1）根据以上两点，可以通过下面的等式来说明354能不能被3整除的道理：第一个括号里是9的倍数加上9的倍数，它是能被3或9整除的。因此，这个数能不能被3整除，只要看第二个括号的结果就可以了。而第二个括号里恰恰是354各位数字的和。所以，判断一个数能不能被3或9整除，只要看各位数字的和就可以了。判断结果：3+5+4=12，12能被3整除，因此，354能被3整除。由于9本身能被3整除，所以能被9整除的数，一定能被3整除。而能被3整除的数，却不一定能被9整除。仍以354为例，3+5+4=12，12能被3整除，却不能被9整除，因此，354能被3整除，不能被9整除。

23、用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。如：判断7485能不能被9整除。7+4+8+5=242+4=6各位数字继续相加从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。最后得出的6，就是7485除以9的余数。即：74859=8316又如：判断3478能不能被3整除。3+4+7+8=22 3478不能被3整除，余数是1。因为22除以3商7后的余数是1，也就是3478除以3的余数1。检验： 34783=11591163.怎样判断一个数能不能被6整除？判断一个数能不能被6整除，主要看这个数能被2整除，又能被3整除，

24、如果都能，那么这个数就能被6整除。因为把6分解质因数是23，或者说2与3的乘积是6，所以能同时被2和3整除的数，就能被6整除。在判断一个数能不能被6整除时，可按照下列步骤进行：（1）首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。这就符合了能被6整除的第一个条件。如果这个数不是偶数，那就排除了能被6整除的可能。（2）然后按照能被3整除的数的特征，即：这个数各位数字的和是不是3的倍数，如果是3的倍数，这个数就能被6整除。例如：判断654能不能被6整除。654是偶数，自然能被2整除；654各位数字的和是6+5+4=15，15是3的倍数，因此，654能被6整除。又如：判断274能不能被6整除。274是

25、偶数，但它各位数字的和是2+7+4=13，13不能被3整除，因此，274不能被6整除。如果用图来表示，下面两圆相交部分中的数就是既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。164.怎样判断一个数能不能被7整除？判断一个数能不能被7整除，不象判断一个数能不能被2、5、3整除那佯，根据这个数的数字特征就能直接做出判断。一般需要采用割减法。割减法的过程是这样的：把一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被7整除。例1：判断3164能不能被7整除。因为14是7的倍数，所以3164能被7整除。检验：316

26、47=452.对于数字不大的数，使用割减法判断能不能被7整除是比较方便的。这个割减的过程，并不需要笔算，口算就可以完成。关于割减法的算理，即：为什么要先割去末位上的数字，然后再从留下的数字中减去割去数字的2倍？这与能不能被7整除有什么关系？讲清这个算理，先观察一下21的倍数有什么特点。从表中可以看到，21的倍数恰好是前位数字是末尾数字的2倍。那么，把一个数割去末位数字，再从前位减去末位数字的2倍，不正是减去21的倍数吗？如例1中割去84，不就是割去末位数字4的21倍吗？由于21=73，21包含3个7，所以减去21的倍数，也就是减去7的倍数。由此可以看出：判断一个数能不能被7整除所用的割减法，其

27、依据就是利用了21的倍数的特点。如果一个数连续减去7的倍数，而余下的数也是7的倍数，那么原来这个数也必然是7的倍数，因而也能被7整除。这个过程不一定书写出来，也可以在口算中进行。因为用割减法连续减去的是21的倍数，如果最后的结果还是21的倍数，那么这个数既能被7整除，还能被21整除，当然也能被3整除。例2：判断2583，5264能不能被7和21整除。2583能被7整除；也能被21整除。检验：25837=369258321=1235264能被7整除，不能被21整除。检验：52647=752526421=25014165.怎样判断一个数能不能被4或25整除？判断一个数能不能被4或25整除是比较容易

28、的，这就是：如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就一定能被4或25整除。例如：4750=47100+50928=9100+283800=38100因为25与4相乘的积是100，100既能被4整除，又能被25整除，因此百位以前的数（100的倍数）可以不考虑，只要这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。由此可以得出：凡是一个数的末两位数都是0（必然是100的倍数），这个数就一定能被4或25整除。4750的末两位数是50，50能被25整除，但不能被4整除，4750只能被25整除，而不能被4整除。928的末两位数是28，28能被4整除，但不能被25整除，928就只能

