GPS高程拟合模型的优选

1、GPS高程拟合模型的优选GPS 高程拟合模型的优选刘帅1,王礼江2,朱建军1,赵伶俐1(1.中南大学信息物理工程学院,湖南长沙410083;2.佛山市城市规划勘测设计院,广东佛山528000)摘要:在工程实践中,二次曲面模型在GPS 高程转换过程中为较优的模型,可以达到三四等水准的要求,但没有在理论上得到阐述。鉴于此,运用日本统计学家提出的AIC 准则,对各个模拟模型进行优选,即把AIC 的值分为两个部分,分别代表模型的内附精度和外附精度,将两个值相加得到AIC t ,并和模型的内附精度和外附精度的均方差、最大误差、最小误差相比较,证明AIC 准则应用于判定GPS 高程转换模型优选的有效性,进

2、而从理论上证明,二次曲面模型在GPS 高程转换过程中为较优模型。关键词:GPS 高程;拟合模型;AIC 准则中图分类号:P228 文献标识码:A 文章编号:1006-7949(2006)04-0017-03Optimizing model for GPS height f ittingL IU Shuai 1,WAN G Li-jiang 2,ZHU Jian-jun 1,ZHAO Ling-li 1(1.School of Info-Physics and G eomatics Engineering ,Central S outh University ,Changsha 410083,C

3、hina ;2.Feshan City Design and Survey Institute ,Feshan 528000,China )Abstract :The conicoid model (CFM )is the best model for transforming GPS height in the engineering practice ,but there is no proof in theory.Therefore ,the paper introduces the Akaike Information Criterion (AIC )pro 2posed by Aka

4、ike (1973)to choose the better model for transforming GPS height ,we separate the value of AIC into two parts ,AIC i and AIC e ,then add up them to obtain the total value ,AIC total ,which could testify which model is the best comparing with the relative information ,and some practicable conclusions

5、 are received.K ey w ords :GPS height ;fitting model ;AIC criterion收稿日期:2006-02-20项目来源:湖南省自然科学基金项目(02JJ Y2065)作者简介:刘帅(1979),男,硕士研究生. GPS 测量可以得到相对于W GS84坐标系中的 大地高,而我国所采用的高程是相对于似大地水准面的正常高。在工程应用中,三者关系为=H -h (1)其中,H 为大地高,h 为正常高,为高程异常。由于各GPS 点上的高程异常值无法直接获得,目前还无法直接将大地高精确地转换为正常高。传统的几何水准测量方法是测绘领域中测定正常高的主要方法

6、,这种方法虽然精度高,但实施起来费时费力,作业效率较低。故如何利用GPS 的精度高、速度快、操作简单等优点来解决高程问题成为测绘界的一个热点。确定高程异常(似大地水准面)的方法比较多。目前主要有:用斯托克斯公式采用重力方法求大地水准面高差N ,但须有一定精度、分布良好的重力数据和地形数据,许多地区难以满足;二是用地球重力场模型求N 和,但地球重力场模型只反映大地水准面的长波变化,还只能是趋势数据1。三是采用拟合法,对GPS 点进行几何水准的联测,同一点的大地高减去正常高得该点的高程异常,把这样的点称为水准联测点,再把测区的似大地水准面假定为多项式曲面或其他数学曲面去拟合已知高程异常的点,根据拟

7、合的曲面内插其他GPS 点的高程异常值,也有将以上几种方法相互结合在一起,如移去-恢复法等2-4。拟合法进行GPS 高程转换的数学模型有很多,但各种方法在各个区域的拟合精度不一致,为得到较好的精度,在对一个GPS 网的高程进行转换时,模型的选择是很关键的。大量实践证明,在高程异常平缓地区,工程中常采用的二次曲面拟合的方法可达到四等水准的要求3,4,但没有从理论上证明为什么二次曲面模型是最好的。Akaike 于1973年第15卷第4期 测绘工程 Vol.15.42006年8月 EN GIN EERIN G OF SURV EYIN G AND MAPPIN G Aug.,2006 从信息论的角度

