N选修4系列理科2016年Word版含答案

1、N单元选修4系列N1 选修4-1几何证明选讲21 . A.N1选修4-1 :几何证明选讲如图1-7 ,在 ABC中, / ABC= 90, BDL AC, D为垂足，E是BC的中点，求证：/ EDC=/ ABD21. A.证明：在 ADBn ABC中,因为/ ABC= 90, BD丄AC / A为公共角,所以 ADBA ABC 于是/ ABD=/ C在Rt BDC中，因为E是BC的中点,所以 ED= EC 从而/ EDC=/ C,所以/ EDC=/ ABD22. N1选修4-1 :几何证明选讲如图1-6所示, OAB是等腰三角形，/ AOB= 120 .以O为圆心，OA为半径作圆.证明：直线A

2、B与O 0相切;点C, D在O O上 ,且A, B,图1-6AB/ CD22证明：设E是AB的中点,OE因为 OA= OB / AOB= 120 ,所以 OEL AB, / AOE= 60 .在Rt AOE中，OE= 2aO即O到直线AB的距离等于O O的半径，所以直线 AB与O O相切.因为0A= 20D所以0不是A B, C, D四点所在圆的圆心设 O是A, B, C, D四点所在圆的圆心，作直线 00.由已知得0在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以0O丄AB同理可证，00丄CD所以AB/ CD22. N1选修4-1 :几何证明选讲如图1-6 , O 0中AB的中点

3、为P,弦PC PD分别交AB于E, F两点.若/ PFB= 2/ PCD求/ PCD的大小;（2）若EC的垂直平分线与0G_ CD22 解：连接 PB, BC 则/ BFD=/ PBAb/ BPD/ PCD=/ PCBb/ BCD因为 AP= BP,所以/ PBA=/ PCB 又/ BPD=/ BCD所以/ BFD=/ PCD又/ PFB/ BFD= 180, / PFB= 2/ PCD 所以 3/ PCD= 180,因此/ PCD= 60 .证明：因为/ PCD=/ BFD所以/ PCD- / EFD= 180,由此知 C, D, F, E四点共圆，其圆心既在 CE的垂直平分线上，又在 DF

4、的垂直平分线上，故 G就是过C, D, F, E四点的圆的圆心，所以 G在CD的垂直平分线上，又 0也在CD的垂直平分线上，因此 0（丄CD22. N1选修4-1 :几何证明选讲如图1-5,在正方形 ABCD中 , E , G分别在边 DA DC上（不与端点重合），且DE= DG过D点作DF! CE垂足为F.证明：B, C G, F四点共圆; 若AB= 1, E为DA的中点，求四边形 BCGF勺面积.22.解： 证明：因为 DF丄EC所以 DEFA CDF则有/ GDF=/ DEF=/ FCBDF DE DGcfCDTCB所以 DGFA CBF由此可得/ DGF=/CBF因此/ CGFh/ C

5、BF= 180,所以 B, C,G, F四点共圆.由B, C, G F四点共圆，CGL CB知FGI FB 连接 GB由G为Rt DFC斜边CD的中点，知GF= GC故Rt BCQRt BFG因此，四边形BCGF的面积S是 GCB面积 &GCB的2倍，即X-1.N2 选修4-2矩阵21. B. N2 选修4-2 :矩阵与变换1已知矩阵A(02,矩阵B的逆矩阵bT =Lo,求矩阵AB21. B.解：设B=d则 B B=Lo01即12c2dp 1a= 1,故 b-尹=0,4解得c = 0,I 2c=0,I 2d= 1,所以B=1L0iJ2因此，AB=L0LoN3 选修4-4参数与参数方程16. N

6、3下列极坐标方程中，对应的曲线为图1-3的是（A.p= 6+ 5cosC.p= 6 5cos16.D 依次取B . p = 6+ 5sin 0D . p = 6 5sin 03 n，结合图形可知只有p= 6 5sin 0满足题意.11. N3在极坐标系中，直线p cos 0 羽 p sin 01 = 0与圆p=2cos 0 交于 A,B两点，贝y | AE| =11. 2将极坐标方程转化为直角坐标方程进行运算由x =p cos0 , y = p sin 0 ,得直线的直角坐标方程为x /3y 1 = 0,因为p = 2cos0 , p 2(sin 2 02+ cos 0 ) = 2 p cos

7、2 2 2 2 . 0，所以圆的直角坐标方程为x+ y = 2x，即（X 1） + y = 1，圆心（1 ,0）在直线上，因此AB为圆的直径，所以I AB = 2.21 . C. N3选修4-4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系 1I X=1 + 罗,xOy中，已知直线l的参数方程为0).在以坐标y = 1 + asin t原点为极点,X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: P= 4cos 0 .说明C是哪一种曲线，并将 C的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为0 = a 0,其中a 0满足tan a 0 = 2，若曲线C与C2的公共点都在C3上,a.23.解:(1)消去参数t