29、被4整除，而不能被25整除。3800的末两位数都是0，说明3800是100的倍数，因此，3800既能被4整除，也能被25整除。166.怎样判断一个数能不能被8或125整除？一个数能不能被8或125整除，要看这个数的末三位，这个数的末三位是8或125的倍数，这个数就能被8或125整除。由于1000=8125，1000既是8的倍数，也是125的倍数，所以，凡是一个三位以上的多位数，只要末三位数都是0，这个数就一定能被8和125整除。例如：6048能被8整除，4375能被125整除，86000既能被8整除，又能被125整除，7594和7300这两个数，既不能被8整除，也不能被125整除。这种根据一个

30、数末三位数来进行判断的方法，其算理是：任何一个三位以上的多位数，都是由1000的倍数和一个三位数组成的。例如：9864=91000+86456750=561000+75093000=9310001000既能被8和125整除，1000的倍数也必然能被8和125整除，因此，一个数末三位左边的数可以不看，只要末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。看末三位数是不是8的倍数，还可以采用简便的方法：（1）先看末位数是奇数还是偶数，倘若是奇数，可以肯定不是8的倍数，因为8的倍数永远是偶数。（2）如果是偶数，用2去除末三位数，看所得的商是4的倍数，这个数就能被8整除。例如：所以7104能被8

31、整除。由于125本身就是三位数，在所有的三位数内，125的倍数只有有限的几个（125、250、375、500、625、750、875、1000），所以，只要熟记这几个数据，就可以准确、迅速地进行判断了。167.怎样判断一个数能不能被11整除？判断一个数能不能被11整除与判断一个数能不能被7整除一样，都没有直接判断的方法，需要借助间接的方法，这种间接的方法有两种，其一是“割减法”，其二是奇偶位差法。（1）割减法：判断被11整除的割减法与判断被7整除的割减法不同。即：一个数割去末尾数字，再从留下来的数中减去这个末位数字，这样一次一次地减下去，如果最后结果是11的倍数（包括得0），那么这个数就能被1

32、1整除；如果最后结果不是11的倍数，那么这个数就不能被11整除。例如：4708割去末位8因此，4708能被11整除。在判断时，对于数目不大的数，用口算就可以看出结果。通过口算可以得出：891能被11整除；1007不能被11整除。（2）奇偶位差法：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被11整除。例如：判断283679能不能被11整除。23-12=11因此，283679能被11整除。判断480637能不能被11整除。21-7=14因此，480637不能被11整除。上述这种方法叫做奇偶位差法，算理可通过

33、下列算式说明。99=1 911（不能整除）999=11 9911=99999=111 9911（不能整除）99999=1111 999911=909999999=11111 999911（不能整除）9999999=111111 99999911=90909 由以上两算式中可以看到：全部由9组成的任何一个数，都能被9整除，但除以11则不一定，只有当9的个数成偶数时，才能被11整除，当9的个数是奇数时，则不能被11整除。当一个数首尾数字相同，中间都是0，而且0的个数成偶数时，这个数也能被11整除。如：1111=1100111=9130000311=27273通过用奇偶位差法的分解来判断8712能不

34、能被11整除，从中也可以进一步理解这种判断方法的算理。8712=8000+700+10+2 偶 奇 偶 奇偶位上的数可以写成：8000=81000=8（1001-1） 10=110=1（11-1） 奇位上的数可以写成：700=7100=7（99+1） 把式代到式中去。第一个括号中所得的结果，肯定能被11整除，原数能不能被11整除，决定于第二个括号中所得的数，而第二个括号中的数，恰恰是奇位数字与偶位数字之差，由此而得出了用奇偶位差法来判断一个数能不能被11整除。168.怎样判断一个数能不能被13整除？一个数能不能被13整除，在判断上也没有直接的方法，需要借助间接的方法，这种间接的方法是：一个多位

35、数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，这个差如果能被13整除，那么原来的这个多位数就能被13整除。例如：判断383357能不能被13整除。383357这个数的末三位数是357，末三位以前的数字所组成约数是383，这两个数之差是383-357=26。26能被13整除，383357也能被13整除。又如：判断35062能不能被13整除。35062这个数的末三位数是62，末三位以前的数字所组成的数是35，这两个数之差是：62-35=27。27不能被13整除，35062也不能被13整除。这个方法也同样适用于判断一个数能不能被7或11整除。169.怎样判断一个数能不能被17整除？判断一个数能不能被