8、提出了AIC 准则,他把这个准则用于模型的定阶和选择,获得了理想的结果。本文基于AIC 准则,对平面模型、二次曲面模型、三次曲面模型进行模拟分析,通过计算得到模型内附误差以及检核误差,分别得到2个AIC 值:AIC i 和AIC e ,两者相加得到AIC t ,并与内附误差以及检核误差相关信息比较,判定所选模型的优劣,从理论上证明了二次曲面模型为最佳模型,试验取得了良好的效果。1多项式拟合模型设测区内任一点A (x ,y )的高程异常与平面坐标有如下的关系=f (x ,y )+(2)式中f (x ,y )为高程异常的趋势面,为残差。设f (x ,y )=a 0+a 1x +a 2y +a 3x

9、y +a 4x 2+a 5y 2+a 6x 2y +a 7y 2x +a 8x 3+a 9y 3+(3)若有n 个点,则可以得到下面的矩阵形式=A X +(4)式中,=012n,X=a 0a 1a 2a n ,=012nA =1x 0y 0x 0y 01x 1y 1x 1y 1 (1)x 2y 2x 2y 21x ny nx n y n在最小二乘的准则下,求得向量X 的解,回代到(3)式中,就可以内插出未知点的高程异常。再根据(1)式就可以计算出GPS 点的正常高。在式(3)中,如果取未知数一次项,则称平面拟合,取二次项,称二次曲面拟合,取三次项,称三次曲面拟合,以此类推。其几何模型特征如图1

10、、图2和图3所示。图1平面模型几何特征 图2二次曲面模型几何特征 图3三次曲面模型几何特征 值得注意的是:在平差计算时,自变量的x 、y 的值与已知高程异常值差异大,依(4)式组成的法方程系数阵是病态的,这使得求解过程不太稳定,所以必须对数据进行标准化(中心化)处理,使得法方程的求解更稳定5。2A IC 准则与GPS 高程转换模拟模型日本统计学家Akaike 1973提出的AIC (Akaike Information Criterion )准则,对因子分析模型中公共因子的个数进行了选择6,7,AIC 准则的一般形式为AIC =log 2+(2m +3/n )(5)式中,m 为所选择模型需要的

11、参数,n 为代入计算的值的个数,两者必须满足n m 。在GPS 高程转换过程中,对于平面模型,m =3;对于二次曲面模型,m =6;对于三次曲面模型,m =10。现在若用20个水准联测点代入求3个模型参数,对3个模型来说,n 值都等于20。2为方差,在GPS 高程转换模拟过程中,方差存在2类,一类属于内附精度,另一类利用检核点求出的检核精度属于外附精度。对于每一个选定模型,可通过(5)式计算出两个AIC 的值,分别为内附AIC (AIC i )和外附AIC (AIC e )。然而,对于一个模型选择的优劣,既要看其内附精度,也要看其检核点的精度,即外附精度。根据AIC 准则,(5)式算出的AIC

12、 愈大,模型愈好,这样,可以把两者相加来权衡模型的好坏。3实列分析南方某市城区做E 级GPS 控制网,本控制网控制面积约500km 2,控制点数为153个。该市属于丘陵地区,为满足GPS 控制网高程转换的需要,58?81?测绘工程 第15卷个GPS -E 级控制点进行了联测四等水准。挑出其中的1个区,共13个水准联测点,如图4所示,做出2个方案计算,进行模型优选。图4测区内13个水准联测点分布示意图 方案1:如图4所示,共有13个水准联测点,选择11个覆盖整个小区并且均匀分布的水准联测点作为已知点代入到平面模型、二次曲面模型和三次曲面模型中,求其参数,其余2个水准联测点作为检核点,结果见表1。

13、 方案2:如图4所示,共有13个水准联测点,选择9个覆盖整个小区并且均匀分布的水准联测点作为已知点代入到平面模型、二次曲面模型中,求其参数,其余2个水准联测点作为检核点,结果见表2。表1、表2中给出了各种模型拟合法已知点和检核点上的标准差、最小值、最大值、AIC 值。标准差是拟合出高程异常与水准联测点高程异常值的单位权中误差,即VTPVr,最小值、最大值分别是拟合高程异常与水准联测点高程异常值之间差值的最小与最大值,AIC 值由(5)式求出。表1方案1中3种模型的精度结果与AIC 值模型标准差/cm 最小值/cm 最大值/cm AIC已知点检核点已知点检核点已知点检核点AIC i AIC e