8、得到C的普通方程X2+ (y 1)2= a2.C是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.将x= Pcos0 ,y = P sin 0代入C的普通方程中，得到C的极坐标方程为2 2 P sin20 + 1 a = 0.(2)曲线C,C2的公共点的极坐标满足方程组广 22P 2 P sin 0 + 1 一 a = 0,0 = 2, 可若P丰0，由方程组得16cos 0 8sin 0 cos 0 + 1 a = 0,由已知得tan2 2得 16cos 0 一 8sin 0 cos 0 = 0,从而 1 一 a = 0,解得 a = 1(舍去)或 a = 1.当a= 1时，极点也为 G, C2的公共点，在

9、 C3上,所以a= 1.23. N3选修4-4 :坐标系与参数方程(a为参数)以坐标原点在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为jx cos aly = sin a+ 12 p cos a + 11 = 0,为极点,以X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Q的极坐标方程为 psin 0 + n4W2.写出G的普通方程和Q的直角坐标方程;设点P在C上，点Q在Q上，求|PQ的最小值及此时 P的直角坐标.X 223.解：(1) C的普通方程为+ y= 1, G的直角坐标方程为 X + y 4= 0.3由题意，可设点 P的直角坐标为(、/3cos a , sin的最小值即为 P至U C2的距离 d(

10、a )的最小值，d( a )a ).因为Q是直线,| Wcos a + sin a所以|PQ|sin( a + ) 2 I,当且仅当 a = 2k n +才(k Z)时，d( a )取得最小值,最小值为 V2，此时P的直角坐31标为(2，彳.23. N3选修4-4 :坐标系与参数方程. 2 2在直角坐标系xOy中，圆G的方程为(X+ 6) + y= 25.(1)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求G的极坐标方程;X = t cos(2)直线I的参数方程是1y = tsi na，(t为参数)，I与G交于A, B两点，| AB =帧,(X求I的斜率.23.解：由 X=p COS 0

11、, y=p sin 0可得圆C的极坐标方程为p 2 + 12 p cos 0+11 = 0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,l的极坐标方程为0 = a ( p R).设A, B所对应的极径分别为p 2,将I的极坐标方程代入圆G的极坐标方程得 p 2于是 p 1 + p 2= 12cos2= 11,所以 | AE| = | p 1 p 2| =寸(卩 1+p 2)2 一 4p 1p 2 =p 144cos2 a - 44.由 | AB = 10得 cos2 a = 8，则 tan a 所以I的斜率为尊或一-N4 选修4-5不等式选讲21. D. N4选修4-5 :不等式选讲a设 a0, |x

12、1|-,a|y2|-，求证:|2 x + y 4| a.21. D 证明：因为 |x 1|-, |y 2|-a a 所以 |2x + y 4| = |2( x 1) + (y 2)| w 2|x 1| + | y 2|1的解集.LO1图1-7x 4, xw 1,24解： f (x) = 33x 2, 12,则y = f (x)的图像如图所示.I卜!10h、Jf*、/I/ 由f(x)的表达式及图像得，当 f(x) = 1时，x = 1或x = 3;当 f (x) = 1 时，x= 3或 x = 5.故 f (x)1 的解集为x|1x3 ; f(x) 1 的解集为x x5- 所以|f(x)|1的解

13、集为X x3或1x5.24. N4选修4-5 :不等式选讲 已知函数 f(x) = |2x a| + a.当a= 2时，求不等式f (x) w 6的解集; 设函数g(x) = |2x 1|，当x R时，f (x) + g(x) 3,求a的取值范围.24. 解： 当 a= 2 时，f (x) = |2x 2| + 2.解不等式 |2x 2| + 2 w 6,得一1 wxw 3.因此f(x) w 6的解集为x| 1w xw 3.(2)当 x R时,f (x) + g(x) = |2 x a| +a+11 2x| |2 x a+1 2x| + a= |1 a| + a,当x = 2时等号成立,所以当 x R时，f(x) + g(x) 3 等价于 |1 a| + a3.1 a+ a3,无解.当aw 1时，等价于当a1时，等价于a 1+ a3，解得 a2.所以a的取值范围是选修4-5 :不等式选讲已知函数f(x) = !x 2 !+卜+ 2 !, M为不等式f(x)2的解集.(1)求 M 证明：当 a, b M时，|a+ b|1 + ab|.124.解：(1) f (x) = 1, 1 x j.当 xw 2时