36、17整除，也没有直接的方法，间接的方法也使用“割减法”。不过这里使用的割减法与判断一个数能不能被7整除的割减法，不完全一样。它也是先割去原来数的末位数字，然后再从留下来的数中减去割去数字的5倍，倘若数字还大，就依照上述步骤继续割减，当最后的结果是17的倍数时，那么原来这个数就一定能被17整除。如果最后结果不是17的倍数时，那么原来这个数就一定不能被17整除。例如：判断9894能不能被17整除。最后结果是51，51能被17整除，所以9894也能被17整除。又如：判断8765能不能被17整除。由于80不能被17整除，因此，8765也不能被17整除。这种判断一个数能不能被17整除的割减法的算理是：先

37、割去末位数字，实际上是减去末尾数字本身的1倍，再从前位减去所割数字的5倍，实际上又减去了所割数字的50倍，加上已经减去的1倍，一共减去所割数字的51倍。因为51=173，51既是17的倍数，减得的结果是17或是17的倍数（包括0），都证明原来这个数一定能被17整除，反之，则不能。如果要求判断的数不大，判断过程也完全可以用口算进行。如：判断782和693能不能被17整除。从上述口算过程可以得出：782能被17整除；693不能被17整除。170.怎样判断一个数能不能被12、15、18、45整除？判断一个数能不能被12、15、18、45整除都没有直接的方法，可以按照前面提到的判断被6整除的做法，从而

38、找出一个间接的方法来。（1）怎样判断一个数能不能被12整除。因为12=34 a12=a34由此可以得出：如果一个数能被3整除又能被4整除，那么这个数就一定能被12整除。判断被3和4整除的数的特征，在前面已经做了解答，只要满足被3和4整除的这两个条件,这个数就一定能被12整除。即：一个数的各位数字的和是3的倍数，末两位的数又是4的倍数，这个数就一定能被12整除。例如：判断3084能不能被12整除。3084的各位数字的和是3+0+8+4=15，15是3的倍数，3084的末两位数是84，84又是4的倍数，所以3084能被12整除。检验：308412=257又如：判断4734能不能被12整除。4734

39、的各位数字的和是4+7+3+4=18，18是3的倍数，但4734的末两位数是34，34不是4的倍数，所以4734不能被12整除。检验：473412=3946（2）判断一个数能不能被15整除。因为15=35 a15=a35由此可以得出：一个数既能被3整除，又能被5整除，这个数就一定能被15整除。即：一个数的各位数字的和是3的倍数，而它末位数字是0或5，这个数就能被15整除。例如：判断8715能不能被15整除。8715的各位数字的和是8+7+1+5=21，21是3的倍数，8715的末位数字又是5，所以8715这个数能被15整除。检验：871515=581（3）判断一个数能不能被18整除。因为18=

40、29 a18=a29由此可以得出：一个数既能被2整除，又能被9整除，那么这个数就一定能被18整除。即：一个末位数字是0、2、4、6、8的数，而它的各位数字的和又是9的倍数，这个数就能被18整除。例如：判断52416能不能被18整除。52416的末位数字是6，能被2整除，而52416的各位数字的和是5+2+4+1+6=18，18又是9的倍数，因此，52416一定能被18整除。（4）判断一个数能不能被45整除？因为45=59 a45=a59由此可以得出：一个数既能被5整除，又是9的倍数，那么这个数就一定能被45整除。即：一个数的末位数字是5或0，而它的各位数字的和又是9的倍数，这个数就一定能被45

41、整除。例如：判断98865能不能被45整除。98865的末位数字是5，可以被5整除，98865的各位数字的和是9+8+8+6+5=36，36又是9的倍数，因此，98865一定能被45整除。使用上述4种间接判断方法，要特别注意一个问题，即：一个数所分解的两个数，这两个数必须是互质数，否则就会发生判断上的错误。例如：12不能分解成26，18也不能分解成36。如果12=26，2与6并不是互质数，且6=23，这样，2就重复考虑了两次，结果就形成了能被6整除的数就能被12整除的错误结论。如果18=36，3与6这两个数也不是互质数，6又可以分解成23，这样，3又重复考虑了两次。6是3的倍数，也会导致能被6

