2普通高等学校招生全国统一考试天津卷

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第n卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!注意事项:1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题 5分，共40分。参考公式:如果事件 A, B互斥，那么 P(AU B)=P(

2、A)+P(B).棱柱的体积公式 V=ShL其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设集合 A =1,2,6, B =2,4, C =123,4，则(AUB)nC =(A)(B) 1,2,4(C) 124,6(D) 123,4,6设 X 忘 R，则“ 2-x0 ”是“ |x-1|1 ”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5支彩笔中有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。从这任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为4 321(A) -( B

3、) -(C)三(D)-5 555阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19,则输出N的值为0(B)已知双曲线2 2冷-亘=1(a A0,b0)的左a b焦点为F，点A在双曲线的渐近线上, OAF是边长为2的等边三角形(0为原点)，则双曲线的方程为(A)2 2412c开始)T(B)2 2124(6)(C)(D)2X2丄3=1=11已知奇函数 f(X)在 R 上是增函数.若 a =f (log? ), b = f (log 2 4.1),c = f (20.8),5则a,b,c的大小关系为设函数 f(X)=2sin(x +), X 忘 R，其中0,|v n.若 f(5n) =2, f

4、(山)=0,8 8且f (X)的最小正周期大于 2 n则=2中=丄312324cp3=丄申3,=11 n127n24设R，若关于的不等式f(x迸如在R上恒|x|+2,x1,已知函数f(x)=2X 中一，X 31.x成立，则a的取值范围是(A) 2,2(B) 273,2(C) 2 273(D) 273,273注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.(9)已知aw R , i为虚数单位，若 口 为实数，则a的值为2州(10)已知a迂R，设函数f(x)=ax-l nx的图象在点(1,f(1)处的切线

5、为|，则|在y轴上的截距为18,则这个球(11)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为的体积为(12)设抛物线y2 =4x的焦点为F，准线为I.已知点C在I上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点 A.若NFAC =120。，则圆的方程为ab(13 )若 a,R , ab0,则4bA 的最小值为(14)在 ABC 中，NA=60, AB =3,AC =2.若 BD =2話,-AB (扎走 R ),且aD，则几的值为 三.解答题：本大题共 6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)在 ABC中，内角A, B,C所对的边分别为a,b,

6、c .已知asi nA= 4d si B,ac 二更玄2 -b2 -C2).(I )求cos A的值;(II )求 sin(2B-A)的值.(16)(本小题满分13分)某电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时， 需要播放广告.已知每次播放甲、2倍.分别用，x,y表示每BC =3,CD =4, PD =2.乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 周计

7、划播出的甲、乙两套连续剧的次数(I )用X, y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;(II )冋电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多?(17)(本小题满分13分)如图,在四棱锥 P_aBCD 中，AD 丄平面 PDC , AD/ BC , PD 丄 PB , AD =1 ,求异面直线 AP与BC所成角的余弦值;(n)求证：PD丄平面PBC ；(川)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(18)(本小题满分13分)已知务为等差数列，前n项和为Sn(n N ) , bn是首项为2的等比数列，且公比大于 0, b +b3 =12,ba2a1, S111b4.(I

8、)求an和bn的通项公式;(n)求数列a2nbn的前n项和(n亡N ).(19)(本小题满分14分)设 a,b R , |a|兰 1.已知函数 f (x) =x3 6x2-3a(a 4)x+b , g(xexf (x)(I)求f(x)的单调区间;(n)已知函数y =g(x)和y =ex的图象在公共点(x0, y0)处有相同的切线,(i)求证：f(x)在x=Xo处的导数等于0;ii)若关于x的不等式g(x)b0)的左焦点为F (c, 0)，右顶点为 A，点E的坐标为ab(0,c), EFA的面积为 牛.(I)求椭圆的离心率;(”点Q在线段AE上，|FQ号，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M , N

