(解答)学期工科高数

1、华南农业大学期末考试试卷(A)卷10 / 72005学年第2学期高等数学(工科)考试时间:120分钟.填空题(每题3分，共24 分)1.已知函数 Z = f (Xy)(X +g X2 +2入 y0X2 +y2H 0，在点(0,0)处对=02.设 D: X2 + y2X的一阶导数fX(0,0)= 解答：fX(0,0)=limf(X，0) f(0,0)兰4x，则JJ f (X, y)dxdy在极坐标系下的二次积分解答：积分区域就是-二0 二,0 P 4cos8，因此D2 224 cos 日JJf(X, y)dxdy = J Jf( P cos Psi n 日)Pd PD兀0巧3. 设f(x)是周期

2、为2兀的周期函数，它在，兀)上的表达式为- 2f(X)10x，则f(X)的傅立叶级数在X = 0时收敛于解答：函数f(x)在x=0处间断，且f(0-0) =2, f (0 +0)=1，从而傅立叶级数在 x = 01 1处收敛于2(”)一24 lim Sin =xTOXyT2入解答:sin( xy2)爲四0,2) xsin( xy2)（丿母0,2）鳥母0，八2=4四平 *兀5.函数z&sin（x + 2y）在点（0.-）处的全微分为=-1/7Pz解答： 一 =esin(x+2y) + xcos(x +2y)，exex竺=2ecos(x+2y)，=0（吟）从而函数在该点处的全微分为-dx6.若级数

3、无事发散，则n d n解答：P +3 1= P 27.设由方程2x2 + y2 + z2-2z = 0确定隐函数z = f（X, y）,则cz解答1:两边对x求偏导得4x +2z -2 = 0，从而 re?exexcz2xex1 -z解答 2：两边微分得 4xdx+2ydy+2zdz-2dz = 02x整理得(1 -z)dz =2xdx + ydy，即 dz =dx +1-z 1-zdy于是乞=互ex1 - zczycy1 -z8.微分方程y- Zy/中5y = 0的通解为解答：特征方程为r2 -2r + 5=0解得1,2 = 1 2i因此原方程的通解为 y =e(C1 cos2x+C2 si

4、n 2x)二.选择题（每题2分，共16 分）1.微分方程|yjxy/ + y = 3x=0的特解是（B. 3(1 - X)C.1 -1XD.1-X解答：分离变量得dy dx3 y X两边积分得y = 3丄CXyT3(T1代入初始条件得C =-,从而特解为2.设点（0,0）是函数3f（X, y）的驻点，贝y函数f（X, y）在（0,0）处A.必有极大值B.可能有极值，也可能无极值C.必有极小值D.必无极值解答：选B3.二重积分【J(x2 + y2)db =(D）,其中区域D:x2+ y2 兰 2所围成的闭区域A.兀B. 2兀CD.8兀解答：用极坐标系计算()2兀 2n(X2 +y2)db = J

5、d日 JP2 刊P=2兀D00选B4. 若在点M处可微，则在点M处沿任何方向的方向导数（A.必定存在B.必定不存在C.可能存在也可能不存在D.仅在x轴y轴方向存在，其它方向不存在解答：选A5. 若L是以0(0,0), A(1,0), B(0,1)为顶点 的三角形的边界，则q(x+ y)ds=()LA.1-72c.i + 72B. 2+ 72D.2-421 1解答：OA段的参数方程为 y = 0,0x1，因此J(x +y)ds = J xjdx =OA021AB段的参数方程为 y=1-x,0x1，因此 J(x + y)ds= J1jr刁dx = J2AB0、 1 1OB段的参数方程为 x=0,0

6、y1，因此 J(x + y)ds = JyJ1 + Ody =OB02从而 q(x + y)ds =f(x +y)ds =1 + J2LOA dAB HOB选C6. 设区域G为开区域，函数P(x,y),Q(x, y)在G内具有一阶连续 偏导数，则曲线积分P(x,y)dx + Q(x, y)dy在G内与路径无关的 充分必要条件是(cQ cPA.4=e(x, y严 G) excyB.任取区域G内一条闭合曲线C，有q P(x, y)dx+Q(x,y)dy = 0CC. 存在一个二元函数 U = u(x, y),使得 du = P(X, y)dx+ Q(x,y)dyD. 以上答案都正确解答：选D7.

7、设工表示平面X + y + Z = 1上被三个坐标面截下的部分，则H(x + y + z)dS 为(IA.1D.273解答：曲面E的方程为z=1-x-y，在xOy面上的投影D为x轴、y轴、x+y=1所围区3域，因此 U(x + y+z)dS= JJ1 j1+1+1dxdy =73jjdxdy = J D2222O U8. 设 u=f(xy，x+y +z)，则-A. fi +2zf2B.yfi + 2zf2D. 2zf2C. xf 2zf2cz解答：一=fj (xy) + f2 (x2 + y2 + z2) = 2zf2 czczcz选D三.（本题13分）计算三重积分川zdV，其中。是由曲面=J

8、2-X2- y2 及z放在z = .j2-x- y-及z = X2 + y2所围成的闭区域解答1：由立体的形状及积分函数的特点，选先算二重积分再算一重积分的方法，把 最外层积分。0在z轴上的投影为0zU2，当0z1时，用垂直于z轴的平面截立体所得截面Dz1为x2+y 2z ；当1zJ2时，用垂直于z轴的平面截立体所得截面Dz2为2 2 2x +y 兰2 z ，从而文档来自于网络搜索12123/川 zdv= Jdz JJzdxdy+ Jdz JJzdxdy =兀 Jz2dz +兀 J(2z - z3 )dz =兀 Q0Dz11Dz20112解答2:用柱面坐标系计算2i*2，因此C在xOy面上的投

9、影D为0 02;r,0 P1，又P zeJ2P2兀1 d2P彳2兀1I357兀12本题 13 分）线积分XJL (e sin y2y + 1)dx + (ex cos y - 2x)dy ,其中L为下半圆周(X-1)2 +=4, y 0，沿顺时针方向川zdv= JdQ JdP Jz ”Pdz=； JdQ J(2P-P - P dP = Q0c 解答：直接计算非常麻烦，用格林公式就很简单，注意到，因此可以用积分与路CX cy径无关C XXcX设 L1 为 y = 0 , X 从 3 到-1，由于 一 (eX cos y -2x) = eX cos y - 2 = (eX sin y - 2 y

10、+1)， cXcy因此积分与路径无关。而L与L1的起点终点相同，从而f(ex sin y -2y +1)dxcosy -2x)dy = f(ex sin y -2y + 1)dx + cosy - 2x)dyLiL-1=Jidx = -43五.（本题13分）求级数z的收敛区域以及和函数T1，即I时，级2(n +1) 12(n 十)= lim 21 X2-nW(2n -1)2十x2n -1 2n Q2n X由比值审敛法,当limn1，即 x0)上任意一点处的切平面与各坐标轴上的截距之和等于a解答：设M(xo，yo，zo)为曲面上任意一点，则该点处的法向量为2jxo2yzo 丿I2低2炉2血10皿。)从而M处的