42、整除的数就能被18整除的错误结论。事实上，如：246、462这些数，都满足能被3和6整除的条件，但却不能被18整除。171.为什么三个连续数相乘的积一定是6的倍数？三个连续数相乘的积一定是6的倍数，这决定于自然数列的排列规律。因为在自然数列里，所有的偶数都是2的倍数，也就是每隔一个数必是一个2的倍数，而每隔两个数，必是3的倍数。例如：从11起自然数列的顺序是这样的：从上面自然数列中可以看出：无论从任何一个数开始，三个连续数中，必定有2和3的倍数，而2与3的乘积是6，所以在三个连续数的乘积里，必定有6的倍数。或者说：三个连续数相乘的积一定是6的倍数。例如：14、15、16三个连续数。这三个连续数

43、中，14和16是2的倍数，15是3的倍数，因此，这三个连续数相乘的积，一定是6的倍数。14、15、16相乘积是141516=3360，而3360是6的560倍。172.质数、质因数和互质数有什么区别？质数、质因数和互质数这三个术语的概念极易混淆，因为它们都有“质”和“数”两个字。正确地区分这几个概念，对掌握数的整除性这部分基础知识，有着极其重要的意义。（1）质数：一个自然数，如果只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（也称素数）。例如：1的约数有：1；2的约数有：1，2；3的约数有：1，3；4的约数有：1，2，4；6的约数有：1，2，3，6；7的约数有：1，7；12的约数有：1，2，3，4，6

44、，12； 从上面各数的约数个数中可以看到：一个自然数的约数个数有三种情况：只有一个约数的，如1。因此，1不是质数，也不是合数。只有两个约数的（1和它本身），如2，3，7有两个以上约数的，如4，6，12属于第种情况的，叫做质数。属于第种情况的，即：除了1和本身以外，还有别的约数，这样的数叫做合数。（2）质因数：一般地说，一个数的因数是质数，就叫做这个数的质因数。例如：18=233这里的2、3、3都是18的因数，而2和3本身又都是质数，于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。这里需要注意的是：18也可以写成3与6的乘积，即：18=36，无疑3和6都是18的因数，但3本身是质数，可以称做18的质因数

45、，而6是合数，则不能称做18的质因数。（3）互质数：两个或几个自然数，当它们的最大公约数是1的时候，这两个或几个数，就叫做互质数（也叫互素数）。例如：5和7，4和11，8和9，7、11和15，12、20和35。上述这几组数，它们的最大公约数都是1，因此，它们都是互质数。在以上两个互质数中，如7、11和15这三个数，7和11是互质数，11和15是互质数，7和15也是互质数。这类情况，我们就叫做这三个数“两两互质”。但12、20和35这组数中，虽然它们也是互质数，但不是两两互质，因为12和35是互质数，至于12和20、20和35都不是互质数。需要注意的是：不管两个数互质或者两个的数以上互质，这些数

46、本身却不一定是质数，如5和7是互质数，它们本身都是质数；4和11是互质数，其中4并不是质数；8和9是互质数，但8和9本身都不是质数。总之，质数是指一个数。譬如说：“2是质数，11是质数”等等。质因数虽然也是指一个数，但是它是针对另一个数而说的。譬如说：“5是35的质因数。”如果离开35，孤立地说：“5是质因数。”则是不妥当的。因此，质因数具有双重身份：第一必须是个质数；第二必须是另一个数的因数。互质数同质数、质因数都不同，它不是指一个数，而是指除了1以外，再没有其他公约数的两个或两个以上的数。由此可见：掌握质数、质因数和互质数这几个术语的概念，其中质数是基础，这三者之间既有联系，又有区别，要透

47、彻理解和正确区分，才能防止混淆。173.怎样判断一个数是不是质数？正确而迅速地判断一个自然数是不是质数，在数的整除性这部分知识中，是一项重要的基本技能。由于大于2的质数一定是奇数（奇数又不一定都是质数），所以，在判断一个自然数是不是质数时，首先要看它是奇数还是偶数。如果是大于2的偶数，这个数肯定不是质数，而是合数；如果是奇数，那就有可能是质数。在这种情况下，一般使用以下两种方法：（1）查表法：主要是指查“质数表”。编制质数表的过程是：按照自然数列，第一个数1不是质数，因此要除外，然后按顺序写出2至500的所有自然数，这些数中2是质数，把它留下，把2后面所有2的倍数划去，2后面的3是质数，接着再