9、在X轴上，PM / QN ,且直线PM与直线QN间的距离为c ,四边形PQNM的面积为3c.(i)求直线FP的斜率;(ii)求椭圆的方程.2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学参考答案、选择题:5(1)B(2)B(4)(5)D(6)C(7)(8)二.填空题:(9)-2(10)(11)(12) (x+1)2 +(y -妁2 =1(13)(14)11三.解答题:（15）（本小题满分13分）(I)解：由 asinA=4bsinB，及sin A，得 a = 2bsin B由ac = J5(a2 -b2 -c2)，及余弦定理,/曰Ab2 +c2 -a22bcac得 cos A =2/I

10、（n）解：由（I），可得 sin5代入 asin A =4bsinB，得 sin Ba si nA754b由（I）知， A 为钝角，所以 cosB =-sin2 B 二25-I4 2于是 sin2B =2sin BcosB =-，cos2B =1 -2sin5故 sin(2B A) =sin 2Bcos A-cos2Bsin A=4“ JI)3 咒空52 亦5555（16）（本小题满分13分）（I）解：由已知， x, y满足的数学关系式为70x+60y 30,*2y,X 0,1八0,7x + 6y 6, x-2y 0, 1八0,1中的阴影部分:该二兀一次不等式组所表示的平面区域为图V/7Z =

11、 60x + 25y考虑z=60x+25y，将它变形为y = -l2x+二5族平行直线， 为直线在y轴上的截距，当25Z ，这是斜率为25取得最大值时,25x,y满足约束条件，所以由图2可知，当直线截距最大，即Z最大。25解方程组讪=60,得点Mx -2y =0的坐标为(所以，电视台每周播出甲连续剧(17)(本小题满分13分)(I)解：如图，由已知 AD/BC ,.3 : ； XZ（图2），随Z变化的一5z的值最大。又因为z=60x +25y经过可行域上的点 M时,6,3）6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多故NDAP或其补角即为异面直线 AP与BC所成的角.因为AD丄平面PDC，所以AD

12、丄PD .在 RtiPDA 中,A5由 Sj =11b4，可得 aj +5d =16由已知，得 AP = JaD2 + PD2 =薦,故 cosNDAP=AD 弱AP 5所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为並5PDC，所以AD丄PD (n)证明：因为 AD丄平面PDC，直线PDu平面又因为BC/AD，所以PD丄BC,又PD丄PB,所以PD丄平面PBC(川)解：过点 D作AB的平行线交BC于点F,连结PF则DF与平面PBC所成的角等于 AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC故PF为DF在平面PBC3上的射影，所以NDFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于 AD/ BC DF/ AB

13、故 BF=AD=1,由已知，得 CF=BC- BF=2.又 ADL DC 故 BC! DC 在 Rt DCF中，可得 DF = JcD2 + CF2 =25 ,在 Rt DPF中，可得 sin/DFP =巴 丘 DF所以，直线 AB与平面PBC所成角的正弦值为(18)(本小题满分13分)(I)解:设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q而 4=2，所以 q2 + q-6 = 0由已知 b2 口3 =12 得 bi(q +q2) =12 ,又因为q aO，解得q =2所以bn =2n联立，解得 ai =1,d =3，由此可得an =3n-2所以，数列an的通项公式为an =3 n-2，数

14、列0的通项公式为b2n(n)解:设数列 a2nbn的前项和为Tn ,由a?. = 6 n-2，有Tn =4冥2 +10x22 +16X23 + 川 +(6n -2)x2n，2Tn =4x22 +10 冥 23 +16x24 +川+(6 n- 8)x2n +(6 n-2)x2n 申上述两式相减，得hn =4x2 +6x22 +6咒23+i| + 6咒 2n -(6n-2)咒 2n屮= _4-(6n-2)炮十1-2=-(3n -4)2n七-16得 Tn =(3n -4)2nw +16.所以，数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2临+16.(19)(I)解:由 f(X)=x3-6x2-3a(a-4

15、)x +b可得 f (x) =3x2 -12x-3a(a-4) =3(x-a)x-(4 -a)令 f (X)= 0，解得 x=a，或 x=4-a由 |aI兰 1，得 a v4-a当x变化时，f x), f (x)的变化情况如下表:x(3 a)(a,4 -a)(4-a,母)f (x)+-+f(x)所以，f(x)的单调递增区间为(oc,a) , (4-a,+oc)，单调递减区间为(a,4-a)(n)f(Xo) =1, f(Xo) =0(i)证明：因为 g(x)=eX(f(x) + f(X)，由题意知g(X0e , gXoHe0,所以fxogJ,，解得(lexo(f(xo) + f(Xo) =eXo