14、AIC t 平面模型二次曲面模型三次曲面模型31510197011731691151117201120103-010101310161-018512911070121-5121-2104-2138178121211617381881310921136171662512038109表2方案2中2种模型的精度结果与AIC 值模型标准差/cm 最小值/cm 最大值/cm AIC已知点检核点已知点检核点已知点检核点AIC i AIC e AIC t 平面模型二次曲面模型3125015831361144-0134-0103-0103-01374170169-5167-211881691112481761

15、31061714524130 从表1中可以看出:模型最好的是三次曲面模 型,其次是二次曲面,最差的是平面模型。从内外精度可以看出,也可以从最终的AIC 中看出这一点,证明了AIC 准则判别GPS 高程转换时模型优选的有效性。同时,可以看出三次曲面模型比起二次曲面模型来只是其内附精度高一些,对于外附精度二次曲面模型更优,再者,三次曲面在实际工作当中将需要更多的水准联测点,增加工作量。从表2中可以看出:通过AIC 的值与内外附精度比较得出的结果是一致的,即二次曲面模型明显优于平面模型。再次证明AIC 准则判别GPS 高程转换时模型优选是行之有效的。4结论综上所述,区域内GPS 高程拟合精度与模型的

16、选择有很大的关系,在实例分析中,若选择三次曲面模型去拟合,其精度很好,但要增加水准联测点,增加了工作量,同时其优越性比起二次曲面模型来并不是很明显。值得注意的是,从二次曲面模型以及三次曲面模型的几何特征是一个具有一个凸面或者凹面的模型,为一“单物抛曲面”8,我们在选择水准联测点进行模型优选的时候,应尽量保证这些点位于一个凸面或者凹面的似水准面内,否则,对于模型的判定将会失真,导致判定模型的失败。本文把AIC 值分为两部分,按两部分的和判定模型的好坏,并给出各个模型模拟后已知点和检核点的标准差、最小值、最大值来验证AIC 准则应用于GPS 高程模型优选的有效性。试验证明,AIC 准则应用在GPS

17、 高程模型选择中,能很好的判别模型的优劣性,是行之有效的,也验证了二次曲面模型较之平面模型和三次曲面模型更为优越,也正如文献3、4所述,大量实践证明,二次曲面模型(简称CFM )在GPS 高程转换过程中可达到三、四等水准的要求,为较优的模型。(下转第26页)?91?第4期 刘帅,等:GPS 高程拟合模型的优选点的坐标必须用上面所讲的办法。图3局部控制网平面示意图实际操作时采用了下面的几个技巧:a )网点利用圆代替。若以点来代表网点,在图上表示不太方便,而通过半径的放大,可以用圆很直观的显示点的位置。b )利用颜色来区分地面点、内墙点、外墙点和天花板点。各点的标高是不一样的,通过颜色属性可以很方

18、便的实现二维坐标向三维坐标的转变。c )分层。加速器控制网也分为直线控制网、增强器控制网和储存环控制网。在网点设计时分别建立三个图层,每层代表不同的控制网,这样在文本文件中可以通过层分辨出其所属控制网。 在程序编好之后,很方便的得到了所有点的坐标,也统计出共有局部网点429个,其中直线网25个,增强器网124个,储存环网280个。而且由于各种原因控制点位置发生变化后,再次获得坐标也非常迅速,大大提高了工作效率。 3结语介绍了测量控制网图上设计时坐标的快速获取办法,并介绍了该方法在上海光源局部网设计时的应用,它对批量控制点坐标的获取是大有帮助的。该方法融合了AutoCAD 和MA TLAB 两种软件的应用。随着多学科的交叉,测量人员需要多学习一些常用的工具软件,将之用于测量工作,将会有意想不到的收获。参考文献1李青岳陈永奇.工程测量学(修订版)M .北京:测绘出版社,2002.2(美)Dietmar Rudolph.AutoCAD 2000对象开发从入门到精通M .曾琦译.北京:电子工业出版社,2000.3王沫然.MA TLAB 与科学计算(第2版)M .北京:电子工业出版社,2005.4于成浩,杜涵文,柯明.100MeV 电子直线加速器的安装测量J .测绘技术装备,2005(3):43-45.责任编辑:张德福(上接第19页)参考文