48、把3后面所有3的倍数划去，如此继续下去，剩下的便是500以内的全部质数。最早使用上述方法来寻求质数的人，是古代希腊数学家埃拉托斯特尼，由于他在开始时，先把自然数写在一块蜡板上，把不是质数的数（合数）分别刺上一个孔，这样，在蜡板上就被刺上了许多象筛子一样的孔，后来，大家就把这种寻求质数的方法叫做“筛法”。下面是用筛法寻找出的500以内质数表：这类的质数表还可以编制成数字范围更大一些的，如1000以内质数表等。判断一个自然数是不是质数，如在表所规定的数字范围内，即可用查表的方法进行判断。（2）试除法：在手头上没有质数表的情况下，可以用试除法来判断一个自然数是不是质数。例如判断143、179是不是质

49、数，就可以按从小到大的顺序用2、3、5、7、11等质数去试除。一般情况下用20以内的2、3、5、7、11、13、17、19这8个质数去除就可以了。如143，这个数的个位是3，排除了被2、5整除的可能性，它各位数字的和是1+4+3=8，也不可能被3整除，通过口算也证明不能被7整除，当试除到11时，商正好是13，到此就可以断定143不是质数。对179试除过程如下：1792=5921793=6611795=3541797=25417911=16317913=131017917=109当17917所得到的不完全商10比除数17小时，就不需要继续再试除，而断定179是质数。这是因为2、3、5、7、11、

50、13、17都不是179的质因数，因此，179不会再有比17大的质因数，或者说179不可能被小于10的数整除，所以，179必是质数无疑。综上所述，用试除法判断一个自然数a是不是质数时，只要用各个质数从小到大依次去除a，如果到某一个质数正好整除，这个a就可以断定不是质数；如果不能整除，当不完全商又小于这个质数时，就不必再继续试除，可以断定a必然是质数。174.怎样把一个合数分解质因数？分解质因数在数的整除性这部分知识中，既是整除、约数、质数等基础知识的综合运用，也是后面学习最大公约数和最小公倍数的前提和准备，所以，在数的整除中,它具有承上启下的作用。把一个合数分解质因数，就是把这个合数用质因数相乘

51、的形式表示出来。或者说，把一个合数写成几个质数的连乘积。譬如36是合数，把36分解成因数相乘，会有以下几种情况：（1）36=136 （2）36=218（3）36=49 （4）36=312（5）3666在上面五种分解中，只有（2）式的2和（4）式的3是质数,其他都不是。要分解质因数就要把不是质数的数（1不是质数，也不是合数，排除在外），再分解成质数连乘的形式。如（3）式中的4和9都是合数，4可以分解为：22； 9可以分解为： 3 3。这样，把 36分解质因数，36=2233。事实上，除（l）式外，（2）（4）（5）式继续分解，其最后结果也是同样的。把一个合数分解质因数，具体过程可采用短除法。例如

52、：把420分解质因数。（从最小的质因数开始）由短除式中可以看到，420有2、2、5、3、7五个质因数，420分解质因数的结果是：420=22537。在进行分解质因数时，最后的书写格式要特别注意，一定要把所要分解的合数写在等号的左边，如：24=2223，105=357等，而不能写在等号的右边，如：2 223= 24，这样就与乘法算式相混淆，而不是分解质因数了。175.怎样找出一个合数所有的约数？把一个合数所有的约数都找出来，对数目不大的合数，可以通过口算找出来，例如：9的约数有1、3、9；15的约数有1、3、5、15；21的约数有1、3、7、21等。对于数目较大的数，单纯靠口算，就有可能会遗漏中

53、间的约数。通常可以先把这个合数分解质因数，再把各个质因数依次搭配结合，就可以找出它的所有约数。例如：找出420的所有约数。先把120分解质因数420=22357（1）上面这些约数中有质数：2、3、5、7四个。（2）由两个质数结合成的有：22=4 23=625=10 27=l435=15 372157=35有4、6、10、14、15、21、35七个。（3）由三个质数结合成的有：223=12 2252022728 23530237=42 25770357105有12、20、28、30、42、70、105七个。(4）由四个质数结合成的有：2235=60 2237=842257=140 2357=210有60、84、140、210四个。因此，420的约数有4774=22（个），再加上1和420本身，共24个约数。除上述方法外，还可以先把一个合数分解质因数，然后把每个质因数的个数加1，连乘起来，所得的积就是这个合数的所有约数的个数，并且包括了1和它本身。仍以420为例：420有 24个约数。360也有 24个约数。176.为什么用短除法能求出几个数的最大公