16、,所以，f(x)在x=x0处的导数等于0(ii)解：因为 g(x) 0，可得 f (x) 1.又因为f(Xo)=1 , f(Xo)=o，故Xo为f (X)的极大值点，由(I)知 Xo=a.另一方面，由于|a|兰1，故a+14-a ,由(I)知f (x)在(a-1,a)内单调递增，在(a, a +1)内单调递减,故当 xo =a 时，f(x) f(a)=1 在a-1,a+1上恒成立,从而g(x) ex在xo 1,Xo中1上恒成立.OQ32由 f(a)=a 6a 3a(a 4)a 中 b=1，得 b= 2a 6a +1 , 1 兰a 兰1。令 t(x) =2x3 -6x2 +1 , X 年-1,1

17、，所以 t(x) = 6x2-12x ,令t(x)=o，解得x=2 (舍去)，或x = 0.因为 t(1)= 7, t(1) = 3 , t(o) =1,因此 t(x)的值域为7,1.所以，b的取值范围是7,1.(20)(本小题满分14分)(I)解：设椭圆的离心率为e，由已知，可得1(c + a)c工2 2又由 b2 =a2 C2，可得 2c2 +ac-a2 =0,即卩 2e2 +e 1 = 01又因为0e1，解得e=-2所以，椭圆的离心率为一2(n) （i）解：依题意，设直线 FP的方程为X =my -c（m0），则直线FP的斜率为 丄m由（I）知a =2c，可得直线与直线FP的方程联立，可

18、解得AE 的方程为 + = 1，即 x + 2y-2c = 0 , 2c c(2 m-2)c 3c x= , y =m + 2m + 2即点Q的坐标为(2m2)c,m+2 m + 2由已知 | FQ|=3c，有(2m-2)c+c)2 +(卫J22m+2m + 243所以m =-，即直线FP的斜率为一3(ii)解：由 a=2c,由（i）得直线消去y，整理得=（号2，整理得 3m2-4m = 0,_ 2 2 可得b = J3c，故椭圆方程可以表示为-+-=14c2 3c23x-4y +3c = 0FP的方程为3x-4y + 3c = 0，与椭圆方程联立 0 ,3232得 C =2.所以，椭圆的方程

19、为2 x16奔波在俗世里，不知从何时起，飘来一股清流，逼着每个人优秀。人过四十，已然不惑。我们听过别人的歌，也唱过自己的曲，但谁也逃不过岁月的审视，逃不过现实的残酷。如若，把心中的杂念抛开，苟且的日子里，其实也能无比诗意。借一些时光，寻一处宁静，听听花开，看看花落，翻一本爱读的书，悟一段哲人的赠言，原来，日升月落，一切还是那么美。洗不净的浮沉，留给雨天；悟不透的凡事，交给时间。很多时候，人生的遗憾，不是因为没有实现，而是沉于悲伤，错过了打开心结的时机。时间就像海绵里的水，只要挤总是有的。有人说工作忙、应酬多，哪有那么多的闲情逸致啊？记得鲁迅有句话:不明花语，却逢花季。一路行走，在渐行渐远的时光中，命运会给你一次次洗牌，但玩牌的始终是你自己。坦白的说，我们遇到困扰，经常会放大自己的苦，虐待自己，然后落个遍体鳞伤，可怜兮兮地向世界宣告：自己没救了！可是，那又怎样？因为，大多数人关心的都是自己。一个人在成年后，最畅快的事，莫过于经过一番努力后，重新认识自己，改变自己。学会了独自、沉默，不轻易诉说。因为，更多的时候，诉说毫无意义。伤心也好，开心也好，过去了，都是曾经。每个人都要追寻活下去的理由，心怀美好，期待美好，这个世界，就没有那么糟糕。或许，你也会有这样的情节，两个人坐在一起，杂乱无章的聊天，突然你感到无聊，你渴望安静，你想一个人咀嚼内心的悲与喜。透过窗格，