3-4换元积分法

1、 3-4换元积分法换元积分法用的是积分规则代入 x _u(t)f( x)dxf lu(t) u (t)dt =G(t)二 G ” u(x)其中函数X =u(t)有反函数t =U(X)它与凑微分积分法是同一个积分规则，只是“积分的 方向”不同换元积分法在求带有根式的无理函数的原函数时特别有效例如(甲)消掉根式nax + b (变成有理函数的积分)若被积函数中含有根式 Max +b (a式0)，就令t =n ax b 实际上是代入函数 x (tn -b)，t_0 antn -1则 dx= dt.a例 13 f1dx t =x, x = t2(t ZO),dx =2tdt 1 -Xt(1 t) -1

2、1=2 dt =2dt =21dt=2t_l n(1 t)1 t1 t1 t换回到原来的自变量)(有理函数的积分)2(丫一幼 2tdt=2j(t2 -2) tt2 t 2捌“ x后 匚鬥例 14 x + 2 +xt4 -2t223t -2-(t -11)厂一t2 t -2t2 t _2用多项式除法或下注中的“拼凑”方法，把假分式化成多项式与真分式之和因此，x 2x dx 二(t2 -t 1)dt - x 、2 x(2t 1)-3dt, / 2t t t_3 d(tt-2) .7232,3,2tt32t332tt-3ln23 In2+t2 t -22(t -1)(t 2)1 13t 2t3t23

3、 2 dt=L_L+t_mt2 t -2322t2t -2分子上的(2t1)是分母的导数-dtt2 +t _2 +-2 / t2 +t _2 +_lnt -1 t 2(换回原来的自变量)(2 x) 2QX32 x .亍 _?ln2 2x + J2 +x +7 In62 x -1x2【注】2t2t4 -2t2t2(t2t -2) -t3 t2t2 t -2t32 t(t2 t 2) -t2 2t2 t t2 t -2t2 t -2=t2t2 -2tt2 t -2=t22t(t t2)3t 2 (t2-t 2 (tt2 +t 2-t 1)3t 22t2 t - 2(乙)消掉根式a2 - x2或x2

4、匚a2 (变成三角函数有理式的积分)若被积函数中含有根式 心2 -x2或x2 _a2 ( a -0)，就用“三角替换”消掉它们:22 (i)对于、a -x ，令 x 二asint(t )或 x 二acost(0岂t :)；2 2z. x： 22JIJ(ii)对于 x a，令 x=atant(t )；2 2(iii )对于.x2-a2，令 x = asect(0 ：t 或 t ：二). 2 21当然，求一Jdx时，直接套用积分公式就行了.y :-22a x_ x 三 sin t 一例 15 a2 -x2dxa2 -a2sin2t acostdt =a2 cos2tdt2=a1 cos2t2dt=

5、a t cos2tdt2其中 t 二arcsin，而ax sin2t =2s in tcost =2aa= 2ax2 (图 3-8) a 2 因此， .a2 -x2dx =邑 arcs in2a 2例16求1.x2a2dx(a 0).x 壬 tant解(RFdx =(需需Easec2tdt=(sectdt 套用积分公式(14)=In |sect tant |其中tant (图3-9)，而图3-9a所以dx =lnasect = . 1 tan2t =2x2x 十一a=ln x 、x* 2 a2 不计常数 ln a 其次,xx -asect dx =2-a x a1a2 sec t -a2a sect tantdt = sectdt =ln sect tant其中,xsect (x a)(图 3-10)，而atant =sec t 1 = J 佟】_1v 2丿所以1 dx =ln x2 -a2：22x x a+ a a=lnxx2 -a2不计常数In a 与前一种情形不同，x . x2 -a2 : 0 .这里在最后的结果中要添上绝对值符号，因为当x ： -a时，以后，我们将把例15和例16的结果作为积分公式：1(16) =1 -x2_a2遇到这种形状的积分，直接套公式就行了 1 13x2 2d.例如，-I 一一1_ dC 3x)